高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 古典概型的应用教学设计

古典概型的应用

【第一课时】

【教学目标】

1．知识与技能：

（1）进一步正确理解古典概型的两大特点，能会从实际问题中识别古典概型模型.

（2）进一步掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=.

2．过程与方法：

能运用古典概型的知识解决一些实际问题，通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；能运用树状图复杂背景的古典概型基本事件个数的计算

3．情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.

【教学重难点】

正确理解掌握古典概型及其概率公式，古典概型中计算比较复杂的背景问题．

【教学过程】

一、温故知新

1．古典概型的概念

（1）试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;

（2）每一个结果出现的可能性相同.

2．古典概型的概率公式

3．列表法和树状图

二、合作探究

1．在古典概型中，同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢？

2．同样掷一粒均匀的骰子

（1）若考虑向上的点数是多少,则可能出现1,2,3,4,5,6点，共有6个基本事件.

（2）若考虑向上的点数是奇数还是偶数,则可能出现奇数或偶数，共2个基本事件.

（3）若把骰子的6个面分为3组(如相对两面为一组),分别涂上三种不同的颜色，则可以出现3个基本事件.

从上面的例子,可以看出同样一个试验,从不同角度来看,建立概率不同模型,基本事件可以各不相同.

一般来说,在建立概率模型时把什么看作是基本事件,即试验结果是人为规定的,也就是说,对于同一个随机试验,可以根据需要,建立满足我们要求的概率模型

3．考虑本课开始提到问题:袋里装有2个白球和2个红球,这4个球除了颜色外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率.

用A表示事件“第二个摸到红球”，把2个白球编上序号1， 2；2个红球也编上序号1，2

模型1：4人按顺序依次从中摸出一个球的所有结果，可用树状图直观表示出来总共有24种结果，而第二个摸到红球的结果共有12种.P（A）=12/24=0.5

模型2利用试验结果的对称性,因为是计算“第二个人摸到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人摸球的情况,这个模型的所有可能结果数为12，第二个摸到白球的结果有6种：P（A）=6/12=0.5

模型3只考虑球的颜色，4个人按顺序摸出一个球所有可能结果模型3的所有可能结果数为6，第二个摸到白球的结果有3种：P（A）=3/6=0.5

模型3只考虑第二个人摸出的球情况他可能摸到这4个球中的任何一个，第二个摸到白球的结果有2种P（A）=2/4=0.5

评析：

法（一）利用树状图列出了试验的所有可能结果(共24种),可以计算4个人依次摸球的任何一个事件的概率;

法（二）利用试验结果的对称性,只考虑前两个人摸球的情况,所有可能结果减少为12种

法（三）只考虑球的颜色,对2个白球不加区分,所有可能结果减少6种

法（四）只考虑第二个人摸出的球的情况,所有可能结果变为4种,该模型最简单！

【例】将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：

（1）共有多少种不同的结果？

（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？

（3）两数和是3的倍数的概率是多少？

解：（1）将骰子抛掷1次，它出现的点数有这6中结果。

先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能的结果，于是一共有种不同的结果；

（2）第1次抛掷，向上的点数为这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数（例如：第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数），于是共有种不同的结果．

（3）记“向上点数和为3的倍数”为事件，则事件的结果有种，因为抛两次得到的36中结果是等可能出现的，所以所求的概率为

答：先后抛掷2次，共有36种不同的结果；点数的和是3的倍数的结果有种；点数和是的倍数的概率为；

说明：也可以利用图表来数基本事件的个数：

1．古典概型的解题步骤；

2．复杂背景的古典概型基本事件个数的计算.

【第二课时】

【教学目标】

1．知识与技能：通过实例,理解互斥事件和对立事件的概念,了解互斥事件的概率加法公式,并能简单应用。

2．过程与方法：发现法教学，学生通过在抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，得到互斥事件的概率加法公式。通过正确的理解，准确利用公式求概率。

3．情感态度与价值观：通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；体会数学思维的严密性，发展条理清晰的思考表达能力、提高分析能力、解决问题的能力。

【教学重难点】

互斥事件、概率的加法公式及其应用。

【教学过程】

一、新课引入：

（1）日常生活中，我们总有些事件不同时进行。（互斥事件）

（2）从字面上理解“互斥事件”。

基本概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件。

、互斥，即事件、不可能同时发生。（学生自己举例理解）

二、实例分析

抛掷一枚骰子一次,下面的事件A与事件B是互斥事件吗？

（1）事件A=“点数为2”,事件B=“点数3”

（2）事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4”

（3）事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”

（4）事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3”

解：互斥事件: （1）  （2）  （3）

但（4）不是互斥事件,当点为5时,事件A和事件B同时发生

进一步利用集合意义理解互斥事件；

从集合角度来看，、两个事件互斥，则表示、这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。A与B有相交，则A与B不互斥。

三、抽象总结

事件和的意义:事件、的和记作，表示事件、至少有一个发生。

当、为互斥事件时，事件是由“发生而不发生”以及“发生而不发生”构成的。

概率加法公式：在一个随机实验中,如果随机事件A和B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P（A）+P（B）。

【说明】

（1）互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和， 这就是概率的加法公式，也称互斥事件的概率的加法公式．

（2）特别地，P（A）＋P()＝P(A∪)=1，所以：P()＝1－P（A）。

（3）拓展推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即

P（A1∪A2∪…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

四、巩固练习

1．从一箱产品中随机地抽取一件产品,设A=：“抽到的是一等品”,B=“抽到的是二等品”,C=“抽到的是三等品”.且（A）=0.7,P（B）=0.1,P（C）=0.05.

求下列事件的概率:

（1）事件D=“抽到的是一等品或三等品”

（2）事件E=“抽到的是二等品或三等品”

【解】

(1)事件D即事件A∪C,

因为事件A=“抽到的是一等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式得：P(D)=P(A∪C)=P(A)+P(C)=0.7+0.05=0.75.

（2）事件E即事件B∪C，因为事件B=“抽到的是二等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，P（E）=P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15.

2.一个袋中装有4个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.

(1)从袋中随机抽取2个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(2)先从袋中随机取1个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋中随机取1个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．

【解】(1)从袋子中随机取2个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．

从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个．

因此所求事件的概率为＝.

(2)先从袋中随机取1个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取1个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．

满足条件n≥m＋2的结果为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．

所以满足条件n≥m＋2的事件的概率P＝，故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P＝1－＝.