数学人教版新课标A第二章 圆锥曲线与方程综合与测试单元测试测试题

这是一份数学人教版新课标A第二章 圆锥曲线与方程综合与测试单元测试测试题，共19页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）

1. 某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，起直观图和三视图
如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（ ）
A.2B.12C.24D.22

2. 双曲线2x2−y2=8的实轴长是（ ）
A.2B.22C.4D.42

3. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的标准方程为（ ）
A.x24+y23=1B.x23+y2=1C.x22+y2=1D.x24+y2=1

4. 如果双曲线的两个焦点分别为F1(−3, 0)、F2(3, 0)，一条渐近线方程为y=2x，那么经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为（ ）
A.43B.23C.2D.1

5. 已知点A0,1，抛物线C:y2=axa>0的焦点为F，射线FA与抛物线相交于M，与其准线相交于点N，若|FM|:|MN|=2:5，则a=( )
A.2B.4C.6D.8

6. 若抛物线的准线方程是x=−18，则该抛物线的标准方程为( )
A.y2=4xB.y2=2xC.y2=xD.y2=12x

7. 已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2, 0)，则C的离心率为（ ）
A.13B.12C.22D.223

8. 曲线y=f(x)=14x2在点(2,1)处的切线的斜率是（ ）

A.−1B.0C.14D.1

9. 若以抛物线y2=2pxp>0上的点P1,a为圆心，2为半径的圆恰好与抛物线的准线相切，则a的值为( )
A.2B.±2C.−2D.±1

10. 双曲线x29−y216=1的渐近线方程为( )
A.y=±34xB.y=±916xC.y=±169xD.y=±43x

11. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴为A1A2，P为椭圆的下顶点，设直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，且k1⋅k2=−12，则该椭圆的离心率为( )
A.32B.22C.12D.14

12. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，过F作直线l与两条渐近线交于A，B两点．若△OAB为等腰直角三角形（O为坐标原点）则△OAB的面积为( )
A.a2B.2a3C.2a2或a2D.2a2或12a2
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.

14. 若直线y=x+b与曲线x=1−y2恰有一个公共点，则b的取值范围是________．

15. 与椭圆x25+y23=1共焦点的等轴双曲线的方程为________．

16. 已知双曲线x2−y28=1上有三个点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，用字母k表示斜率，若kOD+kOE+kOF=−8（点O为坐标原点，且kOD，kOE，kOF均不为零），则1kAB+1kBC+1kAC=________.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ， ）

17. 设命题p：方程x2a+6+y2a−7=1表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：存在x∈R，使得x2−4x+a<0.若“p∧(¬q)”为真，求实数a的取值范围.

18. 回答下列问题：
（1）求过点(2,−2)且与双曲线x22−y2=1有公共渐近线的双曲线的方程；

（2）求双曲线x24−y25=1的焦点到其渐近线的距离．

19. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2,3),▱ABCD各顶点都在椭圆上，kAB=−12,kBC=32.
(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知M,N是椭圆上的两点，Q是椭圆的上顶点，若直线QM,QN的斜率满足kQM⋅kQN=1，求证：直线MN恒过定点.

20. 已知椭圆的焦点在α轴上，一个顶点为0,1，离心率为e=25，过椭圆的右焦点F的直线1与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．
(1)求椭圆的方程．

(2)设点C是点A关于x轴的对称点，在α轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由．

21. 已知直线l：x−y+1=0与焦点为F的抛物线C：y2=2px(p>0)相切.
(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.

22. 已知椭圆C的中心是坐标原点，直线3x−2y−43=0经过椭圆C的两个顶点.

