数学七年级上册6.4 线段的和差教案

6.4线段的和差教学设计

教材分析

本节课是浙教版七年级上册第六章第4节的内容，主要学习线段和差的概念及如何用几何语言表达线段和、差、倍、分的简单计算过程.它是继《线段的长短比较》，《线段、射线和直线》基础上的学习内容，线段和差的学习不仅可以使学生对几何语言的书写有一个初步的认识，还可以为后续《角的和差》等其他几何内容的学习作好必要的知识和方法准备.因此，本节课在《几何图形》这章中具有承上启下的地位.

学情分析

本节课的授课对象是我校七年级5班的学生，他们在小学阶段已经接触过线段长度加减，线段比例，简单几何图形的面积，周长等知识点.同时已经学习过直尺和圆规的使用方法，这为本节课中的线段和差作图带来了便利.学生在本节课学习过程中可能存在困难的地方是由于初次接触几何语言，在书写上很难达到规范到位，因此线段和差的几何语言仍是今后乃至整个初中阶段的学习重点.

教学目标

1.理解线段和差的意义，在学生概念得出过程中，有意识渗透类比的数学思想方法，并且学会用尺规作图表示两条线段的和与差；

2.理解线段中点的概念，会用刻度尺二等分一条线段；通过问题的思路分析和几何语言书写过程讲解，感受用代数的方法求解几何问题，初步体会数形结合思想；

3.理解线段和差的几何语言，会进行有关线段的和、差、倍、分的简单计算，通过线段和差的几何语言书写方式探索，初步培养学生几何语言的规范书写能力，获取解决几何问题的方法和经验.

4.在教学过程中，有目的地渗透分类讨论思想，体会方程思想在几何题中的应用，激发学生对几何学习的兴趣，使学生了解数学知识的功能与价值，提升学生核心素养.

教学重难点

教学重点：本节教学的重点是线段和差的概念，这是相关作图和计算的依据.

教学难点：例题中涉及较多的线段和较复杂的数量关系，是本节教学的难点.

教学方法

教法：采用问题驱动与启发式教学方法，辅以多媒体教学的生动性和灵活性，突出重点难点，在教师引导下，通过开放性问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学概念形成过程中所蕴含的数学方法.

学法：注重启发学生进行观察、分析，并围绕教师所讲问题展开思考、讨论，小组合作，真正动口、动手、动脑，并积极参与到数学课堂活动中.

教学过程

一、动静结合 数形互化 引入概念

如图1，几何画板展示两条线段AB和BC，让学生观察这两条线段有什么共同点？（都有一个共同的端点B）

通过测量知线段AB的长度为12cm，线段BC的长度为9cm，让线段BC绕着点B顺时针方向旋转，观察此时点A和点C之间的距离发生了什么变化？如图2，通过几何画板上演示线段AC长度的变化过程.

学生通过观察发现线段AC长度先增大后减小，教师紧接着追问，在整个变化过程中，点C处于什么位置的时候，线段AC有最大值？是否有最小值呢？

学生不难发现当点A、B、C三点共线的时候有最大值和最小值，教师在黑板上画出示意图，如图3，让学生分别计算两种情况下线段AC的长度，初步感受线段和差的几何语言.

    教师以此为切入口，引入线段和的概念，若线段AC的长度是线段AB和线段BC长度的和，则线段AC称为线段AB和线段BC的和，通过类比线段和的概念，学生可自行归纳出线段差的概念.

【设计意图】用动态变化中某一时刻的特殊位置，引出线段和差的概念，并用等式量化两条线段和差，这样就使线段和差与线段大小的定义处于同一体系，并与“数的大小比较”，“数的和差”等概念在意义上保持高度的一致性.同时一图两用，使线段和差概念更为直观，体现了图形语言、文字语言和几何语言高度统一，为下一环节做了很好的铺垫.教师给出线段和的概念后让学生用类比的方式得出线段差的概念，符合学生的认知规律，同时培养学生用类比的思想方法解决问题的能力.

如图4，隐去线段的长度，点C为线段AB上的一个点，图中一共有几点线段？这些线段之间是否存在和差关系？

学生通过观察分析不难得出：AC+CB=AB；AB-AC=BC； AB-CB=AC；

教师进一步追问，如果AC=4,BC=6,AB=？反过来，如果AB=14,AC=5则BC=?（学生一齐口答）.

