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高中数学苏教版必修1第2章 函数2.2 函数的简单性质2.2.1 函数的单调性教课内容课件ppt
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这是一份高中数学苏教版必修1第2章 函数2.2 函数的简单性质2.2.1 函数的单调性教课内容课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了单调增区间，单调减区间，单调性，单调区间，fx≤fx0，规律方法总结，高考真题，全解密等内容，欢迎下载使用。
【命题预测】 1．函数的单调性是历年来考查的重点，也是热点，常与其他知识结合进行考查．2．最值是新课标下专门给出概念的一条性质，虽说不新，但突出了其地位，单调性是求最值的一条主要途径．【应试对策】 1．学习函数单调性三大性质时，主要从“数”和“形”两个方面进行整体把握，从理 解函数的单调性定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合 函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．2．函数的单调性是函数最基本的性质之一，只有理解了一个函数的单调性，才能刻画 出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况．
例如，简单的幂函数y＝x3，当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的，那么就可以刻画出函数y＝x3的图象的基本形状以及它的变化趋势．在学习其概念时，首先应明确对应函数的定义域，其次要理解其区间性，即函数y＝f(x)是在给定区间上的单调性，反映的是随自变量在区间上变化时函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．
3．对函数单调性的证明要明确其步骤：(1)取自变量；(2)作差；(3)判断得结论．注意，定义法是严格的单调性证明，在不需进行严格证明时，可以通过作图进行判断．另外，在后面学习的用导数判断函数的单调性也属严格的证明．因此，解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题，一般要用单调性的定义解决．
【知识拓展】 1．判断函数单调性(求单调区间)的方法(1)从定义入手：设x1，x2∈A，且x1
②若u＝g(x)，y＝f(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y＝f[g(x)]为减函数．(4)函数y＝ax＋ (a>0，b>0)在(－∞， ]及[ ，＋∞)上单调递增；在[－ ，0)及(0， ]上单调递减．
1．函数单调性的概念 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的 任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有 ，那么就说y＝f(x)在 区间I上是单调增函数，I称为y＝f(x)的 ．如果对于区间I内 的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有 ，那么就说y＝f(x) 在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的 ．
f(x1)
2．单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y＝f(x)在区间I上具有 ，单调增区间和单调减区间统称为 ．3．函数的最值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对任意的x∈A，都有 ，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．思考：若函数f(x)的最小值为a，最大值为b，函数的值域是[a，b]吗？提示：不一定．如f(x)＝x2(x∈{0,1,2,3，})的最小值为0，最大值为9，它的值域为{0,1,4,9}不是[0,9]．
1．(2010·东台中学高三诊断)若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且 对一切x>0，y>0，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)<2f(4) 的解集为________． 答案：(0,2)2．函数f(x)＝lg(x2－1)的单调增区间是________． 解析：由x2－1＞0得x＜－1或x＞1，因为x2－1在(1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)＝lg(x2－1)的单调增区间是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)
3．(2010·宁夏银川一中高三月考)已知f(x)为R上的减函数，则满足f ＜f(1) 的实数x的取值范围是________． 解析：由已知条件： >1，不等式等价于 ，解得－1
5．若f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)为增函数，则实数a的取值范围是______． 解析：函数f(x)＝|x－a|的递增区间为[a，＋∞)， 由已知[1，＋∞)⊆[a，＋∞)．则a≤1. 答案：(－∞，1]
用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论．(4)判断：根据定义得出结论．
【例1】 (经典题)试讨论函数f(x)＝ ，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)． 思路点拨：可根据定义，先设－1＜x1＜x2＜1，然后作差、变形、定 号、判断；也可以求f(x)的导函数，然后判断f′(x)与零的大小关系．
