人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时学案，共11页。

第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式








乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明．我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新．





问题：(1)你能用类比的方法，由cs(α－β)推导出cs(α＋β)吗？


(2)两角和与差的正弦公式如何推导出来？


提示：(1)因为α＋β＝α－(－β)，所以cs(α＋β)＝cs[α－(－β)]，然后利用两角差的余弦公式即可得到．


(2)sin(α＋β)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α＋β))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))－β))，sin(α－β)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α－β))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＋β))


然后再利用两角差的余弦公式与诱导公式得到结论．





1．两角和与差的余弦公式


2.两角和与差的正弦公式


3.重要结论－辅助角公式


y＝asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cs θ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin θ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)).





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )


(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( )


(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )


(4)sin 54°cs 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( )


[提示] (1)正确．根据公式的推导过程可得．


(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.


(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．


(4)正确．因为sin 54°cs 24°－sin 36°sin 24°


＝sin 54°cs 24°－cs 54°sin 24°＝sin(54°－24°)


＝sin 30°，故原式正确．


[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√


2．cs 57°cs 3°－sin 57°sin 3°的值为( )


A．0 B．eq \f(1,2)


C.eq \f(\r(3),2) D．cs 54°


B [原式＝cs(57°＋3°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).]


3．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )


A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2)


C.eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)


B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cs 155°，


sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cs 35°，


∴原式＝cs 155°cs 35°＋sin 155°sin 35°＝cs(155°－35°)＝cs 120°＝－eq \f(1,2).]


4．若cs α＝－eq \f(3,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝ .


－eq \f(\r(2),10) [∵cs α＝－eq \f(3,5)，α是第三象限的角，


∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(4,5)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)sin α－eq \f(\r(2),2)cs α


＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))－eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))


＝－eq \f(\r(2),10).]








【例1】 (1)cs 70°sin 50°－cs 200°sin 40°的值为( )


A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2)


C.eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)


(2)若θ是第二象限角且sin θ＝eq \f(5,13)，则cs(θ＋60°)＝ .


(3)求值：(tan 10°－eq \r(3))eq \f(cs 10°,sin 50°).


(1)D (2)－eq \f(12＋5\r(3),26) [(1)∵cs 200°＝cs(180°＋20°)＝－cs 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cs 50°，


∴原式＝cs 70°sin 50°－(－sin 70°)cs 50°


＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝eq \f(\r(3),2).


(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝eq \f(5,13)，


∴cs θ＝－eq \r(1－sin2θ)＝－eq \f(12,13)，


∴cs(θ＋60°)＝eq \f(1,2)cs θ－eq \f(\r(3),2)sin θ


＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))－eq \f(\r(3),2)×eq \f(5,13)


＝－eq \f(12＋5\r(3),26).]


(3)[解] 原式＝(tan 10°－tan 60°)eq \f(cs 10°,sin 50°)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin 10°,cs 10°)－\f(sin 60°,cs 60°)))eq \f(cs 10°,sin 50°)


＝eq \f(sin－50°,cs 10°cs 60°)·eq \f(cs 10°,sin 50°)


＝－2.]





解决给角求值问题的策略


(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．


(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．


提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．





eq \([跟进训练])


1．化简求值：


(1)eq \f(sin 50°－sin 20°cs 30°,cs 20°)；


(2)sin(θ＋75°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)．


[解] (1)原式＝eq \f(sin20°＋30°－sin 20°cs 30°,cs 20°)


＝eq \f(sin 20°cs 30°＋cs 20°sin 30°－sin 20°cs 30°,cs 20°)


＝eq \f(cs 20°sin 30°,cs 20°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).


(2)设α＝θ＋15°，


则原式＝sin(α＋60°)＋cs(α＋30°)－eq \r(3)cs α


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin α＋\f(\r(3),2)cs α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs α－\f(1,2)sin α))－eq \r(3)cs α＝0.


【例2】 (1)已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为eq \f(4,5)，点Q的横坐标为eq \f(5,13)，则cs∠POQ＝ .


(2)已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).求：①cs(2α－β)的值；②β的值．


[思路点拨] (1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP和∠xOQ的正弦、余弦值，再依据∠POQ＝∠xOP＋∠xOQ及两角和的余弦公式求值．


(2)先求sin α，cs(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求


cs(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cs β再求β.


(1)eq \f(56,65) [由题意可得，cs∠xOP＝eq \f(4,5)，


所以sin∠xOP＝eq \f(3,5).


再根据cs∠xOQ＝eq \f(5,13)，


可得sin∠xOQ＝－eq \f(12,13)，


所以cs∠POQ＝cs(∠xOP＋∠xOQ)＝cs∠xOP·cs∠xOQ－sin∠xOP·sin∠xOQ＝eq \f(4,5)×eq \f(5,13)－eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＝eq \f(56,65).]


(2)[解] ①因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，又sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)＞0，


所以0＜α－β＜eq \f(π,2)，


所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，


cs(α－β)＝eq \r(1－sin2α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，


cs(2α－β)＝cs[α＋(α－β)]


＝cs αcs(α－β)－sin αsin(α－β)


＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),10).


②cs β＝cs[α－(α－β)]


＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)


＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，


又因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以β＝eq \f(π,4).





给值求值问题的解题策略,在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：


1当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.