【设计意图】线段和差概念教学，应重视几何语言表达习惯的培养，点C的位置由AB上的特定点变为AB上的任意点，从特殊到一般，进一步提升学生对问题本质的认识.就地取材，列举线段和差的简单计算问题，让学生数和形两方面充分认识线段的和差，使概念的形象更为直观、丰满.

二、实践操作 示范引领 规范作图

    问题1：如图5，已知线段a、b，用直尺和圆规作图，画线段AB．

   （1）a+b；

   （2）b-a；

师生活动：请一名学生上台板演，其余学生结合自己的画图过程，对该同学的作图方法给出适当评价：有哪些步骤值得大家学习？还有哪些方面需要进一步优化？如图6，教师在总结的时候要准确描述每步过程，同时在PPT上动态演示画图过程，对学生的画图过程进行示范引领.

【设计意图】初学几何，量一量，画一画等实践操作过程不可少，用尺规作两条线段的和差是以作一条线段等于已知线段为基础的，在上一节课的知识基础上，学生通过回顾范例，易知作和差该从何入手，在课堂伊始的引入环节中两条线段的运动过程可以辅助学生形成作图思路.经历这个环节的作图，对学生进行进一步追问：“你能作一条线段，使得它的长度等于2a吗？”这样线段中点概念的引出显得顺理成章.

三、就地取材 聚焦中点 应用性质

    问题2：已知一条线段的长度为a，用直尺和圆规作出AB＝2a.

由学生一齐说过程，教师在黑板上画，得图7，并由此引出线段中点的概念：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点．

再问学生：你能想到哪些关于这些线段的等式？

师生活动：学生观察，猜想，归纳，验证，请学生代表用自己的语言表述线段之间的数量关系，其他学生补充.

学生说，教师写，最终总结几何语言如下：AC＝BC＝AB，AB＝2AC＝2BC.

【设计意图】从本课到本章，观察、实验、画图包括后面的计算和思考，都是重要的学习方式，在教学中要给足学生时间，对于“AC＝BC＝AB，AB＝2AC＝2BC”这些几何语言的教学不能含糊，它们实际上起着把和、差、中点这些局限性的概念通过数量化的方法，延伸成更一般的和、差、倍、分等几何概念体系的作用.课堂中有些学生也会得出AC+CB=AB；AB-AC=BC； AB-CB=AC，可以通过问题3加以区别与巩固.

问题3：如图8，C为线段AB上的一点，下列说法不能判断点C是线段AB中点的是（    ）

A．AC＝CB      B．AB＝2AC      C．AC＋CB＝AB      D．CB＝AB

思考拓展：如果去掉题目中的“C为线段AB上一点”这个条件，此时若AC=BC，还能判断点C是线段AB的中点吗？（让学生说明理由，可通过反例呈现，不难发现三点共线这个前提条件的重要性）

【设计意图】巩固中点的几何语言，理清概念的内涵与外延.通过此问题的设计让学生明晰中点专属的几何语言，取材于学生的画图素材，再应用于学生，整个过程自然流畅，保持了学生参与的积极性与课堂的活跃度.

    问题4：如图9，已知点C为线段AB的中点，点D是线段AC的中点，完成下列填空：（1）AB＝      BC， AC＝      AD，

       （2）BD＝      AD，

      （3）如果AB＝4，那么BD＝      .

【设计意图】让学生根据中点的定义进一步进行线段和、差、倍、分的计算，对于第二个问题特别要注重几何题的书写格式，让学生在求解过程中体会用代数方法解决几何问题的简便性，初步体会数形结合思想.为解决后面的问题5做了知识和方法铺垫.

四、规范格式 渗透思想 提升思维

问题5：夯实基础 落实双基

如图10，点P是线段AB的中点，点C，D把线段AB三等分.线段CP的长为1.5cm，求线段AB的长.

    学生通过思考、分析，将过程规范书写在学习单上，教师根据每个小组解答情况有针对性地选取部分学生的解题过程投影在屏幕上，请学生对照投影讲解自己的解题过程，分享解题思路和方法.其他学生针对过程给出评价.