解：解法一：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝ .∵－1＜x1＜x2＜1，∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0，x－1＜0，x－1＜0，|x1x2|＜1，即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.∴ ＞0.因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此时函数为减函数；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此时函数为增函数．
解法二：∵f(x)＝ ，∴f′(x)＝当a＞0时，∵－1＜x＜1，∴ ＜0，即f′(x)＜0，此时f(x)在(－1,1)上为减函数．同理，当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．综上可知，a＞0时，f(x)在(－1,1)上为减函数；a＜0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
变式1：(原创题)设函数f(x)＝ ，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单 调区间上的单调性． 解：函数f(x)的单调区间是(－∞，－1)及(－1，＋∞)． 证明如下：任取x1，x2，且x1＜x2＜－1，则： f(x1)－f(x2)＝
因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，所以当x1＜x2＜－1时，x1＋1＜0，x2＋1＜0， 所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以 ＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)． 所以函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数． 同理可证f(x)在(－1，＋∞)上也为减函数．
求函数的单调性或单调区间的方法：(1)利用已知函数的单调性．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
【例2】 判断函数f(x)＝lg(x2－2x)的单调性． 思路点拨：求出函数的定义域，在定义域上先确定x2－2x的单调性，再 确定f(x)的单调性． 解：由x2－2x＞0得x＞2或x＜0，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)． ∵x2－2x在(－∞，0)上为单调减函数， ∴f(x)＝lg(x2－2x)在(－∞，0)上为单调减函数； ∵x2－2x在(2，＋∞)上为单调增函数， ∴f(x)＝lg(x2－2x)在(2，＋∞)上为单调增函数．
变式2：判断函数f(x)＝ 的单调性． 解：由－x2＋3x－2≥0，得x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2. 因为－x2＋3x－2在 上为增函数，所以f(x)＝ 在 上是增函数； 因为－x2＋3x－2在 上是减函数，所以f(x)在 上是减函数．
【例3】 (2010·合肥168中学高三)已知函数f(x)＝ ，x∈[0,1]． (1)求f(x)的单调区间和值域； (2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]，若对于任意 x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．
思路点拨：(1)利用导数求f(x)的单调区间，利用单调性求函数的值域．(2)由f(x)的值域是g(x)的值域的子集列出a的不等式，并由a的不等式，求出a的范围．
解：(1)∵f(x)＝ ，∴f′(x)＝当0≤x＜ 时，f′(x)＜0；当x＝ 时f′(x)＝0；当 ＜x≤1，f′(x)＞0.因此f(x)在 上递减，在 上递增．又f(0)＝－ ，f ＝－4，f(1)＝－3，则f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)由g(x)＝x3－3a2x－2a得：g′(x)＝3x2－3a2，又a≥1,0≤x≤1，则g′(x)≤0，∴g(x)在[0,1]上递减，g(0)＝－2a，g(1)＝－3a2－2a＋1，即g(x)的值域为[－3a2－2a＋1，－2a]，根据已知条件 解得1≤a≤ ，因此a的取值范围是 .
解：(1)f(x)＝ ＝x＋ ＋2，x∈[1，＋∞)，f(x)－f(1)＝ － ＝ .由x≥1时f(x)≥f(1)知当x＝1时，f(x)最小＝f(1)＝ ，∴函数f(x)的最小值为 ；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，即 ＞0，∴x2＋2x＋a＞0对于一切x∈[1，＋∞)恒成立；又x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1≥3＋a，由3＋a＞0得a＞－3.
变式3：已知函数f(x)＝ ，x∈[1，＋∞)， (1)当a＝ 时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
求证一个函数在某一区间上具有单调性，常用单调性的定义证明，求函数的单调区间常结合函数的图象和导数来完成，如果已知函数的单调性利于求函数的值域或最值.
【例4】 (2009·山东)函数y＝ 的图象大致为( )
分析：先确定函数的定义域{x|x≠0}，再确定函数的单调性，以此利用排除法可得正确答案．规范解答：由题意，得ex－e－x≠0，所以函数定义域为{x|x≠0}．又因为 所以当x＞0时函数为减函数．又函数y是奇函数，故选A.
【命题探究】 本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．考题将函数的图象、定义域、值域、单调性等知识点交汇，构成了一道既注重基础又注重能力的中档题．本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质．
【课本探源】 本题是江苏版数学必修1第55页第8题“已知函数f(x)＝ ，试讨论函数f(x)的单调性”的改编题．考题的函数变得复杂了，并且函数单调性问题变成了利用函数单调性讨论函数图象问题，使得考题的能力要求提高了．
【技巧点拨】 本题的求解需要较强的解题技巧．首先，求解函数的定义域{x|x≠0}；其次，将函数化简为y＝1＋ ，可得当x＞0时函数为减函数进而得解．这里，函数的化简、图象的观察等等，不仅需要扎实的基本功，而且还需要熟练的解题技巧.
