人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时导学案及答案，共10页。

5.5 三角恒等变换


5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式


第1课时 两角差的余弦公式











问题：观察下表中的数据，你认为cs(α－β)与cs α、cs β之间有什么关系？


提示：cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β.





两角差的余弦公式





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)cs(60°－30°)＝cs 60°－cs 30°.( )


(2)对于任意实数α，β，cs(α－β)＝cs α－cs β都不成立．


( )


(3)对任意α，β∈R，cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β都成立．


( )


(4)cs 30°cs 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )


[提示] (1)错误．cs(60°－30°)＝cs 30°≠cs 60°－cs 30°.


(2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cs(α－β)＝cs(－45°－45°)＝cs(－90°)＝0，cs α－cs β＝cs(－45°)－cs 45°＝0，此时cs(α－β)＝cs α－cs β.


(3)正确．结论为两角差的余弦公式．


(4)正确．cs 30°cs 120°＋sin 30°sin 120°＝cs(120°－30°)＝cs 90°＝0.


[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√


2．sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°＝( )


A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(1,2)


C．－eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(1,2)


B [∵sin 14°＝cs 76°，cs 74°＝sin 16°，


∴原式＝cs 76°cs 16°＋sin 76°sin 16°＝cs(76°－16°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).]


3．cs(－15°)的值是( )


A.eq \f(\r(6)－\r(2),2) B.eq \f(\r(6)＋\r(2),2)


C.eq \f(\r(6)－\r(2),4) D．eq \f(\r(6)＋\r(2),4)


D [cs(－15°)＝cs 15°＝cs(45°－30°)＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).]


4．cs 65°cs 20°＋sin 65°sin 20°＝ .


eq \f(\r(2),2) [cs 65°cs 20°＋sin 65°sin 20°＝cs(65°－20°)＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).]





【例1】 (1)cseq \f(13π,12)的值为( )


A.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) B．eq \f(\r(6)－\r(2),4)


C.eq \f(\r(2)－\r(6),4) D．－eq \f(\r(6)＋\r(2),4)


(2)求下列各式的值：


①cs 75°cs 15°－sin 75°sin 195°；


②sin 46°cs 14°＋sin 44°cs 76°；


③eq \f(1,2)cs 15°＋eq \f(\r(3),2)sin 15°.


(1)D [cseq \f(13π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,12)))＝－cseq \f(π,12)


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))


＝－cseq \f(π,4)cseq \f(π,6)－sineq \f(π,4)sineq \f(π,6)


＝－eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4).]


(2)解：①cs 75°cs 15°－sin 75°sin 195°


＝cs 75°cs 15°－sin 75°sin(180°＋15°)


＝cs 75°cs 15°＋sin 75°sin 15°


＝cs(75°－15°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).


②sin 46°cs 14°＋sin 44°cs 76°


＝sin(90°－44°)cs 14°＋sin 44°cs(90°－14°)


＝cs 44°cs 14°＋sin 44°sin 14°


＝cs(44°－14°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).


③eq \f(1,2)cs 15°＋eq \f(\r(3),2)sin 15°


＝cs 60°cs 15°＋sin 60°sin 15°


＝cs(60°－15°)＝cs 45°


＝eq \f(\r(2),2).





1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：


(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．


(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．


2．两角差的余弦公式的结构特点：


(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．


(2)把所得的积相加．





eq \([跟进训练])


1．化简下列各式：


(1)cs(θ＋21°)cs(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；


(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.


[解] (1)原式＝cs[θ＋21°－(θ－24°)]＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).


(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)


＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°


＝sin 13°sin 43°＋cs 13°cs 43°


＝cs(13°－43°)＝cs(－30°)＝eq \f(\r(3),2).





[探究问题]


1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cs α的值？


提示：cs α＝cs[(α＋β)－β]


＝cs(α＋β)cs β＋sin(α＋β)sin β.


2．利用α－(α－β)＝β可得cs β等于什么？


提示：cs β＝cs[α－(α－β)]


＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)．


【例2】 (1)已知sin α－sin β＝1－eq \f(\r(3),2)，cs α－cs β＝eq \f(1,2)，则cs(α－β)＝( )


A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2)


C.eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)


(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，求cs α的值．


[思路点拨] (1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C(α－β)求cs(α－β)．


(2)由已知角eq \f(π,3)＋α与所求角α的关系即α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－eq \f(π,3)寻找解题思路．


(1)D [因为sin α－sin β＝1－eq \f(\r(3),2)，


所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)， ①


因为cs α－cs β＝eq \f(1,2)，所以cs2α－2cs αcs β＋cs2β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)， ②


①，②两式相加得1－2cs(α－β)＋1＝1－eq \r(3)＋eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)


所以－2cs(α－β)＝－eq \r(3)


所以cs(α－β)＝eq \f(\r(3),2).


(2)[解] ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，∴eq \f(π,3)＋α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α)))


＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(5,13).


