高中数学北师大版必修32.2分层抽样与系统抽样同步训练题

三　分层抽样与系统抽样

(20分钟·35分)

1.(2020·怀宁高一检测)现要完成下列3项抽样调查:①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查;②高二年级有2 000名学生,为调查学生的学习情况抽取一个容量为20的样本;③从某社区100 户高收入家庭,270户中等收入家庭,80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是

(　　)

A.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样

B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样

C.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样

D.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样

【解析】选D.在①中因为个体数量较少,采用简单随机抽样即可;在②中,因为个体数量多,故采用系统抽样较好;在③中,因为高收入家庭,中等收入家庭和低收入家庭的消费水平差异明显,故采用分层抽样较好.

2.在对101个人进行抽样时,先采用抽签法从中剔除一个人,再在剩余的100人中随机抽取10 人,那么下列说法正确的是              (　　)

A.这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的,因为他们失去了被抽到的机会

B.每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等,因为每个人被剔除的可能性相等,那么,不被剔除的机会也是均等的

C.由于采用了两步进行抽样,所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少

D.每个人被抽到的可能性不相等

【解析】选B.由于第一次剔除时采用抽签法,对每个人来说可能性相等,然后随机抽取10人,对每个人的机会也相等,所以总的来说,每个人被抽到的机会是均等的.

3.(2020·沧州高一检测)为调查学生观看电影《我和我的祖国》的情况,采用分层抽样的方法,从某中学3 000人(其中高一年级1 200人,高二年级1 000人,高三年级800人)中抽取n人.已知从高一抽取了18人,则从高二和高三年级共抽取的人数为              (　　)

A.24   B.27   C.30   D.32

【解析】选B.根据分层抽样的等比例抽样的性质,

设从高二和高三抽取x人,可得=,

解得x=27.

4.有20个同学,编号为1～20,现在从中抽取4人的作文卷进行调查,用系统抽样方法确定所抽的编号为              (　　)

A.5,10,15,20      B.2,6,10,14

C.2,4,6,8       D.5,8,11,14

【解析】选A.将20个同学分成4个组,每组5个号,间距为5.

5.某单位有职工72人,现需用系统抽样法从中抽取一个样本,若样本容量为n,则不需要剔除个体,若样本容量为n+1,则需剔除2个个体,则n=________. 

【解析】由题意知n为72的约数,n+1为70的约数,其中72的约数有1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,其中加1能被70整除的有1,4,6,9,其中n=1不符合题意,故n=4或6或9.

答案:4或6或9

6.某学校有30个班级,每班50名学生,上级要到学校进行体育达标验收.需要抽取10%的学生进行体育项目的测验.请你制定一个简便易行的抽样方案.(写出实施步骤)

【解析】该校共有1 500名学生,需抽取容量为1 500×10%=150的样本.抽样的实施步骤:

可将每个班的学生按学号分成5段,每段10名学生.用简单随机抽样的方法在1～10中抽取一个起始号码l,则每个班的l,10+l,20+l,30+l,40+l.如果l=6,那么6,16,26,36,46号学生入样.将30个班取出的学生放在一起即组成一个容量为150的样本.

【拓展提升】辨析:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样

(1)共同点:都能保证在抽样过程中,每个个体被抽到的概率是相等的,体现了这些抽样方法的客观性和公平性.

(2)联系:简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法,通常用抽签法和随机数法来实现,在进行系统抽样和分层抽样的时候都要用到简单随机抽样的方法.

(3)适用条件:当总体中的个体数较少的时候,常采用简单随机抽样方法;当总体中的个体数较多的时候,常采用系统抽样方法;当已知总体由差异明显的几部分组成的时候,常采用分层抽样方法.

 (30分钟·60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.问题:①有1 000个乒乓球分别装在3个箱子内,其中红色箱子内有500个,蓝色箱子内有200个,黄色箱子内有300个,现从中抽取一个容量为100的样本;

②从20名学生中选出3名参加座谈会.

方法:Ⅰ.简单随机抽样;Ⅱ分层抽样.其中问题与方法能配对的是 (　　)

A.①Ⅰ,②Ⅱ    B.①Ⅱ,②Ⅰ

C.①Ⅱ,②Ⅱ    D.①Ⅰ,②Ⅰ

【解析】选B.对于①,由于箱子颜色差异较为明显,可采用分层抽样方法抽取样本;对于②,由于总体容量、样本容量都较小,宜采用简单随机抽样.

2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n等于

(　　)

A.54　　　　B.90　　　　C.45　　　　D.126

【解析】选B.依题意得×n=18,解得n=90,即样本容量为90.

3.某学校的教师配置及比例如图所示,为了调查各类教师的薪资状况,现采用分层抽样的方法抽取部分教师进行调查,在抽取的样本中,青年教师有30人,则该样本中的老年教师人数为              (　　)

A.10   B.12   C.18   D.20

【解析】选B.设样本中的老年教师人数为x人,由分层抽样的特点得:=,所以x=12.

