专题08 综合测试01（解析版）

专题08  综合测试01

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（2021年金陵中学学情调研）已知集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|lnx＞0}，则(∁RA)∩B＝(   )

A．    B．(0，4]   C．(1，4]   D．(4，＋∞)

【答案】C

【解析】易得A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|x＞1}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤4}，(∁RA)∩B＝(1，4]．

2、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（     ）

A．2 B． C．5 D．

【答案】D

【解析】因为，所以．

3、（2020届山东省烟台市高三上期末）设，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题,因为单调递减,则；

因为单调递减,则；

因为单调递增,则,

所以,

故选：A

4、(北京市北大附中高三期末)某学校开设类选修课门，类选修课门，一位同学从中共选门，若要求两类课程各至少选一门，则不同的选法共有（    ）．

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】A

【解析】由题意，7门课程选3门有种方法，

若选择的课程均为A课程，有种方法，

选择的课程均为B课程，有种方法，

满足题意的选择方法有：种.

本题选择A选项.

5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，正态分布曲线关于对称， ,

根据对称性可知，,

.

故选：C

6、（2021年金陵中学学情调研）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝，S3－a1＝，则S5＝(   )

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】由题得解得a1＝1，q＝，所以S5＝＝＝．

7、（2021年金陵中学学情调研）(x－1)(2x＋1)10的展开式中x10的系数为(   )

A．－512   B．1024    C．4096    D．5120

【答案】C

【解析】展开式中x10的项为xC(2x)9－C(2x)10＝(C·29－C·210)x10，

所以，展开式中x10的系数为C·29－C·210＝4096．

8、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】取的中点，连接 ,由条件可知，

是的中点，

又，

,

根据双曲线的定义可知，

，

直线的方程是： ，即 ，

原点到直线的距离，

中，，

整理为： ，

即 ，解得： ，或（舍）

故选：C

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知均为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若则

D．若则

【答案】BC

【解析】若，，则，故A错；

若，，则，化简得，故B对；

若，则，又，则，故C对；

若，，，，则，，，故D错；

故选：BC．

10、（2021年金陵中学学情调研）下列说法中正确的是(   )

A．设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝

B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4

C．E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝2D(X)＋3

D．已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝x，P(ξ＝1)＝1－x，若0＜x＜，则E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大

【答案】ABD

【解析】设随机变量X~B，则P(X＝3)＝C3×3＝，A正确；

因为随机变量ξ~N(2，σ2)，所以正态曲线的对称轴是x＝2，因为P(X＜4)＝0.9，所以P(0＜X＜4)＝0.8，所以P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0.4，B正确；

E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故C不正确；

由题意可知，E(ξ)＝1－x，D(ξ)＝x(1－x)＝－x2＋x，由一次函数和二次函数的性质知，当0＜x＜时，E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大，故D正确．

11、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数的描述正确的是（    ）

A．其图象可由的图象向左平移个单位得到

B．在单调递增

C．在有2个零点

D．在的最小值为

【答案】ACD

【解析】由题：，

由的图象向左平移个单位，

得到，所以选项A正确；

令，得其增区间为

在单调递增，在单调递减，所以选项B不正确；

解，得：，，

所以取，所以选项C正确；

，，

所以选项D正确.

故选：ACD

12、（2021年金陵中学学情调研）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(   )

A．a6＝8        B．S7＝33

C．a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝a2022    D．＝a2020

【答案】ABD

【解析】由题意可得数列{an}满足递推关系a1＝1，a2＝2，an＝an－2＋an－1(n≥3)．

对于A，数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A正确；

对于B，S7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，故B正确；

对于C，由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2019＝a2020－a2018，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝a2020，故C不正确；

对于D，因为an＋2＝an＋1＋an，则a12＝a2a1，a22＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a1，a32＝a3(a4－a2)＝a3a4－a3a2，…，a20182＝a2018a2019－a2017a2018，a22019＝a2019a2020－a2019a2018，所以a12＋a22＋a32＋…＋a22019＝a2019a2020，故D正确．

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线与圆相交于、两点，则__________.

【答案】

【解析】圆的标准方程为，圆心到直线的距离，

所以弦长：.