2当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.





eq \([跟进训练])


2．已知锐角α，β满足cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(3,5)，求sin β的值．


[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜eq \f(π,2)，0＜β＜eq \f(π,2)，


所以－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2)，


因为sin(α－β)＝－eq \f(3,5)＜0，


所以cs(α－β)＝eq \f(4,5)，


因为cs α＝eq \f(2\r(5),5)，所以sin α＝eq \f(\r(5),5)，


所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(4,5)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3,5)＝eq \f(2\r(5),5).


[探究问题]


1．能否将函数y＝sin x＋cs x(x∈R)化为y＝Asin(x＋φ)的形式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))？


提示：能．y＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).


2．如何推导asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan φ＝\f(b,a)))公式．


提示：asin x＋bcs x


＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sin x＋\f(b,\r(a2＋b2))cs x))，


令cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，则


asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)(sin xcs φ＋cs xsin φ)


＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝eq \f(b,a)确定，或由sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))和cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))共同确定)．


【例3】 (1)sineq \f(π,12)－eq \r(3)cseq \f(π,12)＝ .


(2)已知f(x)＝eq \r(3)sin x－cs x，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间．


[思路点拨] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．


(1)－eq \r(2) [原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin\f(π,12)－\f(\r(3),2)cs\f(π,12))).


法一：(化正弦)原式


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)sin\f(π,12)－sin\f(π,3)cs\f(π,12)))


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,12)cs\f(π,3)－cs\f(π,12)sin\f(π,3)))


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－eq \r(2).


法二：(化余弦)原式


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,6)sin\f(π,12)－cs\f(π,6)cs\f(π,12)))


＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)cs\f(π,12)－sin\f(π,6)sin\f(π,12)))


＝－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,12)))＝－2cseq \f(π,4)


＝－eq \r(2).]


(2)[解] f(x)＝eq \r(3)sin x－cs x


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x·\f(\r(3),2)－cs x·\f(1,2)))


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin xcs\f(π,6)－cs xsin\f(π,6)))


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，


∴T＝eq \f(2π,ω)＝2π，值域[－2,2]．


由－eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，得递增区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋2kπ，\f(2π,3)＋2kπ))，k∈Z.





1．若将例3(2)中函数改为f(x)＝－sin x＋eq \r(3)cs x，其他条件不变如何解答？


[解] f(x)＝－sin x＋eq \r(3)cs x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x－\f(1,2)sin x))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，


∴T＝2π，值域为[－2,2]，


由－π＋2kπ≤x＋eq \f(π,6)≤2kπ，得递增区间


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(7π,6)＋2kπ，－\f(π,6)＋2kπ))，k∈Z.


2．若将例3(2)中函数改为f(x)＝msin x＋mcs x，其中m＞0，其他条件不变，应如何解答？


[解] f(x)＝msin x＋mcs x＝eq \r(2)msineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，


∴T＝2π，值域为[－eq \r(2)m，eq \r(2)m]，


由－eq \f(π,2)＋2kπ≤x＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ，得递增区间


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)＋2kπ，\f(π,4)＋2kπ))，k∈Z.





辅助角公式及其运用


1公式形式：公式asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sinα＋φ或asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)csα－φ将形如asin α＋bcs αa，b不同时为零的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.


2形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.


提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.











1．牢记3个公式


(1)两角和与差的余弦公式；


(2)两角和与差的正弦公式；


(3)辅助角公式．


2．掌握2种方法


(1)使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcs(α＋β)－cs βsin(α＋β)时，不要将cs(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：


sin βcs(α＋β)－cs βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.


(2)运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．


3．规避1个易错


求角时易忽视角的范围．





1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的最小值为( )


A.eq \r(2) B．－2


C．－eq \r(2) D．eq \r(3)


C [因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＝sin 2xcs eq \f(π,4)＋cs 2x·sin eq \f(π,4)＋sin 2xcs eq \f(π,4)－cs 2xsin eq \f(π,4)＝eq \r(2)sin 2x，所以所求函数的最小值为－eq \r(2).]


2．化简eq \r(2)cs x－eq \r(6)sin x等于( )


A．2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x)) B．2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))


C．2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x)) D．2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))


D [eq \r(2)cs x－eq \r(6)sin x＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x－\f(\r(3),2)sin x))


＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)cs x－sin\f(π,3)sin x))


＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x)).]


3．若cs α＝－eq \f(5,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝ .


－eq \f(5\r(3)＋12,26) [因为cs α＝－eq \f(5,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))eq \s\up12(2))＝eq \f(12,13)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝cs αcs eq \f(π,6)－sin α·sin eq \f(π,6)＝－eq \f(5,13)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(12,13)×eq \f(1,2)＝－eq \f(5\r(3)＋12,26).]


4．cs βcs(α－β)－sin βsin(α－β)＝ .


cs α [cs βcs(α－β)－sin βsin(α－β)＝cs[β＋(α－β)]＝cs α.]


5．已知α，β均为锐角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β.


[解] ∵α，β均为锐角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，


∴sin β＝eq \f(3\r(10),10)，cs α＝eq \f(2\r(5),5).


∵sin α

∴sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β


＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝－eq \f(\r(2),2)，


∴α－β＝－eq \f(π,4).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．


2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．


3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.
1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．


2. 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cs(α＋β)＝cs αcs β－


sin αsin β
α，β∈R
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦公式
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β
α，β∈R
两角差的正弦公式
S(α－β)
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β
α，β∈R
给角求值问题
给值求值、求角问题
辅助角公式的应用