数学10.5 可化为一元一次方程的分式方程及其应用精品学案设计

分式的运算及其应用

知识点1：          可化为一元一次方程的分式方程及其应用

         温故

1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、解一元一次方程的一般步骤：去分母》去括号》移项》合并同类项》系数化为1。

3、分式有意义的条件：分式的分母不等于零。

4、列方程解应用题的关键是找等量关系。

         知新

分式方程：

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的主要特征有：含有分母；分母里含有未知数；是方程。分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数。

【例】下列是分式方程的有：

-5=0  =6   -3=0   -=1

分式方程的解法：

利用等式的基本性质去分母，将分式方程转化为整式方程，然后通过整式方程求得分式方程的解。但是，有一点需要注意，分式方程要想有意义，分母必然不能为0，因为在利用整式方程求得解后，一定要进行检验，看其是否会更分式方程的分母为0。若为0，则该解需要舍去。

由此，解分式方程的步骤可简单概括为：

一化——通过去分母，将分式方程转化为整式方程；

二解——利用整式方程的求解步骤求解；

三检验——把求得的值代入最简公分母中，若等于零，则原方程无解，若不等于零，就是原方程的解。

【例】解方程：+=3

分式方程的应用：

列分式方程组解决实际问题的一般步骤：

【例】工程问题：甲、乙两个工程队各有20人，两队合做某项工程10天后，因甲队另有任务，乙队又单独做了2天才完成。已知单独完成这项工程，甲队比乙队可以快4天，设厂家需付甲队每人每天100元，需付乙队每人每天90元，试从甲、乙两队中选出一个工程队来完成此项工程。请你通过计算说明选哪个工程队节省费用。

【例】路程问题：某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走45分钟后，乙班的师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？

【例】产品问题：“丽园”开发公司生产的960件新产品，需要精加工后才能投放市场。现有甲乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，公司需付甲工厂加工费每天80元，乙工厂加工费每天120元。

（1）求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？

（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家同时合作完成。在加工过程中，公司需派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的误餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由。

【例】行船问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

【例】百分率问题：某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润售价进价，利润率=×100%）

         【当堂演练】

1、张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是：（      ）

A.    B.

C.    D.

2、某施工队挖掘一条长96米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖米，则依题意列出正确的方程为(   )

A.  B.  C.  D.

3、甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地.已知A、B两地的距离为30km，甲每小时比乙多走3km，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走xkm，则可列方程为（ ）

A.－＝ B.－＝ C.－＝ D.－＝

 4、某中学全体同学到距学校15千米的科技馆参观,一部分同学骑自行车走40分钟后,其余同学乘汽车出发,结果他们同时到达科技馆, 已知汽车的速度是自行车速度的3倍,求汽车的速度.设汽车的速度是x千米/小时,则汽车行驶时间为______, 自行车行驶时间为______.根据题意列方程________.解得汽车的速度为_______.

5、为改善生态环境,防止水土流失,某村拟在荒坡地上种植960棵树, 由于青年团员的支持,每日比原计划多种20棵,结果提前4天完成任务,原计划每天种植多少棵?设原计划每天种植x棵,根据题意得方程____________.

6、重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求这两种商品每千克的价值.

7、如果解关于的方程会产生增根，求的值.

8、当为何值时，关于的方程的解为非负数.

8、某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km的普通公路.又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间.

9、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地，先走40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达.已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度.

10、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件.求A、B每小时各做多少个零件.

11、请先阅读下列一段文字，然后解答问题：

初中数学课本中有这样一段叙述：“要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零，”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以.

问题：甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同）甲每次购买粮食100kg，乙每次购粮用去100元.

（1）设第一、第二次购粮单价分别为x元/kg和y元/kg，用含x、y的代数式表示：甲两次购买粮食共需付粮款＿＿＿元，乙两次共购买＿＿＿kg粮食.若甲两次购粮的平均单价为每千克Q1元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元，则Q1＝＿＿＿，Q2＝＿＿＿.

（2）若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算，并说明理由.

         【百炼成钢】

1、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ）

A．6天    B．4天    C．3天    D．2天

2、炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（    ）

A．  B．   C．   D．

3、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜kg，根据题意，可得方程（   ）

A．      B．  

C．      D．

4、赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半书时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是(    )

A.=14      B. =14

C.=14      D. =1

5、一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v1千米，t小时可到达，如果每小时多行驶v2千米，那么可提前到达________小时.

6、农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x千米/时，则所列方程为           .

7、飞机从A到B的速度是v1，返回的速度是v2，往返一次的平均速度是        .

8、某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m，则根据题意可得方程                     .

9、若关于的分式方程有增根，求的值.

10、若分式方程的解是正数，求的取值范围.

11、有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？

12、小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室内发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？