2021学年3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式复习练习题

3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

3.3.1　从函数观点看一元二次方程

3.3.2　从函数观点看一元二次不等式

基础过关练

题组一　二次函数的零点

1.函数y=-x2+4x-4在x∈[1,3]时的零点情况是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.没有零点 

B.只有一个零点

C.有两个零点 

D.有无数个零点

2.若函数y=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是(　　)

A.a<1 B.a>1

C.a≤1 D.a≥1

3.函数y=(x-1)(x2-3x+1)的零点是　　　　. 

4.函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,则其另一个零点为　　　　. 

5.函数y=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数y=bx2-ax-1的零点为　　　　. 

题组二　一元二次不等式的解法

6.(2020江苏徐州侯集高级中学高二上学期期末)不等式x2+2x<3的解集是(　　)

A.(-1,3) 

B.(-3,1)

C.(-∞,-3)∪(1,+∞) 

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

7.(2019广东汕头高一期末)已知集合M={0,1,2,3,4},N={x|(x-2)(x-5)<0},则M∩N=(　　)

A.{3,4} 

B.{2,3,4,5}

C.{2,3,4} 

D.{3,4,5}

8.(2019江苏南京高二上学期期中)已知命题p:x+1>2,命题q:5x-6>x2,则p是q的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

9.(2019北京西城高二期末)不等式>1的解集为　　　　　. 

10.解下列关于x的不等式:

(1)2+3x-2x2>0;

(2)x(3-x)≤x(x+2)-1;

(3)-1<x2+2x-1≤2;

(4)≤1.

题组三　含有参数的一元二次不等式的解法

11.(2019河南商丘九校高二期末联考)已知关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x<-1},则关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集是(　　)

A.{x|1<x<2} B.{x|-1<x<2}

C.{x|x<-1或x>2} D.{x|x>2}

12.若0<t<1,则关于x的不等式(t-x)>0的解集是(　　)

A. B.

C. D.

13.已知不等式x2+ax+4<0的解集不为空集,则实数a的取值范围是(　　)

A.-4≤a≤4 B.-4<a<4

C.a≤-4或a≥4 D.a<-4或a>4

14.解关于x的不等式ax2-x>0(a≠0).

题组四　三个二次之间的关系

15.若二次函数的大致图象如图所示,则y>0的解集为(　　)

A.(-2,1) B.(-1,2)

C.(1,2] D.(-∞,0)∪(3,+∞)

16.若y=-x2+mx-1的函数值有正值,则m的取值范围是(　　)

A.m<-2或m>2 

B.-2<m<2

C.m≠±2 

D.1<m<3

17.已知关于x的不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x<-2或x>3},则m,n的值分别是(　　)

A.2,12 

B.2,-2

C.2,-12 

D.-2,-12

18.已知不等式x2+ax+b<0的解集是{x|-1<x<2},则a+b=(　　)

A.-3 B.1

C.-1 D.3

19.(2020湖南雅礼中学检测)已知x1,x2是二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的两个零点,且x1,x2都大于1.

(1)求实数k的取值范围;

(2)若,求k的值.

题组五　一元二次不等式的实际应用

20.某商场将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个.每涨价1元,销售量就减少20个,为了使该商场利润有所增加,则售价a(元/个)的取值范围应是(　　)

A.90<a<100 B.90<a<110

C.100<a<110 D.80<a<100

21.某商家一月份至五月份的累计销售额达3 860万元,预测六月份的销售额为500万元,七月份的销售额比六月份增长x%,八月份的销售额比七月份增长x%,九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等.若一月份至十月份的销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是　　　　. 

22.(2020广东汕头金山中学高一期末)某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120 吨(0≤t≤24).

(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?

(2)若蓄水池中存水量少于80吨时就会出现供水紧张的现象,则在一天的24小时内,有几个小时会出现供水紧张的现象?

能力提升练

题组一　含有参数的一元二次不等式的解法

1.()已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

2.()设0<b<1+a,若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中恰有3个整数解,则a的取值范围为(　　)

A.(-∞,1)∪(3,+∞) B.[1,3]

C.(1,3) D.(0,2)

3.(多选)(2020山东菏泽高二期末,)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则能使不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax成立的x的取值范围为(　　)

A.{x|0<x<3} B.{x|x<0}

C.{x|x>3} D.{x|x<-2或x>1}

4.(2019江苏常州教学研究合作联盟高二上学期期中,)已知命题p:x2-2x-35≤0,q:x2-3mx+(2m-1)(m+1)≤0,其中实数m>2.

(1)分别求出命题p,q中关于x的不等式的解集M和N;

(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.

