高中数学北师大版必修5第二章 解三角形2三角形中的几何计算同步达标检测题

课时分层作业(十三)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．在△ABC中，sin 2A·sin 2B＝1，则△ABC是(　　)

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．等边三角形 D．直角三角形

B　[在△ABC中，由sin 2A·sin 2B＝1，知又A、B为△ABC的内角，

∴A＝B＝45°.∴△ABC为等腰直角三角形，故选B.]

2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin Bsin C＋sin2C，则A等于(　　)

A．30° B．60°

C．120° D．150°

C　[由正弦定理，可知a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理，可知A＝120°.]

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径是(　　)

A．4 B．5

C．5 D．6

C　[∵S△ABC＝acsin B＝2，∴c＝4.

又b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝1＋32－2×1×4×＝25，∴b＝5，∴2R＝＝5.]

4．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为(　　)

A．  B．

C． D．3

B　[由余弦定理可知13＝9＋16－2×3×4×cos A，得cos A＝，又A为三角形的内角，∴A＝，∴h＝AB·sin A＝.]

5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于(　　)

A．   B．

C．－ D．－

C　[由2S＝(a＋b)2－c2得2×absin C＝a2＋b2－c2＋2ab，得absin C＝2abcos C＋2ab，sin C－2cos C＝2，∴sin2C＋4cos2C－4sin Ccos C＝4，∴＝4，

∴tan C＝－或0(舍去)，故选C.]

二、填空题

6．在△ABC中，若m＝(sin A，cos A)，n＝(cos B，sin B)，m·n＝sin 2C，则角C＝________.

　[∵m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin 2C，得cos C＝，又C为△ABC的内角，∴C＝.]

7．在△ABC中，AB＝，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________．

　[∵D为BC的中点，∴S△ABC＝2S△ABD

＝2××|AB||AD|·sin∠BAD＝2×××1×sin 30°＝.]

8．如图所示，已知圆内接四边形ABCD中AB＝3，AD＝5，BD＝7，∠BDC＝45°，则BC＝________.

　[cos A＝＝－，

∴A＝120°，

∴C＝60°.从而＝，

∴BC＝＝＝.]

三、解答题

9．已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．

[解]　连接AC，在△ACD中，由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos D

＝62＋42－2×4×6cos 60°＝28，

在△ABC中，

由AB＝2，BC＝4，

AC2＝28，

可得cos B

＝

＝＝－.

又0°<B<180°，故B＝120°.

所以四边形ABCD的面积

S＝S△ACD＋S△ABC

＝AD·CDsin D＋AB·BCsin B

＝×4×6sin 60°＋×2×4sin 120°＝8.

10．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cos B＝.

(1)求△ACD的面积；

(2)若BC＝2，求AB的长．

[解]　(1)因为∠D＝2∠B，

cos B＝，

所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－，

因为∠D∈(0，π)，所以sin D＝＝.

因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝.

(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，

所以AC＝2，

因为BC＝2，＝，

所以＝＝＝＝，

所以AB＝4.

[能力提升练]

1．在△ABC中，A＝60°，且最大边的长和最小边的长是方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的长为(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

C　[设最大的边长为x，最小的边长为y.由根与系数的关系得，A＝60°，

∴y≤a≤x，由余弦定理，得a2＝x2＋y2－2xycos 60°＝(x＋y)2－3xy＝49－33＝16，故a＝4.]

2．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　)

A．   B．

C． D．

B　[设AB＝c，在△ABC中，由余弦定理知

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，

即7＝c2＋4－2×2×c×cos 60°，c2－2c－3＝0，

即(c－3)(c＋1)＝0，又c＞0，

∴c＝3.

设BC边上的高等于h，由三角形面积公式

S△ABC＝AB·BC·sin B＝BC·h，知

×3×2×sin 60°＝×2×h，

∴h＝.]

3．如图所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝________.

　[易知，在△ECD中，ED＝，EC＝，CD＝1，由余弦定理得：cos∠CED＝＝，所以sin∠CED＝.]

4．如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于________．

5　[连接BD，在△BCD中，

BD＝

＝＝2.

∵∠CBD＝(180°－∠BCD)＝30°，

∴∠ABD＝90°，

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝

AB·BD＋BC·CDsin∠BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.]

5．已知锐角△ABC中，bsin B－asin A＝(b－c)sin C，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边．

(1)求角A的大小；

(2)求cos C－sin B的取值范围．

[解]　(1)由正弦定理得b2－a2＝(b－c)·c．

即b2＋c2－a2＝bc．

∴cos A＝＝＝.

又∵A为三角形内角，∴A＝.

(2)∵B＋C＝π，∴C＝π－B．∵△ABC为锐角三角形，∴∴<B<.

又∵cos C－sin B＝cos－sin B

＝－cos B＋sin B＝sin，

∵<B<，

∴－<B－<.

∴－<sin<.即cos C－sin B的取值范围为.