高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数教学设计

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专题16对数函数（讲）


知识点课前预习与精讲精析

1．对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
[知识点拨]　(1)由于指数函数y＝ax中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.
(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：

a＞1
0＜a＜1
图象


性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
非奇非偶函数
3.反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
4．对数型复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．
5．对数型复合函数的值域
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．

1．已知函数，若，则________．
【答案】-7
【解析】
根据题意有，可得，所以，故答案是.
2．函数的单调增区间是______.
【答案】
【解析】
由题意，函数满足，解得或，
即函数的定义域为，
令，则函数在单调递减，在区间单调递增，
再根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.
故答案为.
3．函数在上是x的减函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
函数，
所以真数位置上的在上恒成立，
由一次函数保号性可知，，
当时，外层函数为减函数，
要使为减函数，则为增函数，
所以，即，所以，
当时，外层函数为增函数，
要使为减函数，则为减函数，
所以，即，所以，
综上可得的范围为.
故答案为.
4．方程的解__________
【答案】
【解析】
解：∵，
∴，
∴
经检验满足
故答案为：.
5．已知，则等于__________.
【答案】2014
【解析】
令，则，
．
故答案为2014．

典型题型与解题方法

重要考点一：对数函数概念
【典型例题】下列函数是对数函数的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由对数函数定义可以，本题选C．
【题型强化】已知对数函数的图象过点M（9，2），则此对数函数的解析式为
A．y=log2x B．y=log3x
C．y=logx D．y=logx
【答案】B
【解析】
设函数f（x）=logax（x>0，a>0且a≠1），∵对数函数的图象过点M（9，2），∴2=loga9，∴a2=9，a>0，解得a=3．∴此对数函数的解析式为y=log3x．故选B．
【收官验收】若函数y＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值为______．
【答案】2
【解析】
由对数函数的定义结合题意可知：，
据此可得：.
【名师点睛】
对于对数概念要注意以下两点：
(1)在函数的定义中，a>0且a≠1.
(2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是大于0且不等于1的常数．
重要考点二：对数函数的定义域
【典型例题】函数的定义域为_________
【答案】
【解析】
要使对数函数有意义，则需真数大于0，即需使解得或，所以函数定义域为，
故填：.
【题型强化】函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
对函数有意义，
即.
故答案为：
【收官验收】对数表达式中的的取值范围是________
【答案】
【解析】
由题意可得，解得且，
所以的取值范围是.
故答案为：
【名师点睛】
定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．
重要考点三：忽略对数函数的定义域致错
【典型例题】已知函数.
（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）
（2）因为函数在区间上是增函数，
故只需在上单调递减，且.
则且，
解得且.故.
【题型强化】已知函数=其中且.
（1）求函数的定义域；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1） （2）答案见解析
【解析】
(1)由，得
函数的定义域为；
(2)当时，由得，解得，
当时，由得，解得，
综上可知：当时，x的取值范围为，当时，x的取值范围为.
【收官验收】已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的定义域
（3）判断函数的奇偶性，并证明.
【答案】(1)；(2)；(3)偶函数，证明见解析．
【解析】
(1)令，则
(2)由题意:，解得，故定义域为；
(3)函数为偶函数
证明：对任意，
由偶函数的定义可得函数为偶函数
重要考点四：底数对对数函数图像的影响
【典型例题】图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为　　

A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】A
【解析】
解：由已知中曲线是对数函数的图象，
由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，
由取，，，四个值，
故，，，的值依次为，，，，
故选：．
【题型强化】已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（ ）

A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1
【答案】D
【解析】
解：由图可知，的图象是由的图象向左平移个单位而得到的，其中，再根据单调性易知.
故选：D.
【收官验收】在同一坐标系中，函数与的图象都正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为，所以函数单调递减，排除B，D.
因为，所以函数单调递减.排除C.
故本题选A.
【名师点睛】
观察下列对数函数图象，分析底数a的变化对函数图象的影响，你发现了什么规律？

(1)不管a>1还是0 (2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．
重要考点五：对数函数单调性的应用
【典型例题】设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 ( )．
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
【答案】D
【解析】
，，；且；.
【题型强化】设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为，，
所以.
故选：A.
【收官验收】设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（　　）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【答案】D
【解析】
∵a＝log54＜log55＝1，
b＝（log53）2＜（log55）2＝1，
c＝log45＞log44＝1，
所以c最大
单调增，所以
又因为
所以b 所以b 故选D．
【名师点睛】
1.比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
2．常见的对数不等式有三种类型：
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．
重要考点六：对数型复合函数的单调性
【典型例题】已知函数．
若的定义域为R，求a的取值范围；
若，求的单调区间；
是否存在实数a，使在上为增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）在上为增函数，在上为减函数；（3）不存在实数a，使在上为增函数
【解析】
函数的定义域为R，
恒成立，
则，即，
解得a的取值范围是．
，
．
则，
由，得或．
设，对称轴，
在上为减函数，在上为增函数．
根据复合函数单调性规律可判断：
在上为增函数，在上为减函数．
函数．
设，
可知在上为减函数，在上为增函数，
在上为增函数，
且，且，不可能成立．
不存在实数a，使在上为增函数．
【题型强化】已知函数.
（1）当时，求的值域和单调减区间；
（2）若存在单调递增区间，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
解：（1）当时，，
设，
由，得，得，即函数的定义域为，
此时，
则，即函数的值域为，
要求的单调减区间，等价为求的单调递减区间，
的单调递减区间为，
的单调递减区间为．
（2）若存在单调递增区间，
则当，则函数存在单调递增区间即可，则判别式得或舍，
当，则函数存在单调递减区间即可，则判别式得或，此时不成立，
综上实数的取值范围是．
【收官验收】已知函数， 其中实数且.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；
【答案】(1) ;(2)
【解析】
(1) 当时, ,故即,即,
,解得.故解集为.
(2)由定义域可知,,即在区间上恒成立,故,所以为减函数.又在区间上为减函数,故在区间上为增函数.满足题意.故
【名师点睛】
1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．
2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).
函数
单调性
y＝f(μ)
增函数
增函数
减函数
减函数
μ＝g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
y＝f[g(x)]
增函数
减函数
减函数
增函数

