高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.2 平面与平面垂直课时训练

十九　平面与平面垂直

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)如果直线l,m与平面α,β,γ满足l=β∩γ,l∥α,m⊂α,m⊥γ,那么不成立的是 (　　)

A.α⊥γ和l⊥m  B.α∥γ和m∥β

C.m∥β和l⊥m   D.α∥β和α⊥γ

【解析】选BCD.由m⊥γ,l⊂γ,可得m⊥l.由m⊂α,m⊥γ,可得α⊥γ.

2.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角α-l-β的平面角的大小是              (　　)

A.60°    B.120°

C.60°或120°  D.不确定

【解析】选C.若点P在二面角内,则二面角的平面角为120°;若点P在二面角外,则二面角的平面角为60°.

【补偿训练】

在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED的度数为              (　　)

A.45° B.90° C.60° D.30°

【解析】选B.如图,设AB=BC=CD=AD=a,取BD的中点F,连接AF,CF,

则AF⊥BD,CF⊥BD,

所以∠AFC是二面角A-BD-C的平面角,

由题意知∠AFC=90°,

　即AF⊥FC由题意可得AF=CF=a.

在Rt△AFC中,易得AC=a.

所以△ACD为正三角形.

又因为E是CD的中点,

所以AE⊥CD,即∠AED=90°.

3.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 (　　)

A.0个   B.1个

C.无数个  D.1个或无数个

【解析】选D.当两点连线与平面α垂直时,可作无数个垂面,否则,只有1个.

4.设平面α⊥平面β,在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则 (　　)

A.直线a必垂直于平面β

B.直线b必垂直于平面α

C.直线a不一定垂直于平面β

D.过a的平面与过b的平面垂直

【解析】选C.当α⊥β,在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β,因此,垂直于平面β内的一条直线b的直线不一定垂直于β.

5.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1 (　　)

A.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直

【解析】选C.如图所示,

在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=CD.

所以BD⊥AC.

因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,

所以BD⊥平面AA1C1C.

又CC1⊂平面AA1C1C,

所以BD⊥CC1.

6.如图,正四面体ABCD中,E,F分别是线段AC的三等分点,P是线段AB的中点,G是直线BD上的动点,则(　　)

A.存在点G,使PG⊥EF成立

B.存在点G,使FG⊥EP成立

C.不存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立

D.不存在点G,使平面EFG⊥平面ABD成立

【解析】选C.正四面体ABCD中,E,F分别是线段AC的三等分点,

P是线段AB的中点,G是直线BD上的动点,

在A中,不存在点G,使PG⊥EF成立,故A错误;在B中,不存在点G,使FG⊥EP成立,故B错误;在C中,不存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立,故C正确;在D中,存在点G,使平面EFG⊥平面ABD成立,故D错误.

二、填空题(每小题4分,共8分)

7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

(1)二面角D1-AB-D的大小是________. 

(2)二面角A1-AB-D的大小是________. 

【解析】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面AD1,

则AB⊥AD1.

又AB⊥AD,所以∠D1AD即为二面角D1-AB-D的平面角,

在Rt△D1AD中,∠D1AD=45°.

(2)与第一问同理可得,∠A1AD为二面角A1-AB-D的平面角,

所以二面角A1-AB-D的大小为90°.

答案:(1)45°　(2)90°

8.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),则图中互相垂直的平面有________对. 

【解析】因为DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,

所以DA⊥平面PAB,同理BC⊥平面PAB,

又AB⊥平面PAD,所以DC⊥平面PAD,

所以平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.

答案:5

三、解答题(每小题14分,共28分)

9.如图所示,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.

证明:平面PQC⊥平面DCQ.

【证明】由四边形ABCD为正方形,可得CD⊥AD,

又PD⊥平面ABCD,

所以PD⊥CD,PD⊥AD,因为AD∩PD=D,

所以CD⊥平面AQPD,因为PQ⊂平面AQPD,所以CD⊥PQ.如图所示,取PD的中点E,连接QE.

则DE∥AQ,且DE=AQ,

从而四边形AQED是平行四边形,

则QE∥AD,所以QE⊥PD,所以DQ=QP.

设QA=1,则AB=1,PD=2.

在△DQP中,有DQ=QP=,PD=2.