故答案为：

14、（湖北省宜昌市第一中学2017-2018学年高二上学期期末）的二项展开式中的常数项的值为______．

【答案】

【解析】的二项展开式中的通项公式为：.

令，解得.

可得常数项为：.

故答案为：.

15、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，，则________，________.

【答案】       

【解析】由于，

则，解得，

由于，，利用正弦定理，

则，整理得，

解得，∴，

由，所以

所以

则.

故答案为： ；.

16、（2021年金陵中学学情调研）已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(－x)＋f(x)有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是________.

【答案】(27，＋∞)

【解析】g(x)＝为偶函数，图像关于y轴对称．

当k＝0时，原函数有且只有一个零点，不符题意，故k≠0．

所以，g(x)有且仅有四个不同的零点可转化为g(x)＝x2＋－k，x＞0有且仅有两个不同的零点．

当k＜0时，函数g(x)在(0，＋∞)单调递增，最多一个零点，不符题意；

当k＞0时，g'(x)＝，x＞0，列表如下：

要使g(x)在(0，＋∞)有且仅有两个不同的零点，则g(x)min＝g(k)＝k＋－k＜0，解得k＞27．

易知，当x→0及x→＋∞时，均有g(x)→＋∞，所以g(x)在(0，k)和(k，＋∞)上各有一个零点，符合题意．

综上，实数k的取值范围是(27，＋∞)．

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①;②这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.

在中，角的对边分别为，已知        ，.

(1)求;

(2)如图，为边上一点，，求的面积

【解析】

解:若选择条件①，则答案为:

(1)在中，由正弦定理得，

因为，所以，

所以，因为，所以.

(2)解法1:设，易知

在中由余弦定理得:，解得.

所以

在中，

所以，所以，

所以

解法2:因为，所以，

因为所以，

所以

因为为锐角，所以

又，所以

所以

若选择条件②，则答案为:

(1)因为，所以，

由正弦定理得，

因为，所以，

因为，所以，则，所以.

(2)同选择①

18、（2021年江苏苏州中学模拟）设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列{}的前n项和．

【解析】(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，

故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．

两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)．

又由题设可得a1＝2，从而{an}的通项公式为an＝．

(2)记{}的前n项和为Sn，由(1)知＝＝－．

则Sn＝－＋－＋…＋－＝．

19、（2020届山东省日照市高三上期末联考）如图，扇形的半径为，圆心角，点为弧上一点，平面且，点且，∥平面．

（1）求证：平面平面；

（2）求平面和平面所成二面角的正弦值的大小.

【解析】（1）如图，连接交于点，连接，

∥平面，∥，，，

，，，，

又，在中，根据余弦定理得，

，，，

又平面，，平面，

又平面，平面平面

（2）由（1）得，如图建立空间直角坐标系，

，，，，

，，点且，，

设平面的法向量为，则，即，

令，得，，，

设平面的法向量为，则，即，即，令，得，，，

设平面和平面所成二面角的大小为，

则，，

∴平面和平面所成二面角的正弦值的大小为

20、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．

【解析】

（1）当时，，，

所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.

（2）因为，

因为函数处有极小值，所以，

所以

由，得或，

当或时，，

当时，，

所以在，上是增函数，在上是减函数，

因为，，

所以的最大值为.

21、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.

（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）

（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：

①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；

②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？

附：线性回归方程，

其中，.

【解析】（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，

18名男同学中应抽取的人数为名，

故不同的样本的个数为.

（2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，

∴的取值为0，1，2，3.

∴，，

，.

∴的分布列为

∴.

②∵，.

∴线性回归方程为.

当时，.

可预测该同学的物理成绩为96分.

22、（南京29中心高三学情调研） 已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点，是否存在过直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由.

【解析】（1）直线的一般方程为.

依题意，解得，故椭圆的方程式为.

（2）假若存在这样的直线，

当斜率不存在时，以为直径的圆显然不经过椭圆的左顶点，

所以可设直线的斜率为，则直线的方程为.

由，得.

由，得.

记，的坐标分别为，，

则，，

而 .

要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，

即 ，

所以 ，

整理解得或，

所以存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点，直线的方程为或.