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）设A（−4,0），过R（3,0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，连接AP，AQ，分别交直线x=163于M，N两点，试问：直线MR，NR的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
参考答案与试题解析
2021年人教A版选修2-1数学第2章 圆锥曲线与方程单元测试卷含答案
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
【解析】
根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a2−b2=c2，和离心率公式e=ca，计算即可．
【解答】
解：设正视图正方形的边长为2，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=2，
俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径22，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=22，
则椭圆的半焦距c=a2−b2=1，
根据离心率公式得，e=ca=12=22；
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长．
【解答】
解：2x2−y2=8即为
x24−y28=1
∴ a2=4
∴ a=2
故实轴长为4
故选C
3.
【答案】
A
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
由|BF2|=|F1F2|=2，可得a=2c=2，即可求出a，b，从而可得椭圆的方程．
【解答】
解：∵ |BF2|=|F1F2|=2，
∴ a=2c=2，
∴ a=2，c=1，
∴ b=3，
∴ 椭圆的方程为x24+y23=1．
故选A．
4.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
依题意可求得c，根据c=a2+b2和渐线方程，联立求得a和b，进而根据通径求得答案．
【解答】
如果双曲线的两个焦点分别为F1(−3, 0)、F2(3, 0)，一条渐近线方程为y=2x，
∴ a2+b2=9ba=2 ，
解得a=3，b=6．
所以经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为：2b2a=2×63=43
5.
【答案】
D
【考点】
斜率的计算公式
抛物线的性质
【解析】
无
【解答】
解：依题意F点的坐标为a4,0，作MK垂直于准线，垂足为K，
由抛物线的定义知|MF|=|MK|，
因为|FM|:|MN|=2:5，
则|KN|:|KM|=1:2.
kFN=0−1a4−0=−4a，kFN=−|KN||KM|=−12，
所以−4a=−12，求得a=8.
故选D．
6.
【答案】
D
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】

【解答】
解：由−p2=−18，则p=14，
所以抛物线的标准方程为y2=12x .
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
本题主要考查椭圆的方程及离心率．
【解答】
解：不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c=2，所以a2=4+4=8，所以a=22，所以椭圆C的离心率e=ca=22．
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
双曲线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为ΔyΔx=f(2+Δx)−f(2)Δx=14Δx+1，
所以曲线在点(2,1)处的切线的斜率k=f′(2)=limΔx→0ΔyΔx=1.
故选D.
9.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
抛物线的定义
【解析】

【解答】
解：由题意得：1+p2=2．
所以p=2，
即抛物线方程为y2=4x，
所以点P坐标为1,±2.
故选B．
10.
【答案】
D
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
利用双曲线方程确定几何量，即可得到双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：∵ 双曲线方程为x29−y216=1，
∴ a=3，b=4，
∴ 双曲线的渐近线方程为y=±bax，
即y=±43x.
故选D．
11.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
斜率的计算公式
【解析】
由已知利用椭圆的性质可得A1，A2，P三点的坐标，根据已知可求a2＝2b2，进而可求离心率e的值．
【解答】
解：由题意得A1(−a, 0)，A2(a, 0)，P(0, −b)，
则k1=−ba，k2=ba，
则k1⋅k2=−b2a2=−12，即a2=2b2，
所以c2=a2−b2=b2，
离心率e=ca=c2a2=b22b2=22．
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
双曲线的简单几何性质
双曲线中的平面几何问题
【解析】
本题主要考查双曲线的性质以及直线和双曲线的关系，联立方程组，求出点的坐标，再求出面积即可.
【解答】
解：①若∠AOB=90∘，
则∠AOF=45∘，
∴ba=1故c=a2+b2=2a，
∴S△OAB=12⋅2c⋅c=c2=2a2；
②若∠BAO=90∘，
则l与y=bax垂直且过F点，垂足为A，
∴l的斜率为−ab，
则直线l的方程为y=−abx−c，
联立y=−ab⋅x−c,y=bax,
解得x=a2c，y=abc，
则点A为a2c,abc
∴△OAB为等腰直角三角形，OB为斜边，
∴OA=AB，
OA2=a2c2+abc2=a2，
∴ S△OAB=12OA⋅AB=12OA2=12a2.
综上所述S△OAB=2a2或12a2.
故选D.
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
15
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由椭圆方程可知a=3，c=2，∴ F(−2, 0)，
根据题意，画出图形：
设线段PF中点为M，椭圆右焦点为F1，
∵ M在以O为圆心，|OF|为半径的圆上，
∴ F1也在圆上，
连接OM, PF1, MF1，则∠FMF1=90∘，
OM是△FPF1的中位线，
∴ |PF1|=2|OM|=2|OF|=2×2=4，
由椭圆定义|PF|+|PF1|=2a=6，
得|PF|=2，|MF|=|PF|2=1，
又∵ ∠FMF1为直角，|MF1|2=|FF1|2−|MF|2=15，
∴ tan∠MFF1=|MF1||MF|=151=15，
∴ 直线PF的斜率是15.
故答案为：15.
14.
【答案】
(−1,1]∪−2
【考点】
曲线与方程
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
x=1−y2⇔x2+y2=1x≥0
方程x2+y2=1x≥0所表示的曲线为半圆（如图）当直线与圆相切时或在l2与l3之间时，适合题意．此时−115.
【答案】
x2−y2=1
【考点】
双曲线的标准方程
圆锥曲线的共同特征
【解析】
利用椭圆的三参数的关系求出双曲线的焦点坐标；利用等轴双曲线的定义设出双曲线的方程，据双曲线中三参数的关系求出双曲线的方程．
【解答】
解：对于x25+y23=1知半焦距为c=5−3=2
所以双曲线的焦点为(±2,0)
设等轴双曲线的方程为x2a2−y2a2=1
据双曲线的三参数的关系得到2a2=2
所以a2=1
所以双曲线的方程为x2−y2=1．
故答案为：x2−y2=1
16.
【答案】
−1
【考点】
斜率的计算公式
中点坐标公式
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】

