高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.2 平面与平面垂直说课课件ppt

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.2 平面与平面垂直说课课件ppt，共54页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，知识点一二面角，答案C，探究一，探究二，探究三，探究四，素养形成，当堂检测等内容，欢迎下载使用。

日常生活中有很多关于面面垂直的例子.如:建筑工人砌墙,请问砌墙时如何使所砌的墙面和水平面垂直?观察门的转动情况,请问门在每个位置是否都与地面垂直?
一般地,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的4个二面角中,不大于90°的角的大小
微思考二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关?
提示:无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.
微判断(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.(　　)(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.(　　)(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角.(　　)(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.(　　)答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
知识点二:两个平面垂直及其判定定理、性质定理定义:一般地,如果两个平面α与β所成角的大小为90°,则称这两个平面互相垂直,记作α⊥β.
名师点析 对判定定理的理解此定理不仅是判定两个平面互相垂直的理论依据,还是找出或作出与已知平面垂直的平面的理论依据,该定理实现了线面垂直和面面垂直之间的转化,可以简单记为“线面垂直得面面垂直”.应用时可先固定一个平面,再在另一个平面内找到一条直线与第一个平面垂直即可.对性质定理的理解此定理实现了面面垂直和线面垂直之间的转化,可以简单记为“面面垂直得线面垂直”,该定理也给出了过一点引一个平面垂线的方法.两个平面垂直的性质还有:(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;(2)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面.
微思考1过平面α的一条垂线能作多少个平面与平面α垂直?提示:无数个.可以将自己的课本打开立放在桌面上进行观察.微思考2两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系是怎样的?提示:两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系可能是平行,也可能是相交,还可能是在平面内.
微练习1如图所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有(　　)A.1对　　　　　　B.2对C.3对 D.4对
解析:∵AB⊥平面BCD,且AB⊂平面ABC和AB⊂平面ABD,∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.又∵BC⊥CD,AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.∵CD⊂平面ACD,∴平面ABC⊥平面ACD.故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD.
微练习2在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面ABCD⊥平面BDD1B1.
证明:∵BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,∴BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,∴平面ABCD⊥平面BDD1B1.
求二面角的大小例1如图,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.(1)求二面角A-PD-C的平面角的度数;(2)求二面角B-PA-D的平面角的度数;(3)求二面角B-PA-C的平面角的度数;(4)求二面角B-PC-D的平面角的度数.
解:(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90°.(2)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.又由题意知∠BAD=90°,所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°.(3)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°.所以二面角B-PA-C的平面角的度数为45°.
(4)作BE⊥PC于点E,连接DE,BD,且BD与AC交于点O,连接EO,如图.由题意知△PBC≌△PDC,则∠BPE=∠DPE,从而△PBE≌△PDE.所以∠DEP=∠BEP=90°,且BE=DE.所以∠BED为二面角B-PC-D的平面角.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.设AB=a,则PA=AB=BC=a,
反思感悟 作二面角的平面角的方法方法一(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.
方法二(垂线法):过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.
方法三(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即二面角的平面角.如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
变式训练 1(1)如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行,则这两个二面角的大小关系是(　　)A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系不确定(2)已知Rt△ABC,斜边BC⊂α,点A∉α,AO⊥α,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,求二面角A-BC-O的大小.
(1)答案:C解析:可作出这两个二面角的平面角,易知这两个平面角的两边分别平行,故这两个二面角相等或互补.(2)解:如图所示,在平面α内,过点O作OD⊥BC,垂足为点D,连接AD.
设OC=a,∵AO⊥α,BC⊂α,∴AO⊥BC.又∵AO∩OD=O,∴BC⊥平面AOD.而AD⊂平面AOD,∴AD⊥BC,∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角.由AO⊥α,OB⊂α,OC⊂α知AO⊥OB,AO⊥OC.
面面垂直的判定例2如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.
证明:(方法一)∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,∴△ASB和△ASC是等边三角形,令SA=SB=SC=AB=AC=a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
(方法二)∵SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,∴SA=AB=AC,∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.∵△SBC为直角三角形,∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,∴AD⊥平面SBC.又∵AD⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面SBC.
反思感悟 证明面面垂直的方法(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
变式训练 2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.
证明:由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1,又BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.
又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B,所以BM⊥平面A1B1M,因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.
