湘教版八年级下册2.6 菱形综合与测试一课一练

2.6菱形同步练习湘教版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为

A. 平行四边形正方形平行四边形矩形
B. 平行四边形菱形平行四边形矩形
C. 平行四边形正方形菱形矩形
D. 平行四边形菱形正方形矩形
 

2. 如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，，则OE的长为

A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4cm
D.

3. 如图，在菱形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，且AC：：4，于点E，则AE的长是

A. 4
B.
C. 5
D.

4. 某班同学在“为抗疫英雄祈福”的主题班会课上制作象征“平安归来”的黄丝带，如图所示，丝带重叠部分形成的图形是

A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 等腰梯形

5. 下列说法中，错误的是

A. 菱形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 矩形的四个内角都相等 D. 四个内角都相等的四边形是矩形

6. 如图，菱形ABCD中，，则

A.
B.
C.
D.

7. 如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转度角，与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是

A. 平行四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 任意四边形

8. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是
    

A.  B.  C.  D.

9. 如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是

A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 等腰梯形

10. 如图，菱形ABCD的周长是4cm，，那么这个菱形的对角线AC的长是

A. 1cm
B. 2 cm
C. 3cm
D. 4cm

11. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作交CD于点F，交AC于点M，过点D作交AB于点E，交AC于点N，连接FN，则下列结论：
    ；
    ；
    ；
    当时，四边形DEBF是菱形．
    其中，正确结论的个数是

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为______．
    
     

14. 如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，AEBE，C，若BD，则DE_________cm．
     

15. 如图，菱形ABCD的边长为1，，F分别是BC，BD上的动点，且，则的最小值为______．

16. 如图，有一块菱形纸片ABCD，沿高DE剪下后拼成一个矩形，矩形的长和宽分别是5cm，的长是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且求证：．
    
     

18. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，，．
    求证：四边形OEFG是矩形；
    若，，求OE和BG的长．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在等腰三角形ABC中，，，点E是AH上一点，延长AH至点F，使求证：四边形EBFC是菱形．
    
     

20. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
    求证：；
    若E为AD中点，，求菱形ABCD的周长．

21. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是48．

请证明发现的规律；

若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；

小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是直接判断他的说法是否正确．不必叙述理由






 

22. 如图，已知E、F分别是的边BC，AD上的点，且
    
    求证：四边形AECF是平行四边形；
    若四边形AECF是菱形，且，，求BE的长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接过点C作交OE的延长线于点F，连接DF．
     

求证：；

四边形OCFD是矩形．






 

24. 如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
    求证：≌；
    若，，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形菱形平行四边形矩形．
故选：B．
根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．
本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：由题意得，，，
在中，，
又，，
是的中位线，
．
故选：D．
先求出OD、OC的长度，然后在中利用勾股定理求出CD的长度，继而根据OE是的中位线，利用中位线定理可得出OE的长度．
此题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，属于基础题，求出CD的长度，判断OE是的中位线，是解答本题的关键．
 

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用菱形的面积求出AE的长是解题关键．
根据AC：：4和菱形对角线的性质得：AO：：4，设，，则，由，可得AE的长．
【解答】
解：四边形ABCD是菱形，
，，，
：：4，
：：4，
设，，则，
，
，，
，，
，
，
，
故选：B．  

4.【答案】B
 

【解析】解：过点A作于E，于F，如图：
两条彩带宽度相同，
，，．
四边形ABCD是平行四边形．
．
又．
，
四边形ABCD是菱形．
故选：B．
首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
此题考查了菱形的判定，平行四边形的面积公式以及平行四边形的判定与性质等知识；根据题意作出两条高AE和AF，证出是解本题的关键
 

5.【答案】B
 

【解析】解：A、菱形的对角线互相垂直，
选项A不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
选项B符合题意；
C、矩形的四个角都是直角，
矩形的四个内角都相等，
选项C不符合题意；
D、四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，
四个内角都相等的四边形是矩形，
选项D不符合题意；
故选：B．
根据菱形的判定与性质以及矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定与性质；熟练掌握矩形和菱形的判定与性质是解题的关键．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：四边形ABCD是菱形，，
，，
，
，
；
故选：D．
由菱形的性质得出，，求出，即可得出．
此题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：由反比例函数的对称性，得
，，
ABCD是平行四边形，
故选：A．
根据反比例函数的对称性，可得OA与OC，OB与OD的关系，可得答案．
本题考查了反比例函数图象的对称性，利用了反比例函数图象的对称性，对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题关键．
 

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了平行四边形的判定方法、菱形的判定方法；熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．

由已知条件得出四边形ABCD是平行四边形，再由一组邻边相等，即可得出四边形ABCD是菱形．
【解答】
解：需要添加的条件是；理由如下：

四边形ABCD的对角线互相平分，
四边形ABCD是平行四边形，
，
平行四边形ABCD是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故选C．  

9.【答案】B
 

【解析】解：根据作图方法可得，
因此四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
根据菱形的判定方法：四条边都相等的四边形是菱形进行判定即可．
此题主要考查了菱形的判定，关键是熟练掌握菱形的判定定理．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
，
，
是等边三角形，
，
菱形ABCD的周长是4cm，
．
故选：A．
由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据，而，易证是等边三角形，从而可求AC的长．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明是等边三角形．
 