【解答】
解：设Ax1,y1，Bx2,y2，Dx0,y0，
则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，x12−y128=1，x22−y228=1,
两式相减得x1−x2x1+x2=y1+y2y1−y28，
整理可得x1−x2y1−y2=y08x0，即1kAB=kOD8，
同理得1kBC=kOE8，1kAC=kOF8.
因为kOD+kOE+kOF=−8，
所以1kAB+1kBC+1kAC=−1.
故答案为：−1.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）
17.
【答案】
解：命题p：(a+6)(a−7)<0，解得−6命题q：Δ=(−4)2−4a>0，解得a<4.
∴ ¬q：a≥4.
∵ “p∧(¬q)”为真，
∴ p为真且¬q为真，
∴ 4≤a<7.
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
双曲线的标准方程
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：命题p：(a+6)(a−7)<0，解得−6命题q：Δ=(−4)2−4a>0，解得a<4.
∴ ¬q：a≥4.
∵ “p∧(¬q)”为真，
∴ p为真且¬q为真，
∴ 4≤a<7.
18.
【答案】
解：（1）因为所求双曲线与双曲线x22−y2=1有公共渐近线，
所以可设所求双曲线的方程为x22−y2=λ(λ≠0)．
因为所求双曲线过点(2,−2)，
所以222−(−2)2=λ，得λ=−2，
所以所求双曲线的方程为y22−x24=1．
（2）因为双曲线的方程为x24−y25=1，
所以双曲线的一条渐近线方程为y=52x，
即5x−2y=0．
因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等，
且(3,0)为双曲线的一个焦点，
所以双曲线x24−y25=1的焦点到其渐近线的距离为|35−0|3=5．
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）因为所求双曲线与双曲线x22−y2=1有公共渐近线，
所以可设所求双曲线的方程为x22−y2=λ(λ≠0)．
因为所求双曲线过点(2,−2)，
所以222−(−2)2=λ，得λ=−2，
所以所求双曲线的方程为y22−x24=1．
（2）因为双曲线的方程为x24−y25=1，
所以双曲线的一条渐近线方程为y=52x，
即5x−2y=0．
因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等，
且(3,0)为双曲线的一个焦点，
所以双曲线x24−y25=1的焦点到其渐近线的距离为|35−0|3=5．
19.
【答案】
解：(1)由图形的对称性可知，AC,BD交于原点O，设Ax1,y1,Bx2,y2,C−x1,−y1，
则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1，
两式相减整理得b2a2+y12−y22x12−x22=0，①
又由y2−y1x2−x1=−12,y2+y1x2+x1=32，
两式相乘得y22−y12x22−x12=−34，代入①得b2a2−34=0，
故a2=43b2，椭圆方程化为3x24b2+y2b2=1，
把点(2,3)代入得b2=12,a2=16，椭圆方程为x216+y212=1.
(2)Q(0,23)，设Mx1,y1,Nx2,y2，若MN与x轴垂直，
则x1=x2,y1=−y2,kQM⋅kQN=12−y12x12=34,
不满足kQM⋅kQN=1,舍去；
设MN方程为y=kx+t，代入椭圆方程整理得
(3+4k2)x2+8ktx+4t2−48=0，
Δ=4816k2−t2+12>0，
x1x2=4t2−483+4k2,x1+x2=−8kt3+4k2，
又y1−23x1⋅y2−23x2=1
⇒kx1+t−23x1⋅kx2+t−23x2=1,
