人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第1课时当堂达标检测题

二十四　双曲线的简单几何性质

(15分钟　30分)

1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)

A．2    B．2    C．4    D．4

【解析】选C.将双曲线化成标准形式为－＝1，得2a＝4.

2．(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝(　　)

A．1    B．2    C．4    D．8

【解析】选A.设PF1＝m，PF2＝n，m＞n，S△PF1F2＝

mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，e＝＝，所以a＝1.

3．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且C经过点A(2，)，则双曲线C的方程为(　　)

A．x2－y2＝1     B．－＝1

C．－＝1     D．－＝1

【解析】选A.由双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线为等轴双曲线，即a＝b，

双曲线C：x2－y2＝a2，

将A(2，)代入双曲线方程，解得a＝1，

所以双曲线的标准方程为x2－y2＝1.

4．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.不妨设|PF1|＞|PF2|，

则|PF1|－|PF2|＝2a.

又|PF1|＋|PF2|＝6a，

解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，

则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，为30°，

所以|PF2|2＝|PF1|2＋|F2F1|2－2|PF1||F2F1|cos 30°，

所以(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a×2c×，

化为e2－2e＋3＝0，解得e＝.

5．(2020·荆州高二检测)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2－|PF2|2＝4，求△PF1F2的周长．

【解析】由题意得＝2，得a＝，c＝＝，P为双曲线右支上一点，所以－＝2a＝，因为2－2＝(－)(＋)＝4，所以＋＝2，所以△PF1F2的周长为＋＋＝2＋＝.

所以△PF1F2的周长为.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x    B．y＝±x

C．y＝±x    D．y＝±x

【解析】选C.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，故有＝，所以＝，解得＝.

故双曲线C的渐近线方程为y＝±x.

2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＝0的夹角为60°，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为(　　)

A．－y2＝1    B．－＝1

C．－＝1    D．x2－＝1

【解析】选A.双曲线的渐近线为y＝±x，

因为渐近线与直线x＝0的夹角为60°，

所以＝tan 30°＝，①

因为以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的周长为8，所以4＝8，②

由①②，解得a2＝3，b2＝1.

所以双曲线C的标准方程为－y2＝1.

3．(2020·保定高二检测)已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，点N在C的渐近线上(异于原点)，若M点满足＝，且·＝0，则|MN|＝(　　)

A．2a    B．a    C．4a    D．2a

【解析】选C.不妨设双曲线C：－＝1的一条渐近线为y＝2x，其斜率为2，所以b＝2a，F(a，0).

因为M点满足＝，且·＝0，

所以F是OM的中点，且ON⊥MN，

作FH⊥ON于H，如图所示：

则点F到渐近线的距离为|FH|＝＝2a，

所以|MN|＝4a.

4．(2020·大庆高二检测)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上一点，且PF1·＝0(O为坐标原点)，cos ∠PF2F1＝，则双曲线C的离心率为(　　)

A．2    B．    C．    D．

【解析】选D.如图，取PF1的中点为M，

则＝.

由PF1·＝0，得

PF1·＝0，即PF1⊥.

因为OM为△PF1F2的中位线，所以PF1⊥PF2．

由cos ∠PF2F1＝，

设＝12，则＝13，＝5，

所以2a＝－＝7，2c＝＝13，

得双曲线C的离心率为＝.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．(2020·济南高二检测)已知动点P在双曲线C：x2－＝1上，双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，下列结论正确的是(　　)

A．C的离心率为2

B．C的渐近线方程为y＝±x

C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值

D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为

【解析】选AC.对于双曲线C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2，

所以双曲线C的离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x，A选项正确，B选项错误；设点P的坐标为，则x－＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－y＝0和x＋y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积为·＝＝，C选项正确；当动点P在双曲线C的左支上时，≥c－a＝1，＝2a＋＝＋2，

＝＝＝≤＝，当且仅当＝2时，等号成立，

所以，的最大值为，D选项错误．

6．(2020·济宁高二检测)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且MF2·＝2，则以下结论正确的是(　　)

A．∠F1MF2＝120°

B．双曲线C的离心率为

C．双曲线C的渐近线方程为y＝±x

D．直线l的斜率为1

【解析】选BC.如图，作F2D⊥MN于点D，

则MF2·＝·cos ∠F2MN＝＝2＝2，

所以＝，

所以D是MN的中点，从而＝.