学生易错点分析：

（一）书写过程不规范，逻辑紊乱，在很大程度上存在着格式缺陷；

（二）证明过程不严谨，通过直观想象直接得出CP=PD；

（三）部分学生因为受小学习惯影响直接猜想并给出答案，或用算式一步到位，过程缺失严重.

学生亮点分析：

    部分学生在求解此题时用不同的线段和差表示方法得到线段AB的长，基于第五章一元一次方程学习，有些学生巧设未知数，找图中线段的等量关系，通过方程思想求解，这些解法出现在学生的作品展示过程中应予以充分肯定，让不同学生更加积极地分享自己解题思路，一题多解，擦出思维的火花.

【设计意图】例题讲解应注重思路分析和格式规范，课堂中教师应多鼓励学生从题目已知条件出发，抽丝剥茧，把自己思维过程层层暴露出来，并且特别要注重板书规范性，以便学生模仿.对于学生展示的错误，教师报以宽容和赏识态度，通过小组合作、生生互动，让学生对自身几何语言书写过程进行适当细化和删改，及时纠正不规范的过程表述，为后续几何知识学习，奠定坚实基础的同时，指明了正确方向.通过学生作品展示，体会解法的多样性，注重方程思想在几何求解过程中的广泛应用.

问题6：方法引领，能力提升

若A、B、C三点在同一直线上，已知AB＝12，AC＝3BC，点P为线段AB的中点，求线段CP的长.

    学生通过独立思考，观察比较得出此题与问题5的不同点：没有图形.所以第一步应先根据已知条件，尝试画出图形，利用上一例题格式书写经验，独自在任务单上完成.通过小组合作交流，在一次次思维碰撞中，进一步总结几何语言书写规范，初步体会分类讨论的思想方法.

【设计意图】这道拓展练习题，一方面继续让学生参照问题5解答过程，规范格式书写，以及几何问题的分析思路，同时在例题基础上隐去图形，让学生体会通过已知条件画出图形的分析过程，对学生的思维提出了更高要求.同时在小组交流中，感受数学学习中的重要思想方法：分类讨论和方程思想.教师对于此练习的过程批改与分析，应力求细致、及时.在不同学生展示作品的过程中，引导学生观察、对比、分析自己的解答过程，找出自己需要改进的地方，用红笔标注，反思解答过程.

五、小组合作 改编例题 分组展示

利用上一题（问题6）的条件和结论，要求学生在此基础上，将条件“AC＝3BC”进行替换，通过半开放式的问题，让学生自己替换一个条件和中点，同时结论也自由选择.

问题改编：若点A、B、C三点在同一直线上，已知线段AB＝12，          ，点     是线段          的中点，求线段        的长.

 要求：

（一）各自编题，小组讨论；

（二）解答过程，选取展示；

（三）解题思路，汇报分享.

【设计意图】因为有之前问题6这道练习题的基础，学生可以适当替换条件，感受数学学习中的一题多变，并且通过不同问题的分析交流，领会解题的本质及数学思想方法在每个问题中的渗透，养成规范书写习惯.

有了前面的知识方法铺垫，教师可以适当放开课堂，让每组学生思考片刻后合作交流，并选取有价值的问题上台展示.七年级学生的思维很活跃，交上来的作品内容丰富，异彩纷呈.

附学生作品如下：

【作品1】若点A、B、C三点在同一直线上，已知线段AB＝12，AC＝2BC，点P是线段AC的中点，求线段CP的长.

学生解法，根据题意作出图形：

如图11，当点C在线段AB上时，  如图12，当点C在AB的延长线上时，

令BC＝x，则AC＝2x，             ∵AC＝2BC，

∵AB＝AC＋CB,                   ∴点B为AC中点，

∴2x＋x＝12，                     故此时P与B重合，CP＝AB＝12.

     3x＝12，

      x＝4，

∴AC＝8，

∴P为AC中点，

∴CP＝AC＝×8＝4.

【作品2】若点A、B、C三点在同一直线上，已知线段AB＝12，点C将AB分成5：3的两部分，点P是线段AB的中点，求线段CP的长.