面面垂直的性质例3如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC.
(1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明;(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.
解:(1)BC⊥平面PAC.证明:因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,所以∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAC.(2)因为BC⊥平面PAC,且BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.
变式训练 3如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B均是定点,则动点C运动形成的图形是(　　)A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点
答案:D解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°,所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A和B两点,故选D.
探索型问题例4在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,且AB=BC,能否在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC⊥侧面AA1C1C?若能,指出点E的位置,并求解;若不能,请说明理由.
解:如图,作EM⊥A1C于点M,因为截面A1EC⊥平面AA1C1C,所以EM⊥平面AA1C1C.取AC的中点N,连接BN,MN.因为AB=BC,所以BN⊥AC.而AA1⊥平面ABC,AA1⊂平面AA1C1C,所以平面ABC⊥平面AA1C1C,且交于AC,所以BN⊥平面AA1C1C.所以BN∥EM,BN⊥MN.
又BE∥平面AA1C1C,平面BEMN∩平面AA1C1C=MN,所以BE∥MN∥A1A.所以四边形BEMN为平行四边形.因为AN=NC,所以A1M=MC.
即E为BB1的中点时,平面A1EC⊥平面AA1C1C.
反思感悟 1.垂直关系的相互转化
2.探究型问题的两种解题方法(1)(分析法)即从问题的结论出发,探求问题成立的条件.(2)(反证法)先假设使结论成立的条件存在,然后进行推证,推出矛盾,否定假设,确定使结论成立的条件不存在.
延伸探究 如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且 =λ(0<λ<1).(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
(1)证明:因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.
所以不论λ为何值,恒有EF∥CD.所以EF⊥平面ABC,EF⊂平面BEF.所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解:由(1)知,BE⊥EF,因为平面BEF⊥平面ACD,所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC.因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,
注意由几何体的所属范围不同而进行的分类讨论典例已知在四边形ABCD中,四个角∠ABC,∠BCD,∠CDA,∠DAB都是直角.求证:四边形ABCD是矩形.
证明:(1)当四边形ABCD是平面四边形时,易得其是矩形.(2)若四边形ABCD是空间四边形,可设点C在平面ABD之外,如图所示,设C'是点C在平面ABD内的射影,
因为AD⊂平面ABD,CC'⊥平面ABD,所以CC'⊥AD.又CD⊥AD,CC'∩CD=C,所以AD⊥平面CC'D,所以C'D⊥AD.同理C'B⊥AB.
将②③代入①得BD2>BD2,矛盾,故四边形ABCD不可能是空间四边形,只能是平面四边形,所以四边形ABCD是矩形.
方法点睛1.要避免错误,一定要将有关定理或性质的适用条件及内涵把握清楚,不能凭想当然进行毫无逻辑的论证.2.涉及空间中讨论问题,不能仅局限于初中所学平面几何的范畴.一些平面几何中的结论也不能随意照搬到立体几何中.
变式训练 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,则平面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗?
解:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.∵BB1⊥底面ABCD,∴AC⊥B1B.∵B1B∩BD=B,∴AC⊥对角面BB1D1D.又∵AC⊂平面ACB1,∴平面ACB1⊥对角面BB1D1D.
1.(多选题)已知两条直线l,m及三个平面α,β,γ,下列条件中能推出α⊥β的是(　　)A.l⊂α,l⊥βB.l⊥α,m⊥β,l⊥mC.α⊥γ,β∥γD.l⊂α,m⊂β,l⊥m答案:ABC解析:如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直,知选项A正确;选项B显然正确;如果两个互相平行的平面有一个垂直于一个平面,那么另一个平面也垂直于这个平面,知选项C正确;D选项α与β可能平行.
2.过两点与已知平面垂直的平面有(　　)A.一个B.无数个C.一个或无数个D.可能不存在答案:C解析:当两点连线与平面垂直时,有无数个平面与已知平面垂直;当两点连线与平面不垂直时,有且只有一个平面与已知平面垂直.
3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的大小是　　　　　. 
答案:45°解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面AD1,则AB⊥AD1.又AB⊥AD,所以∠D1AD为二面角D1-AB-D的平面角,在Rt△D1AD中,∠D1AD=45°.
4.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC=　　　　　. 
答案:1解析:因为在△ABC中,AD⊥BC,所以折叠后有AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.