苏教版 (2019)第3章 不等式3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式教案设计

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教材在研究一元二次不等式的图象解法时，首先提出这样的问题“一元二次不等式与相应的二次函数是否有内在的联系？” 这为学生的活动与发现提供了基础，也为研究不等式的解法指明了方向，即数形结合．本节课由具体数字向参数过渡，把恒成立问题转化为一元二次不等式解决，还有关于一元二次不等式的实际应用问题，涉及的知识面较多。从思想层面看，本节课突出本现了数形结合思想。同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具。
1. 理解一元二次不等式与二次函数的关系.
2. 掌握图象法解一元二次不等式.
填空
来源
类似探究“一次函数、一元一次方程、一元一次不等式”三者之间的关系的做法，我们能不能将一元二次不等式的求解与一元二次函数以及一元二次方程联系起来找到其求解方法呢?
典例剖析
题型一 一元二次不等式的解法
[典例] 解下列不等式：
(1)x2－x－6>0；
(2)25x2－10x＋1>0；
(3)－2x2＋x＋1<0.
[解] (1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数y＝x2－x－6的图象知x2－x－6>0的解集为{x|x>3或x<－2}．
(2)方程25x2－10x＋1＝0有两相等实根，x1＝x2＝eq \f(1,5).结合二次函数y＝25x2－10x＋1的图象知25x2－10x＋1>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(1,5))))).
(3)法一：方程－2x2＋x＋1＝0的解为x1＝－eq \f(1,2)，x2＝1，函数y＝－2x2＋x＋1的图象是开口向下的抛物线，与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))和(1,0)，如图，
观察图象知不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)或x>1)))).
法二：在不等式两边同乘－1，可得2x2－x－1>0，
方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－eq \f(1,2)，x2＝1；画出函数y＝2x2－x－1的图象如图所示．
观察图象，可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)或x>1)))).
点评：一元二次不等式的2种方法
(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(或≥0)或ax2＋bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；
②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
③由图象得出不等式的解集．
对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p0，则x>q或x变式训练：（1）解不等式－x2＋2x－3>0.
解 不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，
方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集是∅.
（2）解不等式－x2＋2x－3<0.
解 不等式可化为x2－2x＋3>0.
因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，
方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集是R
点评 将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等号的变化，化归为二次项系数大于0的不等式，是为了减少记忆负担.
题型二 简单分式不等式的解法
[典例] 解下列不等式：
(1)eq \f(2x－5,x＋4)<0； (2)eq \f(x＋1,2x－3)≤1.
解 (1)eq \f(2x－5,x＋4)<0⇔(2x－5)(x＋4)<0⇔－4∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4(2)∵eq \f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq \f(x＋1,2x－3)－1≤0，∴eq \f(－x＋4,2x－3)≤0，即eq \f(x－4,x－\f(3,2))≥0.
此不等式等价于(x－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq \f(3,2)≠0，
解得x∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)或x≥4)))).
总结 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型eq \f(fx,gx)>0(<0)或eq \f(fx,gx)≥0(≤0)，，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母即可.
题型三 三个“二次”关系的应用
[典例] 已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
[解] 因为x2＋px＋q＜0的解集为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，
所以x1＝－eq \f(1,2)与x2＝eq \f(1,3)是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,2)＝－p，,\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝q，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,6)，,q＝－\f(1,6) .))
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－eq \f(1,6)x2＋eq \f(1,6)x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x ＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
点评：
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
3．微课辅助
[变式]已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．
解：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3＝－\f(b,a)，,2×3＝\f(c,a)，,a<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－5a，,c＝6a，,a<0.))
代入不等式cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．即6x2＋5x＋1<0，解得－eq \f(1,2)所以所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)题型四 不等式的恒成立问题
[典例] 对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总为非负，则m的取值范围为________．
[解析] 由题意知Δ＝(m－4)2－4(4－2m)≤0，得m＝0.
[答案] {0}
[变式] 对任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求m的取值范围．
解：①当m＝0时，f(x)的值不恒大于零，舍去；
②当m≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,m－42－4m4－2m<0，))此不等式组无解，故m∈∅.
综上知，不存在这样的实数m，使函数f(x)的值恒大于零．
点评：转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满足题目要求的条件，构造含参数的不等式(组)，求得参数范围；
题型五 一元二次不等式的实际应用
[典例] 某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.
解 设花卉带的宽度为x m(0则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.
根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥eq \f(1,2)×800×600，
整理得x2－700x＋600×100≥0，
即(x－600)(x－100)≥0，
所以0故所求花卉带宽度的范围为(0,100].
总结 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.
本节通过画图，看图，分析图，小组讨论列出表格深化知识，抽象概括进行教学，让每个学生动手，动口，动脑，积极参与，提高教学效率和教学质量，使学生进一步理解数形结合和从特殊到一般的思想方法。通过探讨一次函数与一元二次方程、不等式的关系，再次展示函数与方程、不等式的联系。一方面可以深化我们对一元二次不等式的认识，另一方面又可以运用一元二次不等式解决二次函数的有关问题。课程目标
学科素养
A.理解一元二次不等式与二次函数的关系.
B.掌握图象法解一元二次不等式.
C.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决.
1.数学抽象 理解一元二次不等式与二次函数的关系.
2.数学建模 能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决
3.数学运算 掌握图象法解一元二次不等式.
a>0
a<0
一次函数
的图象
一元一次方程
的根
一元一次不等式
的解集
一元一次不等式
的解集




二次函数
（）的图象
一元二次方程