高中数学人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值学案

函数的单调性与最值

知识点一  基本初等函数单调性

【基础知识重温】函数单调性的定义

1.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；

2.减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有

，那么就说函数在区间上是减函数.

【注】对任意、，且，若或，则函数在区间为单调增函数；

对任意、，且，若或，则函数在区间为单调减函数.

知识点二 函数的单调区间

【基础知识重温】

1.函数的单调区间：如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.

2.导数与函数单调区间的关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.

知识点三  函数的单调性与函数不等式

【基础知识重温】

奇函数在区间和区间具有相同的单调性；

偶函数在区间和区间具有相反的单调性.（其中）

知识点四  函数的单调性与最值

【基础知识重温】

1.最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得.

那么，我们称是函数的最大值.

2.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得.

那么，我们称是函数的最小值.

知识点五  函数的单调性与最值的综合应用

【基础知识重温】

利用定义法（作差法）证明函数单调性的步骤：

1.取值，设、是单调区间上的两个任意自变量值，并且确定两者的大小；

2.作差变形，将两个函数值相减，即，变形前注意将次数或结构相同的项放在一起作差，注意变形技巧因式分解、配方、有理化、通分等步骤的应用，最好是将两者之差分解之不能再分解为止，即向有利于判断差的方向变形；

3.定号，即判断差的符号，将差因式分解为简单因式，并判断每个因式的符号，若正负不确定，可以分区间判断；

4.定论，根据定义写出结论.

【重难点例题启发与方法总结】

考点1  基本初等函数单调性

【1-1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（     ）

A.               B.                C.               D.

【1-2】已知函数，则（    ）

  A.在上单调递增　               　                  　B.在上单调递增

　C.在上单调递减　　                                   D.在上单调递减

【1-3】函数在区间  上递减，则的取值范围是（   ）

  A.                B.                   C.                 D.

【1-4】已知函数是上的增函数，则的取值范围是（     ）

  A.               B.                  C.                 D.

综合点评：这些题目都是考查函数的单调性问题，一般地，对于基本初等函数的单调性问题，应熟悉影响这些函数单调性的基本要素，结合函数的图象来进行判断求解.

1.利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；

2.性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；

（2）函数与函数的单调性相反；

（3）时，函数与的单调性相反（）；

时，函数与的单调性相同（）.

2.导数法：在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递增；在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递减.

4.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.

【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.

【变式一】下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的函数为（    ）

  A.                B.                 C.                D.

【变式二】已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_______.

考点2  函数的单调区间

【2-1】函数的单调增区间为（    ）

  A.             B.             C.和          D.和

【2-2】函数的单调递增区间为               .

【2-3】的递增区间是（    ）

  A.                 B.                 C.                 D.

【2-4】函数的单调递增区是（    ）

  A.               B.               C.和               D.

综合点评：以上题目都是考查函数的单调区间的求解，常用的有基本函数法、图象法、复合函数法以及导数法，对于方法的选择主要是根据函数的解析式来选择，在求函数的单调区间时，一般首先要将函数的定义域求出来.

1.基本初等函数的单调区间：

2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.

3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.

4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.

【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接.

【变式一】函数的单调递减区间为            .

【变式二】函数的单调递增区间是                     .

考点3  函数的单调性与函数不等式

【3-1】定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，则下列结论中正确的是（    ）

  A.                                                  B.

  C.                                                  D.

【3-2】已知偶函数在区间单调增加，则满足的取值范围是             .

【3-3】已知奇函数是定义在上的减函数，且满足不等式，则不等式解集              .

【3-4】设偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ）

  A.                                                   B.

  C.                                                 D.

综合点评：以上都是考查函数的单调性与函数不等式的相关问题，对于抽象不等式

，一般是先考查函数的单调性，利用单调性得到自变量的大小，对于函数的单调性与其他性质的基本结合问题，可以利用图象来将问题进行直观化.

1.解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性.若函数为增函数，则；若函数为减函数，则.

2.在比较、、、的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将、、、通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小.

【变式二】已知函数，，则满足不等式的实数的取值范围是                .

【变式二】已知函数.若，则的取值范围是

A.                    B.                    C.                   D.

考点4  函数的单调性与最值

【4-1】函数的最大值等于          .

【4-2】函数的最大值为          .

【4-3】若函数在的最小值是，则实数的值是（     ）

  A.                        B.                        C.                        D.

综合点评：上述题型都是考查函数的最值问题的求解，一般是利用函数的单调性来求出相应的最值，对于分段函数的最值，将每段函数的最值求出，比较大小即可，一般函数可以利用导数来求解.

