高中人教A版 (2019)2.5 直线与圆、圆与圆的位置课后复习题

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思维导图





新课标要求


1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。


2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。





知识梳理


一、直线与圆的位置关系及判断(直线：Ax＋By＋C＝0，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2)





二、圆与圆的位置关系


1．用几何法判定圆与圆的位置关系


已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req \\al(2,1)，


C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req \\al(2,2)，


则圆心距d＝|C1C2|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)．


则两圆C1，C2有以下位置关系：


2．用代数法判定圆与圆的位置关系


已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，


C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，


将方程联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.))


消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，


则(1)判别式Δ>0时，C1与C2相交．


(2)判别式Δ＝0时，C1与C2外切或内切．


(3)判别式Δ<0时，C1与C2外离或内含．








名师导学


知识点1 直线与圆位置关系的判定


【例1-1】 已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？




















【变式训练1-1】a为何值时，直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100分别有如下关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离？




















知识点2 直线与圆相切的有关问题


【例2-1】过点M(2，4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程．

















【变式训练2-1】若将例2-1中的点M的坐标改为(1，－2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？




















知识点3 直线与圆相交的有关问题


【例3-1】求直线x－eq \r(3)y＋2eq \r(3)＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长．


























【变式训练3-1】已知直线y＝kx(k>0)与圆C：(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝eq \f(2,5)eq \r(5)，则k＝________．





知识点4 两圆位置关系的判定


【例4-1】a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.


(1)外切；(2)相交；(3)外离？

















【变式训练4-1】圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有( )


A．1条 B．2条 C．3条 D．4条





知识点5 两圆相切问题


【例5-1】已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．


【变式训练5-1】若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于 ( )


A．21 B．19 C．9 D．－11





知识点6 两圆相交的问题


【例6-1】已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，判断两圆的位置关系．


























【变式训练6-1】在例6-1的条件下，求公共弦的长度．


























知识点7 直线与圆的方程的应用


【例7-1】某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？




















【变式训练7-1】如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米．








知识点8 坐标法证明几何问题


【例8-1】如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.








【变式训练8-1】如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．
































名师导练


2.5.1 直线与圆的位置关系


A组-[应知应会]


1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )


A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定


2．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )


A．2x－y＋eq \r(5)＝0或2x－y－eq \r(5)＝0


B．2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y－eq \r(5)＝0


C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0


D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0


3．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )


A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2


B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2


C．(x－1)2＋(y－1)2＝2


D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2


4．若直线y＝kx与圆x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切点在第四象限，则k＝________．


5．直线y＝x＋2被圆M：x2＋y2－4x－4y－1＝0所截得的弦长为________．


6．过点A(－1，4)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．

















7．已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.


(1)当m为何值时，曲线C表示圆？


(2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值．




















B组-[素养提升]


8．在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为eq \r(2)的点共有( )


A．1个 B．2个C．3个 D．4个


9．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1，0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n等于( )


A．10－2eq \r(7) B．5－eq \r(7)C．10－3eq \r(3) D．5－eq \f(3,2) eq \r(2)


10．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2eq \r(3)，则a＝________．


11．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．


12．(1)求圆x2＋y2＝10的切线方程，使得它经过点M(2，eq \r(6))；


(2)求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3，0)．








13．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．


(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；


(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程．




















2.5.2 圆与圆的位置关系


A组-[应知应会]


1．圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是 ( )


A．外离 B．相交 C．内切 D．外切


2．过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是( )


A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0


C．5x＋3y－2＝0 D．不存在


3．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则实数m的值为 ( )


A．2 B．－5 C．2或－5 D．不确定


4．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．


5．圆C1：x2＋y2－2mx＋m2－4＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4my＋4m2－8＝0相交，则实数m的取值范围是________．


6．求圆C1：x2＋y2－2x＝0和圆C2：x2＋y2＋4y＝0的圆心距|C1C2|，并确定圆C1和圆C2的位置关系．








7．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．

















B组-[素养提升]


8．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )


A．(x－4)2＋(y－6)2＝6


B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6


C．(x－4)2＋(y－6)2＝36


D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36


9．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于 ( )


A．4 B．4eq \r(2) C．8 D．8eq \r(2)


10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最大值是________．


11．圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________．


12．已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.


(1)若方程C表示圆，求实数m的取值范围；


(2)若圆C与圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求实数m的值；


(3)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝eq \f(4\r(5),5)，求实数m的值．

















13．已知圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2y－14＝0.


(1)试判断两圆的位置关系；


(2)直线l过点(6，3)与圆C1相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(6)，求直线l的方程．




















2.5.3直线与圆的方程的应用


A组-[应知应会]


1．方程eq \r(1－x2)＝x＋k有唯一解，则实数k的取值范围是( )


A．{－eq \r(2)} B．(－eq \r(2)，eq \r(2))


C．[－1，1) D．{k|k＝eq \r(2)或－1≤k＜1}


2．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是( )


A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(3π,2) D．π


3．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，则实数k＋m＝( )


A．－1 B．1 C．0 D．2


4．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，过圆内一点P(2，3)作弦，则最短弦长为________．


5．一束光线从点A(－2，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是________．


6．设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？








7．已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求


(1)eq \f(y,x)的最大值与最小值；


(2)eq \r(（x－2）2＋y2)的最大值与最小值．





























B组-[素养提升]


8．设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，若存在实数t，使得A∩B≠∅，则实数a的取值范围是 ( )


A．(0，eq \f(4,3)] B．[0，eq \f(4,3))C．[0，eq \f(4,3)]D．[0，2]


9．如图所示，已知直线l的方程是y＝eq \f(4,3)x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间为( )





A．6 s B．6 s或16 s


C．16 s D．8 s或16 s


10．已知M＝{(x，y)|y＝eq \r(9－x2)，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是________．


11．过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．


12．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)























13．如图，过半径为2的圆M上两点P，Q的切线相交于点T，自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R，S.试建立适当的直角坐标系用解析法证明：|RT|＝|ST|.





位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝


eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
dd＝r
d>r[m]
代数法：由


消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图形
位置关系
外离
内含
相交
内切
外切
圆心距


与半径


的关系
d>r1＋r2
d<|r1－r2|
|r1－r2|d＝|r1－r2|
d＝r1＋r2
图示