5.(2020山东济南外国语学校高一期中,)已知函数y=x2-x+m.

(1)当m=-2时,求不等式y>0的解集;

(2)当m>0时,y<0的解集为{x|a<x<b},求的最小值.

题组二　一元二次不等式的恒(能)成立问题

6.(2020河南郑州高二期末,)已知y=-2x2+bx+c,不等式y>0的解集是(-1,3),若对于任意x∈[-1,0],不等式y+t≤4恒成立,则t的取值范围为(　　)

A.(-∞,2] B.(-∞,-2]

C.(-∞,-4] D.(-∞,4]

7.()若关于x的不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解,则实数a的取值范围是(　　)

A.{a|a≤-2} B.{a|a≥-2}

C.{a|a≥-6} D.{a|a≤-6}

8.()若kx2-6kx+(k+8)≥0对任意x∈R恒成立(k为常数),则k的取值范围是(　　)

A.[0,1] B.(0,1)

C.(0,1] D.(-∞,0)∪(1,+∞)

9.(2020江苏如东高三模拟,)不等式a2+8b2≥λb(a+b)对任意a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为　　　　. 

10.(2020四川自贡高一期末,)已知关于x的不等式2kx2+kx-<0.

(1)若不等式的解集为,求实数k的值;

(2)若不等式对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.

答案全解全析

3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

3.3.1　从函数观点看一元二次方程

3.3.2　从函数观点看一元二次不等式

基础过关练

1.B　令-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,所以在x∈[1,3]时,函数只有一个零点,故选B.

2.B　∵函数y=x2+2x+a没有零点,

∴方程x2+2x+a=0无实数解,

∴Δ=22-4a<0,解得a>1.

3.答案　1,

解析　令(x-1)(x2-3x+1)=0,

则x-1=0或x2-3x+1=0,

解得x=1或x=或x=.

故函数的零点为1,.

4.答案　-3

解析　∵函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为 1,

∴a+2a+3=0,

∴a=-1,

∴y=-x2-2x+3,

令-x2-2x+3=0,解得x1=1,x2=-3,

故函数的另一个零点为-3.

5.答案　-和-

解析　∵函数y=x2-ax-b的两个零点是2和3,

∴解得经检验,满足题意.

则y=bx2-ax-1即为y=-6x2-5x-1,

令y=-6x2-5x-1=0,

解得x=-或x=-,

故函数y=bx2-ax-1的零点为-和-.

6.B　∵x2+2x<3,∴x2+2x-3<0,∴(x-1)(x+3)<0,解得-3<x<1,所以不等式的解集为(-3,1),故选B.

7.A　N={x|(x-2)(x-5)<0}={x|2<x<5},则M∩N={3,4}.

8.B　p:x>1.对于q:x2-5x+6<0,∴2<x<3.可知p是q的必要不充分条件.

9.答案　{x|1<x<2}

解析　∵>1,∴>0,∴(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2.

∴不等式>1的解集为{x|1<x<2}.

10.解析　(1)原不等式可化为2x2-3x-2<0,所以(2x+1)(x-2)<0,解得-<x<2,故原不等式的解集是.

(2)原不等式可化为2x2-x-1≥0,所以(2x+1)(x-1)≥0,解得x≤-或x≥1,故原不等式的解集为.

(3)原不等式等价于

即

由①得x(x+2)>0,所以x<-2或x>0;

由②得(x+3)(x-1)≤0,所以-3≤x≤1,所以原不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0<x≤1}.

(4)原不等式可化为≤0,

即(x+2)(x-1)≤0且x-1≠0,

所以原不等式的解集为{x|-2≤x<1}.

11.A　∵关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x<-1},

∴∴b=a<0,

∴关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0可化为(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2,

∴不等式的解集是{x|1<x<2}.故选A.

12.D　∵(t-x)>0,

∴(x-t)<0.

∵0<t<1,∴t<,

∴原不等式的解集为.

13.D　因为不等式x2+ax+4<0的解集不为空集,

所以Δ=a2-16>0,

∴a<-4或a>4.

14.解析　∵a≠0,

∴方程ax2-x=0的两个根为x1=0,x2=.

当a>0时,>0,此时不等式的解集为;

当a<0时,<0,此时不等式的解集为.

综上,当a>0时,不等式的解集为;

当a<0时,不等式的解集为.

15.B　由题图,知y>0的解集为{x|-1<x<2}.故选B.

16.A　∵y=-x2+mx-1的函数值有正值,

 ∴Δ=m2-4>0,

∴m>2或m<-2.故选A.

17.D　由题意知-2,3是关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根,

∴-2+3=-,

∴m=-2,n=-12.故选D.

