高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时学案设计

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第一课时 两角差的余弦公式
授课提示：对应学生用书第103页
[教材提炼]
知识点 两角差的余弦公式
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1、A1、P.
P1、A1、P点的坐标如何表示？eq \x\t(AP)与eq \x\t(A1P1)有什么关系？
知识梳理 (1)P1(cs_α，sin_α)、A1(cs_β，sin_β)、P(cs(α－β)，sin(α－β))．
(2)由AP＝A1P1得
对于任意角α，β有
cs(α－β)＝cs_αcs_β＋sin_αsin_β.
[自主检测]
1．cs 45°cs 15°＋sin 45°sin 15°等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
解析：原式＝cs(45°－15°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
答案：B
2．cs 75°cs 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
A．－eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C．2 D．－1
答案：B
3．cs 15°＝________.
答案：eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
4．cs(α－35°)cs(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.
答案：eq \f(1,2)
授课提示：对应学生用书第103页
探究一 正用公式求三角函数值
[例1] [教材P216例2拓展探究]
(1)求cs 75°的值．
[解析] cs 75°＝cs(120°－45°)＝cs 120°cs 45°＋
sin 120°sin 45°＝－eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).
(2)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sin α＝eq \f(4,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(16,65)，求cs β的值．
[解析] 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以0<α＋β<π，
由cs(α＋β)＝－eq \f(16,65)，得sin(α＋β)＝eq \f(63,65)，又sin α＝eq \f(4,5)，所以cs α＝eq \f(3,5)，所以cs β＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,65)))×eq \f(3,5)＋eq \f(63,65)×eq \f(4,5)＝eq \f(204,325).
(3)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(12,13)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值．
[解析] 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(12,13)，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3,4)π))，
所以cs(α＋β)＝eq \f(4,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(5,13)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))
＝eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(12,13)＝－eq \f(56,65).
两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
(2)已知某一个角的三角函数值，求另一个角的余弦值时，要找到这两个角之间的联系，通过构造两角差的余弦的形式，利用公式进行计算．
(3)由于和、差角与单角是相对的，因此做题过程中要根据需要灵活地进行拆角或拼角的变换．
探究二 逆用公式求值
[例2] 求下列各式的值：
(1)cs 40°cs 70°＋cs 20°cs 50°；
(2)cs 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°；
(3)cs(α－20°)cs(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α)；
(4)eq \f(1,2)cs 105°＋eq \f(\r(3),2)sin 105°.
[解析] (1)原式＝cs 40°cs 70°＋sin 70°sin 40°＝cs(70°－40°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
(2)原式＝cs 63°cs 33°＋sin 63°sin 33°
＝cs(63°－33°)
＝cs 30°
＝eq \f(\r(3),2).
(3)cs(α－20°)cs(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α)
＝cs[(α－20°)－(α＋40°)]＝cs(－60°)＝eq \f(1,2).
(4)eq \f(1,2)cs 105°＋eq \f(\r(3),2)sin 105°
＝cs 60°cs 105°＋sin 60°sin 105°
＝cs(60°－105°)＝cs(－45°)＝eq \f(\r(2),2).
逆用cs(α－β)的公式，首先要符合“cs αcs β＋sin αsin β ”的形式，若不符合，要根据诱导公式变形．含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
(1)cs 263°cs 203°＋sin 83°sin 23°的值为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
(2)eq \r(3)sineq \f(π,12)＋cseq \f(π,12)的值为( )
A.eq \f(1,2) B．1
C.eq \r(2) D.eq \r(3)
解析：(1)∵cs 263°＝cs(180°＋83°)＝－cs 83°，
cs 203°＝cs(180°＋23°)＝－cs 23°，
∴原式＝cs 83°cs 23°＋sin 83°sin 23°＝cs(83°－23°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).
(2)原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin\f(π,12)＋\f(1,2)cs\f(π,12)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)cs\f(π,12)＋sin\f(π,3)sin\f(π,12)))
＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝2cseq \f(π,4)＝2×eq \f(\r(2),2)
＝eq \r(2).
答案：(1)B (2)C
探究三 利用两角差的余弦公式求角
[例3] 已知cs α＝eq \f(1,7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，且0<β<α[解析] 由cs α＝eq \f(1,7)，0<αsin α＝eq \r(1－cs2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))2)＝eq \f(4\r(3),7).
由0<β<α得0<α－β又∵cs(α－β)＝eq \f(13,14)，
∴sin(α－β)＝eq \r(1－cs2α－β)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,14)))2)＝eq \f(3\r(3),14).
由β＝α－(α－β)，得
cs β＝cs[α－(α－β)]
＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2).
∵0<β求解给值求角的三个步骤
(1)求所求角的某一种三角函数值．
(2)确定所求角的范围．
(3)在所求角的范围内，根据三角函数值确定角．
已知α，β为锐角，cs α＝eq \f(1,7)，sin(α＋β)＝eq \f(5,14)eq \r(3)，则β＝________.
解析：因为α为锐角，且cs α＝eq \f(1,7)，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4\r(3),7)，又α，β为锐角，
sin(α＋β)＝eq \f(5,14)eq \r(3)所以cs(α＋β)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,14)\r(3)))2)＝－eq \f(11,14)，
所以cs β＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(1,2)，
又β为锐角，故β＝eq \f(π,3).
答案：eq \f(π,3)
授课提示：对应学生用书第104页
一、“角变”——灵活运用公式C(α－β)的关键
公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
公式的适用条件
公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α＋β,2)－\f(α－β,2)))中的“eq \f(α＋β,2)”相当于公式中的α，“eq \f(α－β,2)”相当于公式中的β.
公式的灵活应用
公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形应用，还要创造条件应用公式，如构造角：β＝(α＋β)－α，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)等．
[典例] (1)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(5,13)，0＜θ＜eq \f(π,3)，则cs θ等于( )
A.eq \f(5\r(3)＋12,26) B.eq \f(12－5\r(3),13)
C.eq \f(5＋12\r(3),26) D.eq \f(6＋5\r(3),13)
(2)化简eq \f(2cs 10°－sin 20°,cs 20°)＝________.
[解析] (1)∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，∴θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(12,13).
∴cs θ＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝eq \f(5\r(3)＋12,26).
(2)eq \f(2cs 10°－sin 20°,cs 20°)＝eq \f(2cs30°－20°－sin 20°,cs 20°)＝eq \f(\r(3)cs 20°＋sin 20°－sin 20°,cs 20°)＝eq \r(3).
[答案] (1)A (2)eq \r(3)
二、求三角函数时注意角的取值范围
[典例] 已知α、β均为锐角，且cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β的值．
[解析] 因为α，β均为锐角，
所以sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(3\r(10),10)，
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
又sin α＜sin β.
所以0＜α＜β＜eq \f(π,2)，所以－eq \f(π,2)＜α－β＜0.
故α－β＝－eq \f(π,4).
纠错心得 (1)在两角差的余弦公式cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β中，要注意它的结构特点，等式右边是余弦之积与正弦之积的和，应用时应特别注意．
(2)对于给值求角问题，由已知条件确定出所求角的范围，是解决此类问题的关键．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解单位圆上两点间的距离公式推导两角差的余弦公式的过程，体会单位圆上点的坐标的表示方法．
直观想象
逻辑推理、数学运算
2灵活运用两角差的余弦公式进行求值.