2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：2.7 函数的图象

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：2.7 函数的图象，共8页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记2个知识点
1．列表描点法作图
其基本步骤是列表、描点、连线，首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值、最小值、与坐标轴的交点)，描点，连线．
2．图象变换法作图
(1)平移变换
(2)对称变换
(ⅰ)y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝①________；
(ⅱ)y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝②________；
(ⅲ)y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝③________；
(ⅳ)y＝ax(a>0且a≠1)eq \(――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝④________.
(3)翻折变换
(ⅰ)y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝⑤________.
(ⅱ)y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝⑥________.
(4)伸缩变换
y＝⑦________.
(ⅱ)y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\d5(0y＝⑧________.
二、必明2个易误点
1．图象变换的根本是点的变换，如函数y＝f(2x)的图象到函数y＝f(2x＋2)的平移变换，是点(x，y)到对应点(x＋1，y)，而不是到点(x＋2，y)或其他．
2．明确一个函数的图象本身关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，后者是两个不同的函数的对称关系．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )
(2)若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．( )
(4)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．( )
二、教材改编
2．函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的图象关于( )
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
3．下列图象是函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x<0，,x－1，x≥0))的图象的是( )

三、易错易混
4．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
5．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．
四、走进高考
6．[2020·天津卷]函数y＝eq \f(4x,x2＋1)的图象大致为( )
eq \x(考点一) 作函数的图象[自主练透型]
分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg(x－1)|；
(2)y＝2x＋1－1；
(3)y＝eq \f(2x－1,x－1).
悟·技法
图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋eq \f(1,x)的函数．
(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.
考点二 函数图象的辨识[互动讲练型]
[例1] (1)[2020·浙江卷]函数y＝xcs x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可能是( )
(2)[2021·唐山市高三年级摸底考试]函数f(x)＝eq \f(x2－1,|x|)的图象大致为( )
悟·技法
识图3种常用的方法
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]函数f(x)＝eq \f(sin x,x2＋1)的图象大致为( )
2．[2021·广东省七校联考试题]函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,x2＋|x|－2)的部分图象大致是( )
考点三 函数图象的应用[分层深化型]
考向一：研究函数的性质
[例2] [2021·山西大同模拟]函数f(x)＝|lg(2－x)|在下列区间中为增函数的是( )
A．(－∞，1] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(4,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2))) D．[1,2)
考向二：求参数的值或取值范围
[例3] 在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
考向三：求不等式的解集
[例4] 已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是( )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
悟·技法
函数图象应用的常见题型与求解策略
(1)研究函数性质：
①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
4．[2021·北京八中月考]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－1，x>0，,x2－2x，x≤0，))若f(x)≥ax，则实数a的取值范围是________．
第七节 函数的图象
【知识重温】
①－f(x) ②f(－x) ③－f(－x) ④lgax ⑤|f(x)| ⑥f(|x|) ⑦f(ax) ⑧af(x)
【小题热身】
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.
答案：C
3．解析：其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．
答案：C
4．解析：依题意，得f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f(x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A.
答案：A
5．解析：y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.
答案：y＝f(－x＋1)
6．解析：解法一 令f(x)＝eq \f(4x,x2＋1)，显然f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，排除C，D，由f(1)>0，排除B，故选A.
解法二(特殊点法) 令f(x)＝eq \f(4x,x2＋1)，由f(1)>0，f(－1)<0，故选A.
答案：A
课堂考点突破
考点一
解析：(1)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)．
(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示．
(3)∵y＝2＋eq \f(1,x－1)，故函数的图象可由y＝eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③所示．
考点二
例1 解析：(1)令f(x)＝xcs x＋sin x，所以f(－x)＝(－x)cs(－x)＋sin(－x)＝－xcs x－sin x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D，又f(π)＝－π<0，排除B，故选A.
(2)因为f(x)＝eq \f(x2－1,|x|)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，排除选项B，C.当x>0时，f(x)＝eq \f(x2－1,x)＝x－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增，排除选项A.故选D.
答案：(1)A (2)D
变式练
1．解析：通解 函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq \f(sin－x,－x2＋1)＝eq \f(－sin x,x2＋1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，故排除选项C，D；当00，故排除选项B.所以选A.
优解 由f(0)＝0，排除选项C，D；由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))>0，排除选项B.所以选A.
答案：A
2．解析：因为f(－x)＝eq \f(e－x－ex,x2＋|x|－2)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，当x∈(0,1)时，f(x)＝eq \f(ex－e－x,|x|＋2|x|－1)<0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.故选D.
答案：D
考点三
例2
解析：将y＝lg x的图象关于y轴对称得到y＝lg(－x)的图象，再向右平移两个单位长度，得到y＝lg[－(x－2)]的图象，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，就可以得到f(x)＝|lg(2－x)|的图象如图所示，由图象知，在选项中的区间上，满足f(x)是增函数的显然只有D项．故选D项．
答案：D
例3
解析：函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
例4 解析：在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图．由图象得交点坐标为(0,1)和(1,2)．
又f(x)>0等价于2x>x＋1，
结合图象，可得x<0或x>1.
故f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选D.
答案：D
变式练
3．解析：将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的大致图象，如图，观察图象可知，函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
答案：C
4．解析：作出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－1，x>0，,x2－2x，x≤0))的图象如图所示．∵直线y＝ax恒过(0,0)点，所以若f(x)≥ax，则直线y＝ax与f(x)的图象相切是临界位置．当x≤0时，f(x)＝x2－2x，∴f′(x)＝2x－2，∴f′(0)＝－2，故当x≤0时，a≥－2；当x>0时，f(x)＝ex－1，∴f′(x)＝ex，∴f′(0)＝1，故当x>0时，a≤1.综上，实数a的取值范围为[－2,1]．
答案：[－2,1]