18.A　易知方程x2+ax+b=0的两个解为-1和2,

所以⇒⇒a+b=-3.

19.解析　(1)∵x1,x2是二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的两个零点,

∴x1+x2=2k+1,x1x2=k2+1.

又x1>1,x2>1,

∴

解得k≥,且k≠1.

∴实数k的取值范围是kk≥且k≠1.

(2)由得

∴x1x2=·=k2+1,

即k2-8k+7=0,解得k1=7,k2=1(舍去).

∴k的值为7.

20.A　设每个涨价x元,涨价后的利润与原利润之差为y元,则a=x+90,y=(10+x)·(400-20x)-10×400=-20x2+200x.要使商场利润有所增加,则必须使y>0,即x2-10x<0,得0<x<10,则90<x+90<100,故a的取值范围为90<a<100.

21.答案　20

解析　由题意,得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),

所以x≥20,

即x的最小值为20.

22.解析　(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨,则y=400+60t-120(0≤t≤24).

令=x,则x2=6t(0≤x≤12),

∴y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12).

∴当x=6,即t=6时,ymin=40,

即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,最少存水量是40吨.

(2)令 400+10x2-120x<80,

即x2-12x+32<0,解得4<x<8,

即4<<8,

故=8,

所以每天有8个小时会出现供水紧张的现象.

能力提升练

1.C　由题意知,关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1<0的解集为R.

①若a2-4=0,则a=±2.

当a=2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1<0可化为-1<0,符合题意;

当a=-2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1<0可化为-4x-1<0,即x>-,其解集不为R,不符合题意;

②若a2-4≠0,则a≠±2.

∵关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1<0的解集为R,

∴

解得-<a<2.

综上,实数a的取值范围是.故选C.

2.C　原不等式可转化为[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0.①当a≤1时,结合不等式的解集形式知不符合题意;②当a>1时,有,由题意知0<<1,所以要使原不等式的解集中恰有3个整数解,只需-3≤<-2,整理,得2a-2<b≤3a-3.结合b<1+a,有2a-2<1+a.所以a<3,从而有1<a<3.综上可得a∈(1,3).故选C.

3.BC　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},所以-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,所以-=-2.由a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax,得ax2-(2a-b)x+a-b+c<0,设ax2-(2a-b)x+a-b+c=0的两根为x1,x2(x1<x2),则x1+x2==2+1=3①,x1x2==1+1-2=0②,联立①②得解得因为a<0,所以ax2-(2a-b)x+a-b+c<0的解集为{x|x<0或x>3},所以不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0或x>3}.故选BC.

4.解析　(1)x2-2x-35=(x-7)(x+5)≤0,

∴M=[-5,7];

x2-3mx+(2m-1)(m+1)=[x-(2m-1)][x-(m+1)]≤0,又m>2,∴2m-1>m+1,

∴N=[m+1,2m-1].

(2)∵p是q的必要不充分条件,∴N是M的真子集,

∴或

解得-6≤m≤4,又m>2,

∴2<m≤4.

5.解析　(1)当m=-2时,y=x2-x+m=x2-x-2,当y>0时,x2-x-2>0.

由x2-x-2=0得x1=-1,x2=2,

∴不等式y>0的解集为{x|x<-1或x>2}.

(2)∵y<0的解集为{x|a<x<b},

∴a,b为方程x2-x+m=0的两个实数根,

∴a+b=1,ab=m.

∵m>0,

∴a>0,b>0,

∴(a+b)

=5+

≥5+2=9,

当且仅当a=时,等号成立.

故的最小值为9.

6.B　由题意知-1和3是方程-2x2+bx+c=0的两根,所以解得

∴y=-2x2+4x+6.

不等式y+t≤4可转化为t≤2x2-4x-2,x∈[-1,0],又y=2x2-4x-2=2(x-1)2-4,x∈[-1,0]的最小值为-2,∴t≤-2.

7.A　不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解等价于在{x|1≤x≤4}内,a≤.

当1≤x≤4时,-6≤x2-4x-2≤-2,所以a≤-2.故选A.

8.A　当k=0时,显然8>0恒成立;

当k≠0时,

只需满足

解得0<k≤1.所以k的取值范围是[0,1],故选A.

9.答案　[-8,4]

解析　因为a2+8b2≥λb(a+b)对任意a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0对任意a∈R恒成立,所以Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.

10.解析　(1)若关于x的不等式2kx2+kx-<0的解集为,

则-和1是2kx2+kx-=0的两个实数根,且k>0,由根与系数的关系得-,所以k=.

(2)当k=0时,-<0恒成立,满足题意.

当k≠0时,则有

解得-3<k<0.

综上,实数k的取值范围为(-3,0].