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主考查菱形的性质，考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半，属于基础题．
根据菱形的性质可得该对角线与菱形的边长组成一个等边三角形，利用勾股定理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式：菱形的面积两条对角线的乘积，即可求得菱形的面积．
【解答】
解：根据题意画出图形，如图所示：

四边形ABCD是菱形，
，，，，
又菱形的边长和一条对角线的长均为2，
，
，
，
，
菱形的面积为，
故选：D．  

12.【答案】D
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，，，，
，
，，
，
，
在和中，，
≌，
，，故正确；
在和中，，
≌，
，，故正确；
，即，
，
四边形NEMF是平行四边形，
，故正确；
，，
，
，
四边形DEBF是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
四边形DEBF是菱形；故正确；
正确结论的个数是4个，
故选：D．
证≌，得出，，故正确；证≌，得出，，故正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出，故正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出，则，得出四边形DEBF是菱形；故正确；即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

13.【答案】25
 

【解析】解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
，，，，，
四边形BGDH是平行四边形，
平行四边形BGDH的面积，
，
四边形BGDH是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
四边形BGDH的周长；
故答案为：25．
由题意得出，，，，，证四边形BGDH是菱形，得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；证明四边形BGDH为菱形是解题的关键．
 

14.【答案】8
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键，由含角的直角三角形的性质得出，进而得出，即，再根据得出结论．
【解答】
解：四边形ABCD是菱形，，
，，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
故答案为8．  

15.【答案】
 

【解析】解：如图，连接AC，过点C作，使得，连接AT．

四边形ABCD是菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
如图，连接AC，过点C作，使得，连接证明≌，推出，推出，求出AT即可解决问题．

本题考查轴对称最短问题，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】1cm
 

【解析】解：四边形ABCD是菱形，
，
，，
在中，，
，
故答案为1cm．
根据菱形的四边相等，可得，在中，求出AE即可解决问题．
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
根据菱形的性质可得，，再证明≌，即可得．
 

18.【答案】解：四边形ABCD是菱形，
，，
是AD的中点，
，
，
，
，
，
四边形OEFG是平行四边形，
，
，
四边形OEFG是矩形；
四边形ABCD是菱形，
，，
，
是AD的中点，
；
由知，四边形OEFG是矩形，
，
，，
，
．
 

【解析】根据菱形的性质得到，，得到，推出，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，，得到；由知，四边形OEFG是矩形，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，，
，
，
四边形EBFC是平行四边形，
又，
四边形EBFC是菱形．
 

【解析】根据题意可证得为等腰三角形，由，则，从而得出四边形EBFC是菱形．
本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．
 

20.【答案】解：四边形EFGH是矩形，
，，
，
，，
，
四边形ABCD是菱形，
，
，
≌，
；
连接EG，

四边形ABCD是菱形，
，，
为AD中点，
，
，
，，
四边形ABGE是平行四边形，
，
四边形EFGH是矩形，
，
，
菱形ABCD的周长．
 

【解析】根据矩形的性质得到，，得到，求得，根据菱形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
连接EG，根据菱形的性质得到，，求得，，得到四边形ABGE是平行四边形，得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．
 

21.【答案】证明：设中间的数为a．



．
解：设这五个数中最大数为x．
由题意，得．
解方程，得，不合题意，舍去．
．
答：这5个数中最大的数是29．
他的说法不正确．

解：设这5个数中最大数为y，则最小数为，

依题意，得：，

解得：，不合题意，舍去．

在第一列，

不符合题意，

小明的说法不正确．

【解析】本题考查数式规律问题，根据已知条件列处规律算式即可求解．
设中间数为a，列式求解即可；
设这五个数中最大数为x，列式求解及可；
说法不正确，举例说明即可求解．
 

22.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，且，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形；
如图所示：

四边形AECF是菱形，
，
，
，，
，
，
．
 

【解析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的性质．
首先由已知证明，，推出四边形AECF是平行四边形．
由已知先证明，即，从而求出BE的长．
 

23.【答案】证明：，
，
是CD中点，
，
在和中，

≌；
≌，
，
，
四边形OCFD是平行四边形，
四边形ABCD是菱形，
，
，
四边形OCFD是矩形．
 

【解析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，掌握性质和判定方法是解题关键．
根据平行线的性质得出，然后利用ASA求解即可；
根据全等三角形的性质得出，得出四边形OCFD是平行四边形，然后根据菱形的性质得出，进而即可得证．
 

24.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
≌；
解：由可得，，，
四边形BFDE是平行四边形，
，，
，
四边形BFDE是菱形，
根据，，设，可得，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
，
四边形BFDE的周长．
 

【解析】本题主要考查了矩形的性质的应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键．
根据矩形的性质可得，，，即可证得两个三角形全等；
设，根据已知条件可得，由可得，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；
 

25.【答案】解：如图，
连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，
四边形ABCD是菱形，
，，
点E是AB的中点，
，
同理：，，，
，
点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．
 

【解析】先判断出，，进而利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半判断出，同理：，，，进而得出，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，四点共圆的判断方法，判断出是解本题的关键．