∵α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－eq \f(π,3)，


∴cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－\f(π,3)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))cseq \f(π,3)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))sineq \f(π,3)＝－eq \f(5,13)×eq \f(1,2)＋eq \f(12,13)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(12\r(3)－5,26).]





1．将例2(2)的条件改为“sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，且eq \f(π,4)<α

[解] ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，且eq \f(π,4)<α

∴eq \f(π,2)<α＋eq \f(π,4)<π，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(3,5)，


∴cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cs eq \f(π,4)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin eq \f(π,4)


＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),10).


2．将例2(2)的条件改为“sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))”，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))的值．


[解] ∵eq \f(π,6)＜α＜eq \f(5π,6)，∴－eq \f(π,2)＜eq \f(π,3)－α＜eq \f(π,6)，


又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(12,13)＜0，


∴－eq \f(π,2)＜eq \f(π,3)－α＜0，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)))＝eq \f(5,13)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－α))


＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))－\f(π,4)))


＝eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＋eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))


＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(5,13)＋eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＝－eq \f(7\r(2),26).





给值求值问题的解题策略


(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．


(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：


①α＝(α－β)＋β；


②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；


③2α＝(α＋β)＋(α－β)；


④2β＝(α＋β)－(α－β)．








【例3】 已知sin(π－α)＝eq \f(4\r(3),7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，0＜β＜α＜eq \f(π,2)，求角β的大小．


[思路点拨] eq \x(求cs α、sinα－β)→→eq \x(求β)


[解] 因为sin(π－α)＝eq \f(4\r(3),7)，


所以sin α＝eq \f(4\r(3),7).因为0＜α＜eq \f(π,2)，


所以cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(1,7).


因为cs(α－β)＝eq \f(13,14)，


且0＜β＜α＜eq \f(π,2)，所以0＜α－β＜eq \f(π,2)，


所以sin(α－β)＝eq \r(1－cs2α－β)＝eq \f(3\r(3),14)，


所以cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2).因为0＜β＜eq \f(π,2)，所以β＝eq \f(π,3).





已知三角函数值求角的解题步骤


1界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.


2求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.


3结合三角函数值及角的范围求角.


提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.





eq \([跟进训练])


2．已知α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β的值．


[解] ∵α，β均为锐角，


∴sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(3\r(10),10)，


∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β


＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).


又sin α

∴0<α<β

故α－β＝－eq \f(π,4).








1．记牢1个公式


cs(α－β)＝cs αcs β＋sinαsin β


2．掌握2类问题——求值、求角


(1)给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．


(2)“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．


3．规避1个易错


求角时易忽视角的范围．





1．sin 11°cs 19°＋cs 11°cs 71°的值为( )


A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(1,2)


C.eq \f(1＋\r(3),2) D．eq \f(\r(3)－1,2)


B [sin 11°cs 19°＋cs 11°cs 71°＝cs 11°·cs 71°＋sin 11°sin 71°＝cs(11°－71°)＝cs(－60°)＝eq \f(1,2).故选B.]


2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cs α＝eq \f(12,13)，sin β＝－eq \f(3,5)，则cs(α－β)的值为( )


A．－eq \f(63,65) B．－eq \f(33,65)


C.eq \f(63,65) D．eq \f(33,65)


A [∵α为锐角，cs α＝eq \f(12,13)，∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(5,13)，


∵β为第三象限角，sin β＝－eq \f(3,5)，∴cs β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(4,5)，


∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(63,65).]


3．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cs α，则tan α＝ .


eq \f(\r(3),3) [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cs αcs eq \f(π,3)＋sin α·sineq \f(π,3)＝eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝cs α，所以eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(1,2)cs α，所以eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\r(3),3)，即tan α＝eq \f(\r(3),3).]


4．cs(α－35°)cs(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝ .


eq \f(1,2) [原式＝cs[(α－35°)－(α＋25°)]


＝cs(－60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).]


5．已知sin α＝－eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(5,13)，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cs(α－β)的值．


[解] 因为sin α＝－eq \f(4,5)，180°＜α＜270°，


所以cs α＝－eq \f(3,5).


因为sin β＝eq \f(5,13)，90°＜β＜180°，


所以cs β＝－eq \f(12,13)，


所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(5,13)


＝eq \f(36,65)－eq \f(20,65)＝eq \f(16,65).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)


2．理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)


3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点)
1. 通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养．


2. 借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养.
cs(60°－30°)
cs 60°
cs 30°
sin 60°
sin 30°
eq \f(\r(3),2)
eq \f(1,2)
eq \f(\r(3),2)
eq \f(\r(3),2)
eq \f(1,2)
cs(120°－60°)
cs 120°
cs 60°
sin 120°
sin 60°
eq \f(1,2)
－eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
eq \f(\r(3),2)
eq \f(\r(3),2)
公式
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
适用条件
公式中的角α，β都是任意角
公式结构
公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反
给角求值问题
给值(式)求值问题
给值求角问题