北师大版必修53.1等比数列复习练习题
展开课时分层作业(六)
(建议用时:60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.在等比数列{an}中,满足2a4=a6-a5,则公比是( )
A.1 B.1或-2
C.-1或2 D.-1或-2
C [法一:由已知得2a1·q3=a1·q5-a1·q4,即2=q2-q,∴q=-1或q=2.
法二:∵a5=a4·q,a6=a4·q2,∴由已知条件得2a4=a4·q2-a4·q,即2=q2-q,∴q=-1或q=2.]
2.下列数列为等比数列的是( )
A.2,22,222,…
B.,,,…
C.S-1,(S-1)2,(S-1)3,…
D.0,0,0…
B [A项中,≠,∴A不是;B是首项为,公比为的等比数列;C项,当S=1时,数列为0,0,0,…,∴不是;D显然不是.]
3.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于( )
A.64 B.81
C.128 D.243
A [q==2代入a1+a2=a1(1+q)=3,得a1=1,∴a7=a1q6=26=64,故选A.]
4.设a1=2,数列{1+2an}是公比为2的等比数列,则a6等于( )
A.31.5 B.160
C.79.5 D.159.5
C [1+2an=(1+2a1)·2n-1,
所以1+2a6=5·25.
所以a6==79.5.]
5.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
D [设等比数列的公比为q,则a3=a1q2,a6=a1q5,a9=a1q8,满足(a1q5)2=a1q2·a1q8,
即(a6)2=a3·a9.故D正确.]
二、填空题
6.数列{an}满足:a9=1,an+1=2an(n∈N+),则a5=________.
[由an+1=2an(n∈N+)知数列{an}是公比q==2的等比数列.
∴a5=a1q4===.]
7.等比数列{an}中,a4=2,a5=4,若bn=lg an,则数列{bn}的通项公式为________.
bn=(n-3)lg 2(n∈N+) [q==2,故a4=a1·q3,得a1=2-2,an=2n-3,可得bn=lg 2n-3=(n-3)lg 2(n∈N+).]
8.已知某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么该单位此年的月平均增长率是________.
-1 [设一月份产值为1,此年的月平均增长率为x.
则(1+x)11=m,解得x=-1.]
三、解答题
9.已知等比数列{an}中,a2=3,a3+a4=,求数列{an}的通项公式.
[解] 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
则由a2=3,a3+a4=得
解得或所以an=n-1或an=-n-1.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(an+1)(n∈N+).
(1)求a1,a2;
(2)求证:数列{an}是等比数列.
[解] (1)由S1=(a1+1),得a1=(a1+1),
∴a1=.
又S2=(a2+1),即a1+a2=(a2+1),
解得a2=-.
(2)证明:当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(an+1)-(an-1+1),
解得an=-an-1,
即=-,当n=1时,a1=,a2=-,∴=-,故{an}是以为首项,公比为-的等比数列.
[能力提升练]
1.在等比数列{an}中,a3+a4=4,a2=2,则公比q等于( )
A.-2 B.1或-2
C.1 D.1或2
B [根据题意,代入公式
解得:或]
2.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为( )
A.64 B.32
C.128 D.16
A [设{an}的公比为q,由a1+a3=10,
a2+a4=5得a1=8,q=,
则a2=4,a3=2,a4=1,a5=,
∴a1a2…an≤a1a2a3a4=64.]
3.在数列{an}中,对任意n∈N+,都有an+1-2an=0(an≠0),则等于________.
[由an+1-2an=0得=2.
所以数列{an}是公比为2的等比数列,
所以===.]
4.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,S2=8,S4=32,数列{bn}为等比数列,且b1=a1,b2(a2-a1)=b1,则数列{bn}的通项公式为bn=________.
23-2n [设公差为d,公比为q,由已知得
所以
又因为b2(a2-a1)=b1,
所以q====.
又因为b1=a1=2,
所以bn=2×n-1=23-2n.]
5.数列{an},{bn}满足下列条件,a1=0,a2=1,an+2=,bn=an+1-an.
(1)求证:{bn}是等比数列.
(2)求{bn}的通项公式.
[解] (1)证明:∵2an+2=an+an+1,∴===-,∴{bn}是等比数列.
(2)∵b1=a2-a1=1,
公比q=-,
∴bn=1×n-1=n-1.
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