重要考点七：对数型复合函数的值域
【典型例题】求函数的值域.
【答案】
【解析】
解：，函数是上的减函数，
，
即所求函数的值域为．
【题型强化】已知f(x)＝log2(1－x)＋log2(x＋3)，求f(x)的定义域、值城．
【答案】定义域为，值域为.
【解析】
由函数有意义得，解得，
所以函数的定义域为.
因为
，，
又因为在上递增，在上递减，所以，
所以.
所以函数的值域为.
【收官验收】已知函数．
（Ⅰ）若，求函数的定义域和值域；
（Ⅱ）若函数的定义域为，值域为，求实数的值．
【答案】（Ⅰ）定义域为，值域为；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）若，则，由，得到
，得到，故定义域为．
令，则
当时，符合．
当时，上述方程要有解，则，得到或，
又，所以，
所以，则值域为．
（Ⅱ）由于函数的定义域为，则恒成立，则，即，令，由于的值域为，则，而
，则由解得 ，故和是方程即的两个根，则，得到，符合题意．所以．
重要考点八：对数型复合函数的奇偶性
【典型例题】已知函数，（且）.
（1）求的定义域及的定义域.
（2）判断并证明的奇偶性.
【答案】（1）函数的定义域为，函数的定义域为（2）是奇函数，证明见解析
【解析】
解：（1）函数>0
函数的定义域为
函数的定义域是
（2）是奇函数
证明：函数的定义域为，定义域关于原点对称

（或证明）
是奇函数
【题型强化】已知函数.
（1）若为奇函数，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若在上的值域为，求m，n的值.
【答案】（1）（2），
【解析】
（1）为奇函数，，即，，解得（舍去）.
（2）由（1）知，则，即或
解得，即其定义域为.
时，为减函数，而在定义域内为增函数，
在其定义域内是减函数.又在上的值域为，，无意义，，.即，.
【收官验收】已知
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明；
(3)求使的的取值范围．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．
(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．
(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得0 若00，则0<<1，解得－1 重要考点九：忽视对数函数的定义域而致误
【典型例题】函数的定义域为_____________．
【答案】
【解析】

根据对数真数大于0
，
化简可得：
故：，解得或
函数的定义域为：．
故答案为：
【题型强化】方程的解是________.
【答案】
【解析】
解：，所以有： 解得：
故答案为：.
【收官验收】函数的定义域是R，则a的取值范围是____________________________.
【答案】[0，4）
【解析】
当a=0时，函数解析式为：，其定义域为，满足题意，
当时，应满足：，求解不等式组可得：，
综上可得，实数的取值范围是[0，4）.
故答案为[0，4）．
重要考点十：综合应用所学知识分析解决问题的能力
【典型例题】已知函数且．
当时，，求实数x的取值范围．
若在上的最大值大于0，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）当a=3时，，
，得
（2）∵a＞0，∴在定义域内单调递增，
当a＞1时，函数在上单调递增，
，
得即a＞，
又a＞1，故a＞1；
当0 ，
得；
又因为在上恒成立，
故，即
综上：的取值范围.
【题型强化】已知函数f（x）＝lg（ax﹣bx），a＞1＞b＞0
（1）求f（x）的定义域；
（2）在函数f（x）的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴；
（3）当a，b满足什么条件时，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．
【答案】（1）（0，+∞）（2）见解析（3）a﹣b≥1
【解析】
解：（1）由ax﹣bx＞0得，
由于所以x＞0，
即f（x）的定义域为（0，+∞）
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2
；
f（x1）﹣f（x2）
∵a＞1＞b＞0，
∴y＝ax在R上为增函数，y＝bx在R上为减函数，
∴
∴，即
又∵y＝lgx在（0，+∞）上为增函数，
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
所以任取x1≠x2则必有y1≠y2故函数f（x）的图象L不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．
（3）因为f（x）是增函数，所以当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1），
这样只需f（1）＝lg（a﹣b）≥0，
即当a﹣b≥1时，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．
【收官验收】已知函数.
（1）当时，求；
（2）求解关于的不等式；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）当时，的解集为，当时；（3）.
【解析】
（1）当时，
（2）由得：
或
当时，解不等式可得：或
当时，解不等式可得：或
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为
（3）由得：
或
①当时，，
或，解得：
②当时，，
或，解得：
综上所述：的取值范围为
【名师点睛】
(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：
①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．
②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．
(2)用定义证明形如y＝logaf(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．