所以DQ2+QP2=PD2,

故∠PQD=90°,即DQ⊥PQ.

又CD∩DQ=D,所以PQ⊥平面DCQ.

又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.

10.(2020·全国Ⅱ卷)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.

(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;

(2)设O为△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.

【解析】(1)因为M,N分别为BC,B1C1的中点,

所以MN∥BB1,又AA1∥BB1,所以MN∥AA1,在正△ABC中,M为BC的中点,则BC⊥AM,又因为侧面BB1C1C为矩形,所以BC⊥BB1,

因为MN∥BB1,所以MN⊥BC,又MN∩AM=M,MN,AM⊂平面A1AMN,

所以BC⊥平面A1AMN,又因为B1C1∥BC,所以B1C1⊥平面A1AMN,

又因为B1C1⊂平面EB1C1F,

所以平面EB1C1F⊥平面A1AMN.

(2)连接NP,

因为AO∥平面EB1C1F,平面AONP∩平面EB1C1F=NP,

所以AO∥NP,根据三棱柱上下底面平行,

平面A1NMA∩平面ABC=AM,平面A1NMA∩平面A1B1C1=A1N,

所以ON∥AP,故四边形ONPA是平行四边形,设△ABC边长是6m(m>0),

可得:ON=AP,NP=AO=AB=6m,

因为O为△A1B1C1的中心,且△A1B1C1边长为6m,所以ON=×6m×sin 60°=m,

故ON=AP=m,易证得EF∥BC,所以=,所以=,解得EP=m,在B1C1上截取B1Q=EP=m,故QN=2m,因为B1Q=EP,且B1Q∥EP,

所以四边形B1QPE是平行四边形,所以B1E∥PQ,

由(1)知B1C1⊥平面A1AMN,故∠QPN为B1E与平面A1AMN所成的角,在Rt△QPN中,根据勾股定理可得:PQ===2m,

所以sin ∠QPN===,

所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)用a,b,c表示空间中三条不同的直线,γ表示平面,则下列命题为真命题的是 (　　)

A.若a⊥b,b⊥c,则a∥c

B.若a∥b,a∥c,则b∥c

C.若a∥γ,b∥γ,则a∥b

D.若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b

【解析】选BD.对于A,正方体从同一顶点引出的三条直线a,b,c,满足a⊥b,b⊥c,但是a⊥c,所以A错误;对于B,若a∥b,a∥c,则b∥c,所以B正确;

对于C,平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,所以C错误;对于D,由垂直于同一平面的两条直线平行,知D正确.

2.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是              (　　)

A.一条线段

B.一条直线

C.一个圆

D.一个圆,但要去掉两个点

【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,

AC⊂平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,

所以AC⊥平面PBC.

又因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,

所以∠ACB=90°,

所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A和B两点.

3.将角A为60°,边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角,则折叠后A与C之间的距离为 (　　)

A.a   B.a   C.a   D.a

【解析】选C.设折叠后点A到A1的位置,取BD的中点E,连接A1E,CE.

则BD⊥CE,BD⊥A1E.

于是∠A1EC为二面角A1-BD-C的平面角.

故∠A1EC=60°.

因为A1E=CE,

所以△A1EC是等边三角形.

所以A1E=CE=A1C=a.

4.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列命题正确的是              (　　)

A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC

【解析】选D.在题图①中因为∠BAD=90°,AD=AB,

所以∠ADB=∠ABD=45°.

因为AD∥BC,所以∠DBC=45°.

又因为∠BCD=45°,

所以∠BDC=90°,即BD⊥CD.

在题图②中,此关系仍成立.

因为平面ABD⊥平面BCD,

所以CD⊥平面ABD.

因为BA⊂平面ADB,

所以CD⊥AB.

因为BA⊥AD,CD∩AD=D,

所以BA⊥平面ACD.

因为BA⊂平面ABC,

所以平面ABC⊥平面ACD.

【补偿训练】

　　　如图,在四面体P-ABC中,AB=AC,PB=PC,D,E,F分别是棱AB,BC,CA的中点,则下列结论中不成立的是              (　　)

A.BC∥平面PDF

B.DF⊥平面PAE

C.平面PDF⊥平面PAE

D.平面PDF⊥平面ABC

【解析】选D.因为D,F分别为AB,AC的中点,

则DF为△ABC的中位线,则BC∥DF,

依据线面平行的判定定理,可知BC∥平面PDF,A成立.

