高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直第1课时学案

11.4.1直线与平面垂直(1)    

1.掌握异面直线所成角的概念及算法.

2.了解直线与平面垂直的定义．

3.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．

4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理．

重点：理解异面直线所成角的概念及算法，会用其判断直线与平面垂直

难点：灵活运用直线与平面垂直的判定定理处理空间垂直问题

1．直线与直线所成的角

一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．

规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°，两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角．特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m.

2．直线与平面垂直的定义

3.直线与平面垂直的判定定理

思考：一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线与这个平面是什么位置关系？

[提示]　相交或平行或直线在平面内．

4．直线与平面垂直的性质定理

做一做

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是    (　　)

A．1 B．2　　　　

C．3　　　　 D．6

2．直线l⊥平面α，直线mα，则l与m不可能(　　)

A．平行 B．相交

C．异面 D．垂直

3．如图，设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面ABCD外一点，且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________．

1：直线与直线所成角

例如，直线与直线所成角的大小，指的是或的大小.

异面直线所成角的定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，

分别作与a，b平行或重合

的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．

例如，如图，与所成角的大小，等于与所成角的大小，即为；

与所成角的大小，即为.

(3)规定：空间中两条平行直线所成角的大小为0°.

空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m互相垂直，记作l⊥m.

若a∥b且b⊥c，则一定有a⊥c.

例1. 如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，

求EF和AB所成的角．

1．求异面直线所成的角的步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．

(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．

(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求．

跟踪训练1：如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．

求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

2:直线与平面垂直

（1）直线与平面垂直的定义

(1)文字叙述：如果直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)符号表示：l⊥a⇔∀m⊂α，l⊥m. 

(3)图形表示：

日常生活中，很多线面的形象可以抽象成直线与平面垂直，如图所示。

由于平面内过指定点的直线有无数条，因此利用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直是不便于操作的，所以我们有必要寻求其他方法来判定直线与平面垂直。

（2）直线与平面垂直的判定定理

例2.地面上插有一根直杆，将地面看成平面，直借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由

例3.如图所示的四棱锥中，已知底面是一个平行四边形，，且，

求证：面

注意：例3中，SO实际上是四棱锥的高，因此利用线面垂直的判定定理，可以找出几何体的高

1．理解线面垂直判定定理要注意的两个问题

(1)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．

(2)空间直线与直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况，所以在平面内的这两条直线是否与已知直线有交点，是无关紧要的．

跟踪训练1：如图所示，在三棱锥P－ABC中，H为△ABC的垂心，AP⊥BC，PC⊥AB，

求证：PH⊥平面ABC．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行． (　　)

(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行． (　　)

(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．  (　　)

2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)

A．相交　　　 B．平行

C．异面 D．相交或平行

3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中AB1与平面ADD1A1所成的角等于________，AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．

4.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．

5.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.

1．求两条异面直线所成角的技巧

(1) 作出异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

①直接平移法(可利用图中已有的平行线，如平行四边形)；

②中位线平移法；

③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．

(2)如果求得的角的余弦值为负值的话，这说明两条异面直线所成的角应该是所求角的补角，

所以在指明所求角的时候，应该说“这个角或其补角”即为所求的角．

2． 直线和平面垂直的判定方法：

(1)利用线面垂直的定义；

(2)利用线面垂直的判定定理；

(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.

参考答案：

知识梳理

做一做

1．B　[正方体ABCD­A1B1C1D1的六个面中与AA1垂直的平面是平面ABCD与平面A1B1C1D1.]

2． A　[由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行．]

3． 垂直　[因为PA＝PC，所以PO⊥AC，又PB＝PD，所以PO⊥BD.所以PO⊥平面ABCD.]

学习过程

例1. 解　如图所示，取BD的中点G，连接EG、FG.

∵E、F分别为BC、AD的中点，AB＝CD，

∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB．

∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.

∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.

∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，

∴EF和AB所成的角是45°.

跟踪训练1：

解：取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，

所以∠BEF或其补角为异面直线BE与CD所成的角．在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，

所以BE＝.在Rt△AEF中，AC＝1，AF＝，AE＝，

所以EF＝.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，BF＝.

在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，

所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.

例2. 解：如图所示，将绳子的一端固定在直杆的A处，并使得，截取绳子的长度，使得绳长为，拉紧绳子，并把它不固定的那端放在地面上与B不共线的两点C，D处，测量BC与BD的长度，如果它们的长度都是0.6m，那么直杆就和地面垂直。

这是因为在中，如果，那么

所以 即

同理可知时，有

又因为三点不共线，所以面，即直杆与地面垂直。

例3. 证明：由已知可得为的中点

在中，因为，

所以由等腰三角形三线合一可知；

同理，

又因为，所以面

注意：例3中，SO实际上是四棱锥的高，因此利用线面垂直的判定定理，可以找出几何体的高

跟踪训练1： [分析]　欲证线面垂直，只需利用线面垂直的定义及线面垂直的判定定理即可．

证明　连接AH，

∵H为△ABC的垂心，

∴AH⊥BC，又AP⊥BC，

AH∩AP＝A，AH，AP⊂平面AHP，

∴BC⊥平面AHP，又PH⊂平面AHP，

∴PH⊥BC．同理可证PH⊥AB．又AB∩BC＝B，

AB，BC⊂平面ABC，∴PH⊥平面ABC．

达标检测

1．[解析]　由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√

2．B　[圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确．]

3．45°　0°　[∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，

即所成的角为0°.]

4.45°　因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为PB与平面ABC所成的角，又PA＝AB，所以∠PBA＝45°.

5.[证明]　如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，

即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，

∴EF⊥PC.

又BP＝＝2＝BC，

F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，

∴PC⊥平面BEF.