函数最值的求解方法：

1.单调性法：考查函数的单调性，确定函数的最值点，便可求出函数相应的最值.

2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.

3.分段函数的最值：将每段函数的最值求出，比较大小确定函数的最值.

4.导数法：对于一般的可导函数，可以利用导数求出函数的极值，并与端点值进行大小比较，从而确定函数的最值.

【变式一】记函数的反函数为，则函数在区间上值域为           .

【变式二】函数在区间上的最大值为         .

【变式三】若函数在区间上的最大值为，则实数的取值范围是（    ）

  A.               B.              C.             D.

考点5  函数的单调性与最值的综合应用

【5-1】设函数是奇函数（、、都是整数），且，.

（1）求、、的值；

（2）当，的单调性如何？用单调性定义证明你的结论；

（3）当时，求函数的最小值.

【5-2】已知函数在区间内有一个最大值，求的值.

综合点评：上述题型考查函数的单调性的证明与含参二次函数的最值的求解，对于函数单调性的证明，一般采用定义法（即作差法与作商法）或导数法来进行，对于二次函数的最值，一般需要考查对称轴与区间的位置关系来进行分类，从此确定函数的单调性，从而决定函数的最值.

1.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意、在所给区间内比较与的大小，或与的大小（要求与同号）．有时根据需要，需作适当的变形：如或等.

2.对于含参二次函数的最值，一般首先考虑其图像的开口方向，即考查二次函数的首项系数，若首项系数不确定，首先应该根据首项系数的符号分三种情况讨论，然后就二次函数图像的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，确定函数的单调性，进而确定二次函数在相应区间上的最值.

【变式一】已知定义在上的奇函数满足：

①； ②对任意的均有；

③对任意的，，均有.

（1）求的值；

（2）证明在上为增函数.

【变式二】设函数的最大值为，其中为实数.

（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；

（2）求.

易错典例：函数的单调递减区间为               .

易错分析：求单调区间时，只顾及到内层二次函数的单调区间，而忽视了函数定义域的重要性.

温馨提醒：（1）求函数单调区间是高考中的一个重点内容，解答此类问题的关键就是要根据函数的表示形式选择合适的方法来求解；（2）在解答本题时，容易出现两中典型的错误：一是忽略函数的定义域，忽略了函数的单调区间是在函数的定义域上取得的；二是函数的同类单调区间容易错误地利用并集符号连接，如函数在区间和都是单调递减的，但是函数在其定义域不是单调递减函数.因此，在求解这类问题时，一定要注意这两个易错点，避免出错.

【重难点关联练习巩固与方法总结】

 1.已知函数，则函数的最小值为             .

2.下列函数中，在区间为增函数的是（    ）

A.            B.             C.             D.

3.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则满足的实数的取值范围是_________.

4.函数在上是增函数，则实数的范围是（     ）

A.                  B.                  C.               D.

5.函数的单调递增区间为              .

6已知函数在上单调递减，那么实数的取值范围是（    ）

  A.                    B.                    C.                   D.

7若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是

  A.                   B.                    C.                  D.

8已知、，若，则下面式子一定成立的是（    ）

   A.             B.            C.           D.

9已知函数是定义在实数集上的奇函数，是的导函数，且当时，，设，，，则、、的大小关系是（   ）

  A.               B.                 C.               D.

【课后强化巩固练习与方法总结】

 1．下列函数在(0,1)上是减函数的是(　　)

A．y＝log0.5(1－x)     B．y＝x0.5

C．y＝0.51－x      D．y＝(1－x2)

2．函数y＝2x2－(a－1)x＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a的值是(　　)

A．1    B．3             C．5         D．－1

3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)<f(1)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－1,1)          B．(0,1)

C．(－1,0)∪(0,1)        D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

4．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于(　　)

A．－1   B．1              C．6    D．12

5．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)

A．f(3)<f(－2)<f(1)      B．f(1)<f(－2)<f(3)

C．f(－2)<f(1)<f(3)      D．f(3)<f(1)<f(－2)

6．若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　)

A．(－2，＋∞)      B．(，＋∞)       C．(－∞，－2)      D．(－∞，)

7．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．

 8．设函数y＝f(x)在(a，b)和(c，d)上都是增函数，若x1∈(a，b)，x2∈(c，d)且x1<x2.对于下列结论：①f(x1)<f(x2)；②f(x1)＝f(x2)；③f(x1)>f(x2)．

其中正确的结论有________个．

9．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．