整理得k2−1x1x2+k(t−23)x1+x2+
(t−23)2=0,
即k2−14t2−483+4k2+k(t−23)−8kt3+4k2
+(t−23)2=0
⇒(t−23)−t−1433+4k2=0,
得t−23=0或−t−1433+4k2=0.
当t−23=0时，MN经过Q，不合题意，所以t=−143，
故直线MN恒过点(0,−143).
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由图形的对称性可知，AC,BD交于原点O，设Ax1,y1,Bx2,y2,C−x1,−y1，
则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1，
两式相减整理得b2a2+y12−y22x12−x22=0，①
又由y2−y1x2−x1=−12,y2+y1x2+x1=32，
两式相乘得y22−y12x22−x12=−34，代入①得b2a2−34=0，
故a2=43b2，椭圆方程化为3x24b2+y2b2=1，
把点(2,3)代入得b2=12,a2=16，椭圆方程为x216+y212=1.
(2)Q(0,23)，设Mx1,y1,Nx2,y2，若MN与x轴垂直，
则x1=x2,y1=−y2,kQM⋅kQN=12−y12x12=34,
不满足kQM⋅kQN=1,舍去；
设MN方程为y=kx+t，代入椭圆方程整理得
(3+4k2)x2+8ktx+4t2−48=0，
Δ=4816k2−t2+12>0，
x1x2=4t2−483+4k2,x1+x2=−8kt3+4k2，
又y1−23x1⋅y2−23x2=1
⇒kx1+t−23x1⋅kx2+t−23x2=1,
整理得k2−1x1x2+k(t−23)x1+x2+
(t−23)2=0,
即k2−14t2−483+4k2+k(t−23)−8kt3+4k2
+(t−23)2=0
⇒(t−23)−t−1433+4k2=0,
得t−23=0或−t−1433+4k2=0.
当t−23=0时，MN经过Q，不合题意，所以t=−143，
故直线MN恒过点(0,−143).
20.
【答案】
（1）椭圆C的标准方程为x25+y2=1．
（2）存在定点N52,0,使得C．B．N三点共线．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，
设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1ab>0，
椭圆C的一个顶点为0,1，即b=1，
由e=ac1−b2a2=25，
解得a2=5，
∴ 椭圆C的标准方程为x25+y2=1．
（2）由得F2,0,设Ax1,y1,Bx2,y2
设直线l的方程为y=kx−2k≠0,代入椭圆方程，消去y可得
5k2+1x2−20k2x+20k2−5=0,
则x1+x2=20k25k2+1，x1x2=20k2−55k2+1．
∵ 点C与点A关于x轴对称，
∴ Cx1,−y1 ．
假设存在Nt,0,使得C，B，N三点共线，
则BN→=t−x2,−y2,CN→=t−x1,y1.
∵ C，B，N三点共线，
∴ BN→//CN→，
∴ t−x2y1+t−x1y2=0，
即y1+y2t=x2y1+x1y2
∴ t=kx1−2x2+kx2−2x1kx1−2+kx2−2
=2⋅20k2−55k2+1−2⋅20k25k2+120k25k2+1−4
=52
∴ 存在定点N52,0,使得C．B．N三点共线．
21.
【答案】
解：(1)∵ 直线l：x−y+1=0与抛物线C相切.
由x−y+1=0，y2=2px，得y2−2py+2p=0，
从而Δ=4p2−8p=0，
解得p=2.
∴ 抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由于直线m的斜率不为0，
所以可设直线m的方程为ty=x−1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由ty=x−1，y2=4x，消去x得y2−4ty−4=0，
∴ y1+y2=4t，从而x1+x2=4t2+2，