1．已知f(x)＝ 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值 范围是________． 解析：∵当x≥1时，y＝lgax单调递减，∴0
【命题预测】 1．函数的单调性是历年来考查的重点，也是热点，常与其他知识结合进行考查．2．最值是新课标下专门给出概念的一条性质，虽说不新，但突出了其地位，单调性是求最值的一条主要途径．【应试对策】 1．学习函数单调性三大性质时，主要从“数”和“形”两个方面进行整体把握，从理 解函数的单调性定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合 函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．2．函数的单调性是函数最基本的性质之一，只有理解了一个函数的单调性，才能刻画 出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况．
例如，简单的幂函数y＝x3，当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的，那么就可以刻画出函数y＝x3的图象的基本形状以及它的变化趋势．在学习其概念时，首先应明确对应函数的定义域，其次要理解其区间性，即函数y＝f(x)是在给定区间上的单调性，反映的是随自变量在区间上变化时函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．
3．对函数单调性的证明要明确其步骤：(1)取自变量；(2)作差；(3)判断得结论．注意，定义法是严格的单调性证明，在不需进行严格证明时，可以通过作图进行判断．另外，在后面学习的用导数判断函数的单调性也属严格的证明．因此，解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题，一般要用单调性的定义解决．
【知识拓展】 1．判断函数单调性(求单调区间)的方法(1)从定义入手：设x1，x2∈A，且x1
②若u＝g(x)，y＝f(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y＝f[g(x)]为减函数．(4)函数y＝ax＋ (a>0，b>0)在(－∞， ]及[ ，＋∞)上单调递增；在[－ ，0)及(0， ]上单调递减．
1．函数单调性的概念 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的 任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有 ，那么就说y＝f(x)在 区间I上是单调增函数，I称为y＝f(x)的 ．如果对于区间I内 的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有 ，那么就说y＝f(x) 在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的 ．
f(x1)
2．单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y＝f(x)在区间I上具有 ，单调增区间和单调减区间统称为 ．3．函数的最值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对任意的x∈A，都有 ，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．思考：若函数f(x)的最小值为a，最大值为b，函数的值域是[a，b]吗？提示：不一定．如f(x)＝x2(x∈{0,1,2,3，})的最小值为0，最大值为9，它的值域为{0,1,4,9}不是[0,9]．
1．(2010·东台中学高三诊断)若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且 对一切x>0，y>0，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)<2f(4) 的解集为________． 答案：(0,2)2．函数f(x)＝lg(x2－1)的单调增区间是________． 解析：由x2－1＞0得x＜－1或x＞1，因为x2－1在(1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)＝lg(x2－1)的单调增区间是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)
3．(2010·宁夏银川一中高三月考)已知f(x)为R上的减函数，则满足f ＜f(1) 的实数x的取值范围是________． 解析：由已知条件： >1，不等式等价于 ，解得－1
5．若f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)为增函数，则实数a的取值范围是______． 解析：函数f(x)＝|x－a|的递增区间为[a，＋∞)， 由已知[1，＋∞)⊆[a，＋∞)．则a≤1. 答案：(－∞，1]
用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论．(4)判断：根据定义得出结论．
【例1】 (经典题)试讨论函数f(x)＝ ，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)． 思路点拨：可根据定义，先设－1＜x1＜x2＜1，然后作差、变形、定 号、判断；也可以求f(x)的导函数，然后判断f′(x)与零的大小关系．
解：解法一：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝ .∵－1＜x1＜x2＜1，∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0，x－1＜0，x－1＜0，|x1x2|＜1，即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.∴ ＞0.因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此时函数为减函数；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此时函数为增函数．
