2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第四章　三角函数、解三角形高考专题突破二

高考专题突破二　高考中的三角函数与解三角形问题
题型一　三角函数的图象和性质
例1 (2016·山东)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．
解　(1)由f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2
＝2sin2x－(1－2sin xcos x)
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1
＝sin 2x－cos 2x＋－1
＝2sin＋－1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到y＝2sin＋－1的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，
得到y＝2sin x＋－1的图象，
即g(x)＝2sin x＋－1.
所以g＝2sin ＋－1＝.
思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：
(1)函数f(x)的最小正周期；
(2)函数f(x)的单调区间；
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．
解　(1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝5＝5sin，
所以函数的最小正周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
由2x－＝kπ(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．
题型二　解三角形
例2 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.

(1)求角A和边长c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解　(1)∵sin A＋cos A＝0，
∴tan A＝－，
又0 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即28＝4＋c2－2×2c×，
即c2＋2c－24＝0，
解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4.
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴16＝28＋4－2×2×2×cos C，
∴cos C＝，
∴CD＝＝＝，
∴CD＝BC，
∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×4×2×＝2，
∴S△ABD＝S△ABC＝.
思维升华 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．
跟踪训练2 (2017·北京)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.
(1)求sin C的值；
(2)若a＝7，求△ABC的面积．
解　(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，
所以由正弦定理得sin C＝＝×＝.
(2)因为a＝7，
所以c＝×7＝3.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得
72＝b2＋32－2b×3×，
解得b＝8或b＝－5(舍去)．
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×
＝6.
题型三　三角函数和解三角形的综合应用
例3　如图，某机械厂欲从AB＝2米，AD＝2 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EB＝EF，AF
(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，求出定义域；
(2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值．
解　(1)过点F作FM⊥BE，垂足为M.

在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝，∠FEM＝θ，
所以EF＝，ME＝，
故AF＝BM＝EF－EM＝－，
所以f(θ)＝(AF＋BE)×AB
＝××2＝－，
由题意可知，AF 且当点E重合于点C时，EF＝EB＝2，FM＝2，θ＝，
所以函数f(θ)＝－的定义域为.
(2)由(1)可知，
f(θ)＝－＝－
＝2－
＝3tan ＋≥2＝2，
当且仅当3tan ＝时，等号成立，
又θ∈，∈，
故当tan ＝，即＝，θ＝时，四边形ABEF的面积最小，
此时BE＝＝，AF＝－＝，f(θ)＝－＝2.
答　当BE，AF的长度分别为 米， 米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为2 平方米．
思维升华 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．
跟踪训练3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B－bcos C＝ccos B.
(1)判断△ABC的形状；
(2)若f(x)＝cos 2x－cos x＋，求f(A)的取值范围．
解　(1)因为asin B－bcos C＝ccos B，
由正弦定理可得sin Asin B－sin Bcos C＝sin Ccos B.
即sin Asin B＝sin Ccos B＋cos Csin B，
所以sin(C＋B)＝sin Asin B.
因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin Asin B，
又sin A≠0，所以sin B＝1，B＝，
所以△ABC为直角三角形．
(2)因为f(x)＝cos 2x－cos x＋
＝cos2x－cos x＝2－，
所以f(A)＝2－，
因为△ABC是直角三角形，
所以0 所以当cos A＝时，f(A)有最小值－.
所以f(A)的取值范围是.


1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图．

(1)求函数f(x)的解析式．
(2)求函数f(x)在区间上的最值，并求出相应的x值．
解　(1)由题干图象可知|A|＝2，
又A>0，故A＝2.
周期T＝×＝×＝π，
又T＝＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，
由题干图象知f＝2sin＝2，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝－，
故f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x－∈，
∴sin∈，2sin∈.
当2x－＝，
即x＝时，f(x)取得最大值，
f(x)max＝f＝2.
当2x－＝－，
即x＝0时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(0)＝－1.
2．设函数f(x)＝2tan ·cos2－2cos2＋1.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期．
(2)求f(x)在[－π，0]上的最值．
解　(1)f(x)＝2sin cos －cos
＝sin －cos＝sin －cos ＋sin
＝sin.
由≠＋kπ(k∈Z)，
得f(x)的定义域为{x|x≠2π＋4kπ(k∈Z)}，
故f(x)的最小正周期为T＝＝4π.
(2)∵－π≤x≤0，∴－≤－≤－.
∴当－∈，
即x∈时，f(x)单调递减，
当－∈，
即x∈时，f(x)单调递增，
∴f(x)min＝f＝－，
又f(0)＝－，f(－π)＝－，
∴f(x)max＝f(0)＝－.
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(x)<3，求x的取值范围．
解　(1)由题意得A＝6，＝－＝，∴T＝π，
∴＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝6sin(2x＋φ)，
又f(x)过点，∴6sin＝6，
∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ－，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝6sin.
(2)6sin<3，即sin<，
在区间中，要使sin<，
则－<2x－<，
所以－＋2kπ<2x－<＋2kπ，k∈Z，
解得kπ－ 所以x的取值范围为.
4．已知点P(，1)，Q(cos x，sin x)，O为坐标原点，函数f(x)＝·.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值．
解　(1)由已知，得＝(，1)，＝(－cos x,1－sin x)，
所以f(x)＝·＝3－cos x＋1－sin x
＝4－2sin，
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为f(A)＝4，所以sin＝0，
又0 因为BC＝3，
所以由正弦定理，得AC＝2sin B，AB＝2sin C，
所以△ABC的周长为3＋2sin B＋2sin C
＝3＋2sin B＋2sin
＝3＋2sin.
因为0 所以 所以当B＋＝，即B＝时，
△ABC的周长取得最大值，最大值为3＋2.

5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.

(1)求A；
(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．
解　(1)acos C＋asin C－b－c＝0，
由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C，
即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，
亦即sin Acos C＋sin Asin C
＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin C，
则sin Asin C－cos Asin C＝sin C.
又sin C≠0，
所以sin A－cos A＝1，
所以sin(A－30°)＝.
在△ABC中，0° 则－30° 所以A－30°＝30°，得A＝60°.
(2)在△ABC中，因为cos B＝，
所以sin B＝.
所以sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝.
由正弦定理，得＝＝.
设a＝7x，c＝5x(x>0)，
则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，
即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，
解得x＝1(负值舍去)，
所以a＝7，c＝5，
故S△ABC＝acsin B＝10.

6．已知函数f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋t(ω>0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点(0,0)．
(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若函数F(x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．
解　(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋t
＝2sin＋t，
f(x)的最小正周期为＝，∴ω＝2，
∵f(x)的图象过点(0,0)，
∴2sin ＋t＝0，
∴t＝－1，即f(x)＝2sin－1.
令2kπ－≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
求得－≤x≤＋，k∈Z，
故f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得
y＝2sin－1＝2sin－1的图象，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin－1的图象．
∵x∈，
∴2x－∈，
∴sin∈，
故g(x)＝2sin－1在区间上的值域为.
若函数F(x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，
由题意可知，函数g(x)＝2sin－1的图象和直线y＝－k有且只有一个交点，
根据图象(图略)可知，k＝－1或1－ 故实数k的取值范围是{－1}∪(1－，＋1]．