∴ 线段AB的中点M的坐标为(2t2+1,2t).
设点A到直线l的距离为dA，
点B到直线l的距离为dB，
点M到直线l的距离为d，
则dA+dB=2d=2⋅|2t2−2t+2|2
=22|t2−t+1|
=22|(t−12)2+34|，
∴ 当t=12时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为322.
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
二次函数在闭区间上的最值
抛物线的标准方程
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 直线l：x−y+1=0与抛物线C相切.
由x−y+1=0，y2=2px，得y2−2py+2p=0，
从而Δ=4p2−8p=0，
解得p=2.
∴ 抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由于直线m的斜率不为0，
所以可设直线m的方程为ty=x−1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由ty=x−1，y2=4x，消去x得y2−4ty−4=0，
∴ y1+y2=4t，从而x1+x2=4t2+2，
∴ 线段AB的中点M的坐标为(2t2+1,2t).
设点A到直线l的距离为dA，
点B到直线l的距离为dB，
点M到直线l的距离为d，
则dA+dB=2d=2⋅|2t2−2t+2|2
=22|t2−t+1|
=22|(t−12)2+34|，
∴ 当t=12时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为322.
22.
【答案】
解：（1）对于3x−2y−43=0，令x=0，
可得y=−23；令y=0，可得x=4.
所以椭圆C中，a=4，b=23，且焦点在x轴上.
所以椭圆C的准线方程为x216+y212=1.
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由于直线l与x轴不重合，不妨设直线l：x=my+3.
联立直线l与椭圆C的方程，并消元可得（3m2+4）y2+18my−21=0，
则有y1+y2=−18m3m2+4，y1y2=−213m2+4.
因为A，M，P三点共线，所以yM163+4=y1x1+4，
所以yM=28y13x1+4.
同理可得yN=28y23x2+4.
所以kMR⋅kNR=yM163−3⋅yN163−3
=9yM⋅yN49=16y1y2x1+4x2+4
=16y1y2my1+7my2+7
=16y1y2m2y1y2+7my1+y2+49
=−127，
即直线MR，NR的斜率之积为定值，定值为−127.
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
直线与椭圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）对于3x−2y−43=0，令x=0，
可得y=−23；令y=0，可得x=4.
所以椭圆C中，a=4，b=23，且焦点在x轴上.
所以椭圆C的准线方程为x216+y212=1.
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由于直线l与x轴不重合，不妨设直线l：x=my+3.
联立直线l与椭圆C的方程，并消元可得（3m2+4）y2+18my−21=0，
则有y1+y2=−18m3m2+4，y1y2=−213m2+4.
因为A，M，P三点共线，所以yM163+4=y1x1+4，
所以yM=28y13x1+4.
同理可得yN=28y23x2+4.
所以kMR⋅kNR=yM163−3⋅yN163−3
=9yM⋅yN49=16y1y2x1+4x2+4
=16y1y2my1+7my2+7
=16y1y2m2y1y2+7my1+y2+49
=−127，
即直线MR，NR的斜率之积为定值，定值为−127.