解法二：∵f(x)＝ ，∴f′(x)＝当a＞0时，∵－1＜x＜1，∴ ＜0，即f′(x)＜0，此时f(x)在(－1,1)上为减函数．同理，当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．综上可知，a＞0时，f(x)在(－1,1)上为减函数；a＜0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
变式1：(原创题)设函数f(x)＝ ，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单 调区间上的单调性． 解：函数f(x)的单调区间是(－∞，－1)及(－1，＋∞)． 证明如下：任取x1，x2，且x1＜x2＜－1，则： f(x1)－f(x2)＝
因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，所以当x1＜x2＜－1时，x1＋1＜0，x2＋1＜0， 所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以 ＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)． 所以函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数． 同理可证f(x)在(－1，＋∞)上也为减函数．
求函数的单调性或单调区间的方法：(1)利用已知函数的单调性．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
【例2】 判断函数f(x)＝lg(x2－2x)的单调性． 思路点拨：求出函数的定义域，在定义域上先确定x2－2x的单调性，再 确定f(x)的单调性． 解：由x2－2x＞0得x＞2或x＜0，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)． ∵x2－2x在(－∞，0)上为单调减函数， ∴f(x)＝lg(x2－2x)在(－∞，0)上为单调减函数； ∵x2－2x在(2，＋∞)上为单调增函数， ∴f(x)＝lg(x2－2x)在(2，＋∞)上为单调增函数．
变式2：判断函数f(x)＝ 的单调性． 解：由－x2＋3x－2≥0，得x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2. 因为－x2＋3x－2在 上为增函数，所以f(x)＝ 在 上是增函数； 因为－x2＋3x－2在 上是减函数，所以f(x)在 上是减函数．
【例3】 (2010·合肥168中学高三)已知函数f(x)＝ ，x∈[0,1]． (1)求f(x)的单调区间和值域； (2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]，若对于任意 x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．
思路点拨：(1)利用导数求f(x)的单调区间，利用单调性求函数的值域．(2)由f(x)的值域是g(x)的值域的子集列出a的不等式，并由a的不等式，求出a的范围．
解：(1)∵f(x)＝ ，∴f′(x)＝当0≤x＜ 时，f′(x)＜0；当x＝ 时f′(x)＝0；当 ＜x≤1，f′(x)＞0.因此f(x)在 上递减，在 上递增．又f(0)＝－ ，f ＝－4，f(1)＝－3，则f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)由g(x)＝x3－3a2x－2a得：g′(x)＝3x2－3a2，又a≥1,0≤x≤1，则g′(x)≤0，∴g(x)在[0,1]上递减，g(0)＝－2a，g(1)＝－3a2－2a＋1，即g(x)的值域为[－3a2－2a＋1，－2a]，根据已知条件 解得1≤a≤ ，因此a的取值范围是 .
解：(1)f(x)＝ ＝x＋ ＋2，x∈[1，＋∞)，f(x)－f(1)＝ － ＝ .由x≥1时f(x)≥f(1)知当x＝1时，f(x)最小＝f(1)＝ ，∴函数f(x)的最小值为 ；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，即 ＞0，∴x2＋2x＋a＞0对于一切x∈[1，＋∞)恒成立；又x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1≥3＋a，由3＋a＞0得a＞－3.
变式3：已知函数f(x)＝ ，x∈[1，＋∞)， (1)当a＝ 时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
求证一个函数在某一区间上具有单调性，常用单调性的定义证明，求函数的单调区间常结合函数的图象和导数来完成，如果已知函数的单调性利于求函数的值域或最值.
【例4】 (2009·山东)函数y＝ 的图象大致为( )
分析：先确定函数的定义域{x|x≠0}，再确定函数的单调性，以此利用排除法可得正确答案．规范解答：由题意，得ex－e－x≠0，所以函数定义域为{x|x≠0}．又因为 所以当x＞0时函数为减函数．又函数y是奇函数，故选A.
【命题探究】 本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．考题将函数的图象、定义域、值域、单调性等知识点交汇，构成了一道既注重基础又注重能力的中档题．本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质．
【课本探源】 本题是江苏版数学必修1第55页第8题“已知函数f(x)＝ ，试讨论函数f(x)的单调性”的改编题．考题的函数变得复杂了，并且函数单调性问题变成了利用函数单调性讨论函数图象问题，使得考题的能力要求提高了．
【技巧点拨】 本题的求解需要较强的解题技巧．首先，求解函数的定义域{x|x≠0}；其次，将函数化简为y＝1＋ ，可得当x＞0时函数为减函数进而得解．这里，函数的化简、图象的观察等等，不仅需要扎实的基本功，而且还需要熟练的解题技巧.
1．已知f(x)＝ 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值 范围是________． 解析：∵当x≥1时，y＝lgax单调递减，∴0
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