又E为BC的中点,且PB=PC,AB=AC,

则BC⊥PE,BC⊥AE,依据线面垂直的判定定理,可知BC⊥平面PAE.

因为BC∥DF,所以DF⊥平面PAE,B成立.

又DF⊂平面PDF,则平面PDF⊥平面PAE,C成立.要使平面PDF⊥平面ABC,已知AE⊥DF,

则必须有AE⊥PD或AE⊥PF,由条件知此垂直关系不一定成立.

二、填空题(每小题4分,共16分)

5.如图,在三棱锥P-ABC内,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=________. 

【解析】因为侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC),PA⊂平面PAC,

所以PA⊥平面ABC,

所以PA⊥AB,

所以PB===.

答案:

6.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中点,E是PC上的点,且EF⊥BC,则=________. 

【解析】在三棱锥P-ABC中,

因为PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,

所以AB⊥平面APC.

因为EF⊂平面PAC,所以EF⊥AB,

因为EF⊥BC,BC∩AB=B,

所以EF⊥底面ABC,所以PA∥EF,

因为F是AC的中点,E是PC上的点,

所以E是PC的中点,所以=1.

答案:1

7.如图所示,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.有以下四个命题:①PA∥平面MOB;②MO∥平面PAC;③OC⊥平面PAC;④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号) 

【解析】因为PA⊂平面MOB,所以①不正确;

因为MO∥PA,而且MO⊄平面PAC,

所以②正确;OC不垂直于AC,所以③不正确;

因为BC⊥AC,BC⊥PA,AC∩PA=A,

所以BC⊥平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC,

所以④正确.

答案:②④

8.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC=________. 

【解析】因为在原△ABC中,AD⊥BC,

所以折叠后有AD⊥BD,AD⊥CD,

所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.

因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.

在Rt△BCD中∠BDC=90°,BD=CD=,

所以BC==1.

答案:1

三、解答题(共38分)

9.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求证:平面PDC⊥平面PAD.

【证明】因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,

所以PA⊥CD.又因为CD⊥AD,PA∩AD=A,

所以CD⊥平面PAD.又因为CD⊂平面PDC.

所以平面PDC⊥平面PAD.

10.(12分)已知三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC.

(1)求证:AB⊥BC.

(2)若AB=BC,过点A作AF⊥PB于点F,连接CF,求证:平面PBD⊥平面AFC.

【证明】如图所示:

(1)取AC的中点D,连接PD,BD,

因为PA=PC,所以PD⊥AC,

又平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,

所以PD⊥平面ABC,D为垂足.

因为PA=PB=PC,所以DA=DB=DC,

所以AC为△ABC的外接圆的直径,故AB⊥BC.

(2)因为PA=PC,AB=BC,PB=PB,

所以△ABP≌△CBP.

因为AF⊥PB,所以CF⊥PB,

又AF∩CF=F,所以PB⊥平面AFC,

又PB⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面AFC.

11.(14分)在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,PD⊥平面ABCD,PD=a.

(1)求证:AC⊥平面PBD.

(2)求二面角P-BC-D的平面角.

(3)求二面角P-AC-D的平面角的正切值.

【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,

所以AC⊥BD,

又PD⊥平面ABCD,PD⊂平面ABCD,

所以AC⊥PD,

又PD∩BD=D,所以AC⊥平面PBD.

(2)因为四边形ABCD为正方形,所以BC⊥CD,

又PD⊥平面ABCD,所以BC⊥PD.

又CD∩PD=D,所以BC⊥平面PCD,所以BC⊥PC,

所以∠PCD为二面角P-BC-D的平面角,

在Rt△PCD中,因为PD=DC=a,

所以∠PCD=45°,即二面角P-BC-D的平面角为45°.

(3)连接PO,

由(1)知AC⊥平面PBD,则PO⊥AC,DO⊥AC,

所以∠POD为二面角P-AC-D的平面角,

在Rt△PDO中,tan∠POD===.

所以二面角P-AC-D的平面角的正切值为.