2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:微专题(二十九) 非线性回归直线方程的求解
展开回归分析中,依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的,还是非线性的,分为线性回归分析和非线性回归分析.通常线性回归分析法是最基本的分析方法,遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理.
[例] 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中wi=eq \r(xi),eq \(w,\s\up6(-))=eq \f(1,8)eq \i\su(i=1,8,w)i.
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+deq \r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:
①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线eq \(v,\s\up6(^))=eq \(α,\s\up6(^))+eq \(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq \(β,\s\up6(^))=eq \f(\i\su(i=1,n, )ui-\(u,\s\up6(-))vi-\(v,\s\up6(-)),\i\su(i=1,n, )ui-\(u,\s\up6(-))2),eq \(α,\s\up6(^))=eq \(v,\s\up6(-))-eq \(β,\s\up6(^))eq \(u,\s\up6(-)).
解析:(1)由散点图可以判断,y=c+deq \r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
(2)令w=eq \r(x),先建立y关于w的线性回归方程,由于eq \(d,\s\up6(^))=eq \f(\i\su(i=1,8, )wi-\(w,\s\up6(-))·yi-\(y,\s\up6(-)),\i\su(i=1,8, )wi-\(w,\s\up6(-))2)=eq \f(108.8,1.6)=68,
eq \(c,\s\up6(^))=eq \(y,\s\up6(-))-eq \(d,\s\up6(^))eq \(w,\s\up6(-))=563-68×6.8=100.6,
所以y关于w的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))=100.6+68w,
因此y关于x的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))=100.6+68eq \r(x).
(3)①由(2)知,当x=49时,
年销售量y的预报值eq \(y,\s\up6(^))=100.6+68eq \r(49)=576.6,
年利润z的预报值eq \(z,\s\up6(^))=576.6×0.2-49=66.32.
②根据(2)的结果知,年利润z的预报值
eq \(z,\s\up6(^))=0.2(100.6+68eq \r(x))-x=-x+13.6eq \r(x)+20.12.
所以当eq \r(x)=eq \f(13.6,2)=6.8,即x=46.24时,eq \(z,\s\up6(^))取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.
名师点评 非线性回归方程的求法
(1)根据原始数据(x,y)作出散点图.
(2)根据散点图选择恰当的拟合函数.
(3)作恰当的变换,将其转化成线性函数,求线性回归方程.
(4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性回归方程.
[变式练] 二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位:万元/辆)进行整理,得到如下数据:
下面是z关于x的折线图:
(1)由折线图可以看出,可以用线性回归模型拟合z与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)求y关于x的回归方程并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少?(eq \(b,\s\up6(^))、eq \(a,\s\up6(^))小数点后保留两位有效数字).
参考公式:回归方程eq \(y,\s\up6(^))=eq \(b,\s\up6(^))x+eq \(a,\s\up6(^))中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:eq \(b,\s\up6(^))=eq \f(\i\su(i=1,n, )xi-\(x,\s\up6(-))yi-\(y,\s\up6(-)),\i\su(i=1,n, )xi-\(x,\s\up6(-))2)=eq \f(\i\su(i=1,n,x)iyi-n\(x,\s\up6(-))\(y,\s\up6(-)),\i\su(i=1,n,x)\\al(2,i)-n\(x,\s\up6(-))2);
eq \(a,\s\up6(^))=eq \(y,\s\up6(-))-eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(-)),r=eq \f(\i\su(i=1,n, )xi-\(x,\s\up6(-))yi-\(y,\s\up6(-)),\r(\i\su(i=1,n, )xi-\(x,\s\up6(-))2·\i\su(i=1,n, )yi-\(y,\s\up6(-))2))
参考数据:eq \i\su(i=1,6,x)iyi=187.4,eq \i\su(i=1,6,x)izi=47.64,eq \i\su(i=1,6,x)eq \\al(2,i)=139,eq \r(\i\su(i=1,6, )xi-\(x,\s\up6(-))2)=4.18,eq \r(\i\su(i=1,6, )yi-\(y,\s\up6(-))2)=13.96,eq \r(\i\su(i=1,6, )zi-\(z,\s\up6(-))2)=1.53,ln 1.46≈0.38,ln 0.711 8≈-0.34.
微专题(二十九)
变式练
解析:(1)由题意,计算
eq \(x,\s\up6(-))=eq \f(1,6)×(2+3+4+5+6+7)=4.5,
eq \(z,\s\up6(-))=eq \f(1,6)×(3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2.
且eq \i\su(i=1,6,x)izi=47.64, eq \r(\i\su(i=1,6, )xi-\(x,\s\up6(-))2)=4.18, eq \r(\i\su(i=1,6, )zi-\(z,\s\up6(-))2)=1.53,
∴r=eq \f(\i\su(i=1,n, )xi-\(x,\s\up6(-))zi-\(z,\s\up6(-)),\r(\i\su(i=1,n, )xi-\(x,\s\up6(-))2\i\su(i=1,n, )zi-\(z,\s\up6(-))2))
=eq \f(47.64-6×4.5×2,4.18×1.53)=-eq \f(6.36,6.395 4)≈-0.99.
∴z与x的相关系数大约为-0.99,说明z与x的线性相关程度很高.
(2)利用最小二乘法估计公式计算
eq \(b,\s\up6(^))=eq \f(\i\su(i=1,n,x)izi-n\(x,\s\up6(-)) \(z,\s\up6(-)),\i\su(i=1,n,x)\\al(2,i)-n\(x,\s\up6(-))2)=eq \f(47.64-6×4.5×2,139-6×4.52)=-eq \f(6.36,17.5)≈-0.36.
∴eq \(a,\s\up6(^))=eq \(z,\s\up6(-))-eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(-))=2+0.36×4.5=3.62.
∴z与x的线性回归方程是eq \(z,\s\up6(^))=-0.36x+3.62.
又z=ln y,
∴y关于x的回归方程是eq \(y,\s\up6(^))=e-0.36x+3.62,
令x=9,解得eq \(y,\s\up6(^))=e-0.36×9+3.62≈1.46,
即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约1.46万元.
eq \(x,\s\up6(-))
eq \(y,\s\up6(-))
eq \(w,\s\up6(-))
eq \i\su(i=1,8, )(xi-eq \(x,\s\up6(-)))2
eq \i\su(i=1,8, )(wi-eq \(w,\s\up6(-)))2
eq \i\su(i=1,8, )(xi-eq \(x,\s\up6(-)))·(yi-eq \(y,\s\up6(-)))
eq \i\su(i=1,8, )(wi-eq \(w,\s\up6(-)))·(yi-eq \(y,\s\up6(-)))
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
使用年数
2
3
4
5
6
7
售价y
20
12
8
6.4
4.4
3
z=ln y
3.00
2.48
2.08
1.86
1.48
1.10
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