湘教版八年级下册2.5 矩形综合与测试练习

2.5矩形同步练习湘教版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知，，则AC的长为

A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

2. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使，连接AE，若，则的度数是

A.  B.  C.  D.

3. 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点下列结论不一定成立的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在矩形ABCD中，，折叠矩形ABCD，使点C与点A重合，点D对应点为E，折痕与AD、BC相交于点N，M，若的面积与的面积比为1：3，则的值是

A.
B.
C.
D.

5. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，则的值为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是

A. 折叠后 和 一定相等
B.  是等腰三角形，
C. 折叠后得到的整个图形是轴对称图形
D.  和 一定是全等三角形
 

7. 如图，在矩形ABCD中，，，过对角线交点O作交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是

A. 1
B.
C. 2
D.

8. 如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点若，，则AO的长为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点C，AE垂直平分BO，若，则

A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm

10. 如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，，则的大小为

A.
B.
C.
D.

11. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作，分别交AB，CD于E、F，连接PB、若，则图中阴影部分的面积为

A. 10
B. 12
C. 16
D. 18

12. 如图，在矩形ABCD中，M是BC上的动点，E，F分别是AM，MC的中点，则EF的长随着M点的运动
     

A. 变短 B. 变长 C. 不变 D. 先变短再变长

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在中，，，，M为BC上的一动点，于E，于F，N为EF的中点，则MN的最小值为______．
     

14. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，若矩形ABCD的面积是12，那么阴影部分的面积是______．

15. 已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且若，，则DE的长是______．
16. 如图，在矩形ABCD中，，，点E为射线DC上一个动点，把沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为__________．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
    求证：四边形ANCM为平行四边形；
    若，，且，求DM的长．

18. 如图，四边形ABCD为矩形，旋转后能与重合．
    旋转中心是哪一点？
    旋转了多少度？
    连结FC，若，则的面积是多少？
     

19. 如图，矩形ABCD中，，，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
    求证：四边形DEBF是平行四边形；
    当时，求EF的长．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使，连接CG．
    求证：≌；
    当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

21. 如图，在中，，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
    求证：≌；
    求证：四边形ADCF为矩形．
     

22. 已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，点M、N分别为AD、BC的中点．
    求证：四边形BMDN是矩形．
     

23. 如图是某居民小区的一块长为2a米，宽为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形的四个顶点处修建一个半径为a米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若，，求AB的长．
     

25. 在中，，，，点D是射线CB上一动点，以每秒2个单位长度的速度从C出发向B运动，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE、DE的交点分别为F，设点D运动的时间为．
    ______用含t的代数式表示．
    当四边形ACDE是正方形时，求GF的长．
    当t为何值时，为等腰三角形？
     

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：B．
只要证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，属于中考常考题型．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：连接AC，

四边形ABCD是矩形，
，，且，
，
又，
，
，
，
，即．
故选：A．
连接AC，由矩形性质可得、，知，而，可得度数．
本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，AC和BD相等且互相平分，
，，
则A、B、D都正确，C错误，
故选：C．
根据矩形的对角线线性质和对边平行且相等进行分析即可．
此题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等，矩形是特殊的平行四边形．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：连接AC，作于G，
则，，
的面积与的面积比为1：3，
：：3，
设，则，
，，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
故选：B．
连接AC，作于G，根据三角形的面积公式得到DN：：3，设，根据勾股定理用a表示出MN，计算即可．
本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质、勾股定理，掌握翻转变换的性质、灵活运用勾股定理是解题的关键．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：，，
矩形ABCD的面积为48，
，
对角线AC，BD交于点O，
的面积为矩形ABCD面积的，
的面积，
，，
，即，
，
，
，
故选：C．
依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根据，即可得到的值．
本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积、勾股定理，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：四边形ABCD为矩形，
，，，
在 和 中
，
≌故D选项正确，不合题意
，是等腰三角形故B选项正确，不合题意，
故A选项不正确，符合题意
过E作BD边的中垂线，即是图形的对称轴．故C选项正确，不合题意
故选：A．
对翻折变换及矩形四个角都是直角和对边相等的性质的理解及运用．
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
连接CE，由矩形的性质得出，，，，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】
解：连接CE，如图所示，

四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即；
故选B．  

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形直观，求出线段的长是得出答案的前提．由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出，由勾股定理求出AB，AC，进而求出OA即可．
【解答】
解：矩形ABCD，
，，，
，
由折叠可得，
，
，
由折叠得，，，
，
在中，，
在中，，
，
故选：C．  

9.【答案】C
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，
，
垂直平分OB，
，
，
，
，
；
故选：C．
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，由勾股定理求出OD即可．
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
，
，
．
故选：C．
根据矩形的对角线互相平分且相等可得，再根据等边对等角可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明，想办法证明即可解答．
【解答】
解：作于M，其反向延长线交BC于N．

四边形ABCD是矩形，，
则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
，，，，，
，
，
故选C．  

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
易得EF为三角形AMC的中位线，那么EF长恒等于定值AC的一半．
此题考查的是矩形的性质及三角形中位线的性质，了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是本题解题的关键．
【解答】
解：，F分别是AM，MC的中点，

