数学必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直第2课时教学设计

11.4.1 直线与平面垂直（2）

直线和平面垂直的概念是立体几何的重要内容之一，直线与平面的定义的引入完善了直线和平面的位置关系，是学生在学习了平面和直线的定义及相关定理之后，对直线和平面的位置关系做的进一步研究。它也是空间中线线垂直、面面垂直关系的一个交汇点，搞好本节课的学习，对学生全面掌握线线关系、线面关系乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义，同时也对学好下一节面面垂直的判定和性质做了很好的铺垫。直线与平面垂直关系的关键是根据线与面之间的互化关系，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

【教学重点】

直线与平面垂直的性质定理、线面角的定义、点到平面的距离、三垂线定理

【教学难点】

线面关系的互相转化

复习回顾：

1．直线与平面垂直的定义

(1)文字叙述：如果直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)符号表示：l⊥a⇔∀m⊂α，l⊥m.

(3)图形表示：

2．判定定理

(1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

(2)图形语言：

(3)符号语言：如果m⊂α，n⊂α，m∩n≠∅，l⊥m，l⊥n，则l⊥α.

(4)作用：证明直线与平面垂直.

问题1：直线与平面垂直的性质定理

知识点1．性质定理1       

(1)文字叙述：如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

(2)图形语言：

(3)符号表示：如果l∥m，l⊥α，则m⊥α.

证明：要证明这个结论，只要证明且时，能够推出即可

事实上，设直线为平面内的任意两条相交直线，则由可知，

又因为，根据空间中两条直线互相垂直的定义知：

所以根据线面垂直的判定定理得

知识点2．性质定理2

(1)文字叙述：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.

(2)图形语言：

(3)符号表示：如果l⊥α，m⊥α，则l∥m.

证明：如图所示，，设

假设直线不与直线平行，则过点O可作直线与平行，由线面垂直得性质定理可知。

因为，所以与能确定一个平面，记为，设

由可知

这样一来，在平面内，过点O有两条不同得直线都与直线a垂直，这是不可能得。

因此假设不成立，即

上述证明过程也说明，过空间中一点，有且仅有一条直线与已知平面垂直。

【对点快练】

1．思考辨析

(1)垂直于同一条直线的两直线平行．(　　)

(2)垂直于同一条直线的两直线垂直．(　　)

(3)垂直于同一个平面的两直线平行．(　　)

(4)垂直于同一条直线的一条直线和平面平行．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1B1C1D1(l与棱不重合)，则(　　)

A．B1B⊥l B．B1B∥l

C．B1B与l异面 D．B1B与l相交

答案：B　因为B1B⊥平面A1B1C1D1，又l⊥平面A1B1C1D1，则l∥B1B．

例1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．

求证：(1)MN∥AD1；

(2)M是AB的中点．

[分析]　欲证MN∥AD1，只需证出MN，AD1垂直于同一个平面即可，由题目中的条件可知，只需证出AD1⊥平面A1DC；欲证M为AB的中点，只需证出AM＝AB＝DC＝ON即可．

证明　(1) ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴AD1⊥A1D．

又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，

∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，

∴AD1⊥平面A1DC．

又∵MN⊥平面A1DC，

∴MN∥AD1.

(2)设AD1∩A1D＝O，连接ON，在△A1DC中，

A1O＝OD，A1N＝NC．

∴ONCDAB，∴ON∥AM.

又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，

∴ON＝AM.

∵ON＝AB，∴AM＝AB，∴M是AB的中点．直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．

【变式训练】　如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．

求证：EF∥BD1.

证明　如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，

∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴DD1⊥AC．又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1B1，

又BD1⊂平面BDD1B1，

∴AC⊥BD1.

同理可证BD1⊥B1C，

∴BD1⊥平面AB1C．

∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C．

又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.

问题2：直线与平面所成角

引入：

斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成.

(1)图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系,其倾斜程度相同吗?

提示:不同.

(2)能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗?

提示:能.

(3)直线与平面所成的角是空间角,能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗?

提示:能.

知识点：直线与平面所成角

(1)垂线段、斜线段：如果A是平面α外一点，B是平面α内一点，则AB⊥α时，AB是平面α的垂线段．如果C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面α的斜线段(相应地，直线AC称为平面α的斜线)，称C为斜足.如图所示．

(2)直线与平面所成的角：如图，AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，直线BC称为直线AC在平面α内的射影，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角．如图所示．

（3）一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角的范围是

【对点快练】

1．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的(　　)

A．∠PAD B．∠PDA

C．∠PDB D．∠PDC

答案：B　∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影，故∠PDA是PD与平面ABCD所成的角．

2. 如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是(　　)

A.60° 　　　　　B.45°

C.30° 　　　　　D.120°

解析:∠ABO即斜线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO= ,即∠ABO=60°.

答案:A

3.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于　　　　　. 

解析:因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.

答案:45°

问题3.点到平面的距离

利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积等.

另外，因为直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离.

例1.如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.

证明:过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,

所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.

因为PA=PB=PC=a,

所以△PAO≌△PBO≌△PCO.

所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.

因为PA,PB,PC两两垂直,所以AB=BC=CA=a,

所以△ABC为正三角形,所以OA=AB=a,

所以PO=a.

所以点P到平面ABC的距离为a.

例2.如图所示三棱锥中，，且，，求三棱锥的体积。

分析：为了求出这个三棱锥的体积，关键是作出三棱锥的高，也就是找到S在底面的射影

解：设S在底面的射影为O，则由，由，即I为的外心，又因为是直角三角形，所以O是线段AC的中点

因为

所以，又因为是直角三角形，从而

因此所求体积为： 

【变式练习】

在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PE⊥DE,则PE的长为　　　　　. 

解析:如图所示,连接AE.

因为PA⊥平面ABCD,

BD⊂平面ABCD,

所以PA⊥BD.

又因为BD⊥PE,PA∩PE=P,

所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥AE.

所以AE=.所以在Rt△PAE中,

由PA=1,AE=,得PE=.

问题4：三垂线定理

例4.如图所示，已知AB是平面的一条垂线，AC是平面的一条斜线，，求证：

证明：因为，所以

又因为且，所以

面ABC

而且面ABC，所以

例4的结果可以简述为“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”

知识点：三垂线定理

(1)平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线；平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影．

(2)图形语言：

(3)已知AB⊥α，AC是平面α的一条斜线，l⊂α，①若l⊥BC，则l⊥AC；②若l⊥AC，则l⊥BC．

【对点快练】

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AC与体对角线D1B的位置关系是(　　)

A．平行 B．垂直

C．相交 D．以上都有可能

答案：B　因为D1D⊥平面ABCD，AC⊥BD，所以AC⊥D1B．

小结：

1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据；

2．求线面角的关键是找直线在相应平面内的射影，并借助直角三角形的边角关系求线面角；

3. 三垂线定理：平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线；平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影，在异面直线的垂直证明中起着重要的作用；