学生解法，根据题意作出图形：

如图13，当AC：CB＝5：3时，      如图14，当AC：CB＝3：5时，

设AC为5x，则CB为3x，           同理可得AC＝，BC＝，

∵AC＋BC＝AB，                    AP＝6，

∴5x＋3x＝12，                    ∵CP＝AP－AC，

  得： x＝，                    ∴CP＝6－，

∴AC＝，BC＝，              即CP＝.

∴P为AB中点，

∴BP＝AB＝6，

∴CP＝BP－BC＝6－＝.

【简要评析】这两道题属于编题的第一层次，直接改变中点的线段AC，替换已知条件和原题相似，从“AC＝3BC”变成“AC＝2BC”，或者变成“AC:BC＝5:3”再次体会分类讨论和方程的思想.

【作品3】若点A、B、C三点在同一直线上，已知线段AB＝12，AC比BC大6，点P是线段AB的中点，求线段CP的长.

学生解法，根据题意作出图形：

如图15，设CP＝x，

∵P是AB的中点且AB＝12，

∴AP＝PB＝6，

∴BC＝PB－PC＝6－x，

  AC＝AP＋PC＝6＋x，

∵AC－BC＝6，

∴(6＋x)－(6－x)＝6，

2x＝6，

   x＝3，

∴OP＝3.

【简要评析】以上编题过程属于编题的第二层次，如图15，替换已知条件，将“AC＝3BC”改编成“线段AC的长度比BC大6”其余条件和求的结果不变.

此题改编，求解方法和例题相似，只不过改变两条线段之间和差倍分关系，同样可以用方程求解，学生深刻体会了数学一题多变，万变不离其宗，提升学习数学的兴趣.

【作品4】若点A、B、C三点在同一直线上，已知线段AB＝12，点C是线段AB上的一点，点M、N分别是线段BC、AC的中点，求线段MN的长.

根据题意作出图形，如图16，

学生解题过程：∵MN＝MC＋CN，

              ∴MN＝AC＋BC，

∴MN＝AB，

∴MN＝6.

【简要评析】以上改编是属于改编的第三层次，弱化条件，将点C从特定的点变成AB上任意一点，探讨两条线段AC和BC中点之间的距离MN是否发生变化？同时教师对学生的改编可以进一步追问，如果点C不是线段AB上的点，在其延长线上，则此时结论还成立吗？对这题可以进一步深入探究，激发学生的求知欲.同时注重几何语言的规范性表达.

六、归纳小结 分享收获 着眼长远

    静静地想一想……这节课你有什么收获？还有什么疑惑？通过本节的学习，对于后续学习有何帮助，请你说一说……

【设计意图】引导学生回顾本节课的知识线段和差的定义与线段和差计算的规律，建立起知识间的联系.同时体会本节课重点和难点，初步感受几种重要的数学思想方法：类比、数形结合、分类讨论、方程思想在几何问题中的渗透.

附板书设计如下：

七、分层作业 难点突破 素养提升

必做题

1. 配套作业本；
2. 书本作业题A组、B组.

选做题

1．如图，点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，如果MC比NC长2cm，AC比BC长（　　）

A．2cm          B．4cm          C．1cm           D．6cm

2．如图，C，D是线段AB上两点，已知AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，M，N分别是AC，DB的中点，且AB＝18 cm，则线段MN的长为           ．

3．已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动(A在B左侧，C在D左侧)，若|m－2n|＝－(6－n)2.

(1)求线段AB，CD的长；

(2)若M，N分别为线段AC，BD的中点，BC＝4，求线段MN的长．

(3)当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，P是线段AB的延长线上任意一点，有下面两个结论：①是定值；②是定值．

请选择正确的一个并加以证明．

【设计意图】分层作业，使“不同的学生在数学上得到不同的发展”.必做题是帮助学生巩固基础知识和基本技能；选做题是为学有余力的学生设置的，题目的设计从易到难，层层递进，初步让学生感受动点问题在几何中应用，学会用分类讨论的数学思想方法去求解实际应用题，这样部分学有余力的学生能够“吃饱”初步学会用动态的眼光看待数学问题，提升学生的核心素养．