，
无论M运动到哪个位置EF的长不变，
故选C．  

13.【答案】
 

【解析】解：过点A作于点，
在中，，，，
，
．
于E，于F，
四边形AEMF是矩形，
，，
当MN最小时，AM最短，此时点M与重合，
．
故答案为：．
过点A作于点，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出的长．根据题意得出四边形AEMF是矩形，故可得出，，当MN最小时，AM最短，此时M与重合，据此可得出结论．
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AM的最小值是关键．
 

14.【答案】3
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，
，
在和中，，
≌，
，
，
故答案为：3．
由≌，可得，可得．
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件解决问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：如图，

四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
当点E在CD上时，
，
，
；
当点E在AB上时，
，
，
，
，
综上所述：或，
故答案为：或．
由勾股定理可求，分点E在CD上或在AB上两种情况讨论，由勾股定理可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 

16.【答案】或10
 

【解析】

【分析】
本题以折叠问题为背景，主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识的综合应用；解决问题的关键利用直角三角形，运用勾股定理列方程求解．
分两种情况讨论：点F在矩形内部；点F在矩形外部，分别根据折叠的性质以及勾股定理，列方程进行计算求解，即可得到DE的长．
【解答】
解：分两种情况：

如图1，当点F在矩形内部时，
点F在AB的垂直平分线MN上，
；
，
由勾股定理得，
，
设DE为y，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
即DE的长为．
如图2，当点F在矩形外部时，

同的方法可得，
，
设DE为z，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
即DE的长为10．
综上所述，点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为或10．
故答案为：或10．  

17.【答案】解：证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形ANCM为平行四边形；
在矩形ABCD中，，
由知：，
，
四边形ANCM为平行四边形，，
平行四边形ANCM为菱形，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得．
 

【解析】在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，可得，，可以证明≌可得，进而证明四边形ANCM为平行四边形；
根据，可得四边形ANCM为菱形；根据，，，即可在中，根据勾股定理，求DM的长．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

18.【答案】解：旋转中心为点A；
四边形ABCD为长方形，
，
旋转后能与重合
旋转角等于，即旋转角的度数为；
顺时针旋转后能与重合，
，，
为等腰直角三角形，
，
的面积．
 

【解析】利用旋转的定义求解；
利用旋转的性质得旋转角等于，即旋转角的度数为；
由旋转的性质得，，则可判断为等腰直角三角形，所以，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

19.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，
，
，
又因为，，
≌，
，
又因为，
四边形BEDF是平行四边形；
解：，四边形BEDF是平行四边形
四边形BEDF是菱形，
，，，
设，则
在中，根据勾股定理，有
，
解之得：，
，
在中，根据勾股定理，有
，
 ，
在中，根据勾股定理，有，
，
．
 

【解析】根据矩形的性质得到，由平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形BEDF是平行四边形；
推出四边形BEDF是菱形，得到，，，设，则根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，，，
，
点E，F分别为OB，OD的中点，
，，
，
在和中，

≌；
解：当时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
，，
，
是OB的中点，
，
，
同理：，
，
，
，，
是的中位线，
，
，
四边形EGCF是平行四边形，
，
四边形EGCF是矩形．
 

【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
由平行四边形的性质得出，，，，由平行线的性质得出，证出，由SAS证明≌即可；
证出，由等腰三角形的性质得出，，同理：，得出，由三角形中位线定理得出，，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．
 

21.【答案】证明：，
，
是线段AD的中点，
，
，
≌；
≌，
，
是线段BC的中点，
，
，
，
四边形ADCF是平行四边形，
，
，
，
四边形ADCF为矩形．
 

【解析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据平行线的性质得到，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．
 

22.【答案】证明：和是两个全等的正三角形，
，，
．
又为AD中点，
，，
．
同理，
，
四边形BMDN是平行四边形，
又，
平行四边形BMDN是矩形．即四边形BMDN是矩形．
 

【解析】利用等边三角形的“三条边相等、三个内角都是”性质易证四边形BMDN是平行四边形，然后由等边三角形“三合一”的性质推知平行四边形BMDN的一内角，即平行四边形BMDN是矩形．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的性质．解题时，注意挖掘出隐含在题中的已知条件“等边三角形的三个内角都是，以及等边三角形的“三合一”的性质来求平行四边形BMDN的一内角．
 

23.【答案】解：由题意可得：花台的面积为平方米，草地的面积为平方米
美化这块空地共需资金元
 

【解析】根据所需资金花台需要的资金草地需要的资金，可求解．
本题考查了矩形的性质，用正确的代数式表达草地面积是本题的关键．
 

24.【答案】解：在矩形ABCD中，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
由勾股定理得，．
 

【解析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并判断出是等边三角形是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分可得，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出，然后求出BD，再利用勾股定理列式计算即可得解．
 

25.【答案】或
 

【解析】解：由题意：当时，，
当时，
故答案为或．

如图1中，

当四边形ACDE是正方形，，
可得，
，
，，
在中，，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
．

如图2中，当时，

，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得或舍弃，
如图3中，当时，过点D作于H．

，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得或，
综上所述，满足条件的t的值为2或．
分两种情形分别求解即可．
构建方程求出t的值，再利用平行线分线段成比例定理求出DG，BG，AG即可解决问题．
分两种情形：如图2中，当时，如图3中，当时分别构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．