根据双曲线定义，得－＝2a，－＝2a，所以－＝＝4a，

又以MN为直径的圆过F2，所以MF2⊥NF2，∠MNF2＝∠NMF2＝45°，于是∠F1MF2＝135°，A错；又＝＝2a，＝(2＋2)a，

由余弦定理2＝2＋2－

2cos 45°得

4c2＝(2a)2＋(2＋2)2a2－2×2a×(2＋2)a×，化简得＝3，所以e＝＝，B正确；由＝＝3得＝2，即＝，所以渐近线方程为y＝±x，C正确；

由图易知∠NF1F2<∠NMF2＝45°，

所以kMN＝tan ∠NF1F2<1，D错．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为__________.

【解析】因为e＝＝，

不妨设a＝4，c＝1，

则b＝，

所以对应双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.

答案：y＝±x

8．(2020·六安高二检测)已知双曲线C：－＝1的右焦点到渐近线的距离为3.现有如下条件：

①双曲线C的离心率为；②双曲线C与椭圆C′：＋＝1共焦点；③双曲线右支上的一点P到F1，F2的距离之差是虚轴长的倍．

请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线C的方程为________.

【解析】依题意，双曲线C：－＝1，

渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，

右焦点到渐近线的距离为3，故＝3，即b＝3；

若选①，双曲线C的离心率为，故＝；

又b＝3，且a2＋b2＝c2，所以a＝4，c＝5，

故双曲线C的方程为－＝1；

若选②，椭圆C′：＋＝1的焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，

故c＝5；又a2＋b2＝c2，故a＝4，

故双曲线C的方程为－＝1；

若选③，依题意，设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，

故－＝·2b，故a＝4，

故双曲线C的方程为－＝1.

答案：－＝1

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍．

(1)求双曲线的渐近线方程；

(2)当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48，求此双曲线的方程．

【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，

则点F2到渐近线距离为＝b(其中c是双曲线的半焦距)，

所以由题意知c＋a＝2b.又因为a2＋b2＝c2，

解得b＝a，

故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y＝0.

(2)因为∠F1PF2＝60°，

由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°

＝|F1F2|2，

即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4c2　①.

又由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，

平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2　②，

①②相减得|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2.

根据三角形的面积公式得S＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝·4b2＝b2＝48，

得b2＝48.再由(1)得a2＝b2＝27，

故所求双曲线方程是－＝1.

10．(2020·绵阳高二检测)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的上焦点为F.

(1)若双曲线C是等轴双曲线，且c＝2，求双曲线的标准方程；

(2)若经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线C的上支交于点A，O为坐标原点，△OAF是以线段AF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率及渐近线方程．

【解析】(1)由双曲线为等轴双曲线，则a＝b，

又c＝2，则a2＋b2＝c2＝4，所以a2＝b2＝2，

故双曲线的标准方程为－＝1；

(2)由题意得＝c，

又OA的倾斜角为30°，A

则2a＝

＝(－1)c，a＝c，所以e＝＝＋1

又e2＝1＋，则＝3＋2，

则渐近线方程为y＝±x.

1．(2020·上饶高二检测)已知F1，F2是双曲线C：－＝1的左右焦点，过F1的直线与圆x2＋y2＝a2相切，切点为T，且交双曲线右支于点P，若2F1T＝，则双曲线C的离心率为(　　)

A．2    B．    C．    D．

【解析】选C.

如图，连接OT，PF2，由F1P与圆x2＋y2＝a2相切于点T可得∠F1TO＝.

因为＝c，＝a，故＝b，

所以cos ∠PF1F2＝.

又＝2＝2b，故＝3b，所以＝3b－2a.

在△PF1F2中，由余弦定理得2＝4c2＋9b2－2×2c×3b×，

整理得2b＝3a，

所以4＝9a2，即＝，

所以e＝.

2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．

【解析】因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，

所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|，

所以＝＝＋4a＋|PF2|≥8a，当且仅当＝|PF2|，

即|PF2|＝2a时取等号，

所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a，

因为|PF1|－|PF2|＝2a<2c，|PF1|＋|PF2|＝6a＞2c⇒e＝＜3，

所以e∈(1，3).