高中数学苏教版必修12.2.1 函数的单调性教学演示课件ppt
展开1.函数的单调性对于给定区间I上的函数f(x)及属于这个区间I的任意两个自变量的值x1,x2,当x1
2.判断函数单调性的常用方法 (1)定义法;(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数;(3)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(4)奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性,而偶函数在对称的两个区间上则具有相反的单调性;(5)利用导数的理论去研究.
3.复合函数单调性的判断方法 如果y=f(u)和u=g(x)单调性相同,那么y=f(g(x))是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么f(g(x))是减函数.注意:(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,因此求函数的单调区间需先求定义域. (2)若要证明f(x)在区间[a,b]上是递增或者递减的就必须证明对区间[a,b]上任意的两个自变量的值 x1,x2,当x1
答案:A
答案:D
3.函数f(x)=ax-1+lgax(a>0且a≠1),在[1,2]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为________.
解析:函数y=ax-1和y=lgax在公共定义域内具有相同的单调性,在[1,2]区间上的最值对应着函数的最值,故(a1-1+lga1)+(a2-1+lga2)=1+a+lga2=a,可得lga2=-1,求得
[拓展提升] 运用定义法判定函数的单调性是一种常见方法,解题时应注意:一强调x1、x2在相应区间的任意性;二分析清楚变形后式子的符号;运用导数法判定函数的单调性也是一种常见方法,此方法显得简便些.
答案:B
[例2] 设a>0,且a≠1,试求函数y=lga(4+3x-x2)的单调区间.
[拓展提升] 要熟练掌握常用初等函数的单调性和复合函数的单调性,一次函数的单调性决定于一次项系数的符号;二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置;指数函数、对数函数的单调性决定于底数的范围(大于1或小于1且大于零).
求下列函数的单调区间,并确定每一单调区间上的单调性.
[答案] B
[拓展提升] 此题应用了分类讨论的思想,并用求导的方法来讨论其单调性.
已知y=lga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是( )A.(0,1) B.(1,2)C.(0,2) D.[2,+∞)
解析:a是对数的底数,所以a>0,设g(x)=2-ax,则g(x)在区间[0,1]上是减函数.设u=2-ax,由于y=lga(2-ax)是区间[0,1]上的减函数.所以y=lgau是增函数.故a>1.还要使2-ax>0在区间[0,1]上总成立,即g(x)>0在区间[0,1]上总成立,由于g(x)是减函数,x=1时g(x)有最小值.只要g(1)>0,即2-a>0,得a<2,∴1[分析] (1)的求解是容易的;对于(2),应利用函数单调性的定义来证明,其中应注意f(x·y)=f(x)+f(y)的应用;对于(3),应利用(2)中所得的结果及f(x·y)=f(x)+f(y)进行适当配凑,将所给不等式化为f[g(x)]≥f(a)的形式,再利用f(x)的单调性来求解.
[拓展提升] 抽象函数不等式问题的求解思路是根据函数的单调性脱去符号“f”,转化为关于x的显型不等式.
1.根据定义证明函数单调性的一般步骤是:(1)设x1,x2是给定区间内的任意两个值,且x1
2.在理解函数单调性的定义时,值得注意下列三点: (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性, (2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的x1,x2具有任意性,不能用特殊值替代; (3)由于定义都是充要性命题,因此由f(x)是增(减)函数且f(x1)
4.在研究函数的单调性时,常需要先将函数化简,转化为讨论一些熟知的函数的单调性,因此掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,将大大缩短我们的判断过程.
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