4.(2020·桂林高一检测)高二(1)班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、18号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是              (　　)

A.11   B.21   C.31   D.41

【解析】选C.高二(1)班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,

抽取一个容量为4的样本,则抽样间隔f==13,

因为5号、18号、44号学生在样本中,

所以样本中还有一个学生的编号是18+(18-5)=31.

5.经问卷调查,某班学生对摄影分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中持“一般”态度的比“不喜欢”的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学,1位“不喜欢”摄影的同学和3位持“一般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班学生人数的一半还多(　　)

A.2人   B.3人   C.4人   D.5人

【解析】选B.因为分层抽样是按比例抽取,依题意可设对摄影“不喜欢”的有x人,则对摄影“喜欢”的有5x人,持“一般”态度的有3x人,由此可得3x-x=12,x=6.所以全班共有5×6+6+3×6=54(人),故“喜欢”摄影的比全班学生人数的一半还多30-27=3(人).

二、填空题(每题5分,共15分)

6.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆,6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为______、______、________. 

【解析】设三种型号的轿车依次抽取x辆,y辆,z辆,则有解得

答案: 6　30　10

7.(2020·百色高一检测)某同学为了调查支付宝中的75名好友的蚂蚁森林种树情况,对75名好友进行编号,分别为1,2,…,75,采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本,已知11号,26号,56号,71号好友在样本中,则样本中还有一名好友的编号是________. 

【解析】依题意可知,系统抽样的组距为=15,故抽取的编号为26+15=41.

答案:41

8.一个总体中的100个个体的编号分别为0,1,2,3,…,99,依次将其分成10个小段,段号分别为0,1,2,…,9.现要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第0段随机抽取的号码为m,那么依次错位地取出后面各段的号码,即第k段中所抽取的号码的个位数为m+k或m+k-10(1+k≤10),则当m=6时,所抽取的10个号码依次是________. 

【解析】在第0段随机抽取的号码为6,则根据题意得在第1段抽取的号码应是17,第2段抽取的号码应是28,往后类推即可,故各段所抽取的10个号码依次是6,17,28,39,40,51,62,73,84,95.

答案:6,17,28,39,40,51,62,73,84,95

【延伸探究】若把题干中的依次错位地取号码的方法修改为“按分组的间隔抽取其他样本”,则结论如何?

【解析】抽样距为10,第0段随机抽取的号码为6,则其他各段抽取的号码分别是16,26,36,46,56,66,76,86,96,即所抽取的10个号码依次是6,16,26,36,

46,56,66,76,86,96.

【误区警示】在进行系统抽样时,既可以按等距抽样,也可以规定其他方式的抽样.

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.某高级中学共有学生3 000名,各年级男、女人数如表:

已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率是0.17.

(1)问高二年级有多少名女生?

(2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生,问应在高三年级抽取多少名学生?

【解析】(1)由题意得=0.17,解得x=510.

所以高二年级有510名女生.

(2)高三年级人数为y+z=3 000-(523+487+490+510)=990.

现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生,应在高三年级抽取的人数为×990=99(名).

所以在高三年级抽取99名学生.

10.下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样,阅读并回答问题:

本村人口:1 200人,户数300,每户平均人口数4人;应抽户数:30户;

抽样间隔:=40;

确定随机数字:取一张人民币,编码的后两位数为12;确定第一样本户:编码的后两位数为12的户为第一样本户;确定第二样本户:12+40=52,52号为第二样本户;…

(1)该村委采用了何种抽样方法?

(2)抽样过程中存在哪些问题,并修改.

(3)何处是用简单随机抽样.

【解析】(1)系统抽样.

(2)本题是对某村各户进行抽样,而不是对某村人口抽样,抽样间隔为=10,其他步骤相应改为确定随机数字:取一张人民币,编码的后两位数为02(或其他00～09中的一个),确定第一样本户:编号为02的户为第一样本户;确定第二样本户:02+10=12,编号为12的户为第二样本户;…

(3)确定随机数字用的是简单随机抽样,取一张人民币,编码的后两位数为02.

1.某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取40名职工作样本.若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取______人. 

【解析】分层抽样时,由于40岁以下年龄段占总数的50%,故容量为40的样本中在40岁以下年龄段中应抽取40×50%=20(人).

答案:20

2.某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中的一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的,且该组中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.

(1)在游泳组中,试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例.

(2)在游泳组中,试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.

【解析】(1)设登山组人数为x,则总人数为4x,在游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为a,b,c,则有=47.5%,=10%;解得b=50%,c=10%.

故a=100%-50%-10%=40%,即在游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.

(2)因为抽取的是一个容量为200的样本,又登山组的职工占活动总人数的,所以200×=50.故游泳组中应抽取200-50=150(人).

故游泳组中青年人应抽取150×40%=60(人);

中年人应抽取150×50%=75(人);

老年人应抽取150×10%=15(人).

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