八年级上册10.5 可化为一元一次方程的分式方程及其应用教案

这是一份八年级上册10.5 可化为一元一次方程的分式方程及其应用教案，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
（一）知识目标：
1．使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程。
2．使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法，了解解分式方程验根的必要性。。
（二）能力目标：
1．经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径。
2．培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。
（三）情感与价值观目标；
1．在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。
2．培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度。
【教学重点】
使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程。
【教学难点】
使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法，明确分式方程验根的必要性。
【教学过程】
一、问题情境导入
问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？
分析：设水流的速度是v千米/时。
填空：
（1）轮船顺流航行速度为20+v 千米/时，逆流航行速度为 20--v千米/时。
（2）顺流航行100千米所用时间为 小时；
（3）逆流航行60千米所用时间为 小时；
（4）相等关系是： ；
根据题意可列方程为 ：
在学生完成填空的过程中，教师关注学生能否把实际问题转化成数学问题，能否找到相等关系列出方程，基础较差的学生对于该题的理解是否有困难，应加以适当的指导。
二、实践与探索
1．分式方程的概念：
议一议 方程 有何特征？
教师提出问题，学生思考、讨论后在全班交流。
学生归纳出：该方程的特征是分母中含有未知数。
教师板演：方程（1）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程。
想一想 方程x+（x+1）=是不是分式方程？
归纳 确定是不是分式方程，主要是看是否符合分式方程的概念，方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程才属于分式方程。
由此可知：有理方程包含整式方程和分式方程，分式方程转化整式方程。
做一做 在方程①=8+，②=x，③=，④x-=0中，是分式方程的有（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
2．分式方程的解法探索：
讨论 怎样解方程
鼓励学生寻求解决问题的办法，引导学生将分式方程转化为整式方程，学生自然会想到去分母来实现这种转变。
1．让学生自己解这个方程，并让学生说明方法，并验证
2．你能结合解法，归纳出解分式方程的基本思路和做法吗？
解：去分母，
两边同乘以(20－v) (20+v)得
100(20－v)=60(20+v)
解整式方程得v=5
检验：将v=5代入原分式方程，左边=4，右边=4，左边=右边
所以：v=5是原分式方程的解
【检验：当v=5时(20－v) (20+v)≠0，所以：v=5是原分式方程的解】
归纳上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解，所乘的整式通常取方程中出现的各分母的最简公分母。
试一试 解方程=
1．与上题一样，让学生做，并验证
2．比较，讨论如何检验分式方程的解？
3．总结解分式方程的一般步骤：
学生先独立解决问题，然后提出自己的看法在小组讨论。在学生讨论期间，教师应下到学生当中，参与学生的数学活动，鼓励学生勇于探索、实践，解释产生这一现象的原因，并懂得在解分式方程时一定要进行检验。
分式方程的一般步骤：
（1）去分母，化分式方程为整式方程。
（2）解整式方程
（3）检验
师生合作形成共识：
明确 因为x=1使原方程没有意义，因此x=1不是原分式方程的根，所以原方程无解（提示：一元方程的解也可称为方程的根）
①增根：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去分母，有可能产生不适合原方程的解（或根），这种根通常称为增根。
②解分式方程时必须进行检验。
③为什么会产生增根呢？对于原分式方程来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但方程变形后得到的整式方程则没有这个要求，如果所得整式方程的某个根使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式的值为零，它就不适合原方程，即是原方程的增根。
④分式方程怎样检验？将方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，如果为零，即为增根。
三、课堂练习：
1．解分式方程：
（1） （2）
（3）
2．方程有增根，求的值。
1题：由学生在练习本上独立完成，同时找两名学生到黑板上板演。教师巡视指导，对学习有困难的学生及时帮助指点。学生做完后，同桌互相批阅。
2题：让学生分组讨论：有增根的话，增根是什么？如何求出的值？
（四）课内小结：
1．解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解，所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。
2．解分式方程时必须进行检验，检验时，可将转化成的整式方程的根代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零，如果为零，即为增根，应舍去
3．一个未知数的值是分式方程的增根应具备两个条件：一是其值应是去分母后所得到的整式方程的根，其二是其值应使最简公分母的值为零。
四、课外作业：
A组1．下列方程中，哪些是分式方程，哪些不是分式方程？为什么？
（1）2x＋ eq \f (x－1,5) =10 （2）x－ eq \f (1,x) =2
（3） eq \f (1,2x＋1) －3=0 （4） eq \f (2x,3) ＋ eq \f (x－1,2) =0
（A组B组都做）2．解方程：（1） eq \f (x＋3,2x－4) = eq \f (3,4) （2） eq \f (2－x,x－3) = eq \f (1,3－x) －2
（3） eq \f (2,1－x) ＋1= eq \f (x,1＋x) （4） eq \f (6,1－x2) = eq \f (3,1－x)
B组1．当m为何值时，去分母解方程 eq \f (2,x-2) ＋ eq \f (mx,x2-4) ＝0会产生增根。
2．关于x的分式方程有增根，求k的值。