北师大版 (2019)必修 第一册2.2 古典概型的应用教学设计及反思

《古典概型的应用》教学设计

第1课时

1.会根据实际问题选择适当的古典概型并利用基本的计数方法计算古典概型中简单事件的概率；

2.体会数学模型的构建过程，会应用数学模型解决实际中的问题．

重点：古典概型的应用．

难点：构建合理的样本空间来计算随机事件的概率．

一、情境导入

情境：分析以下各问题，尝试得出结论.

（1）假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1，……，9十个数字中的任意一个，假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他在自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？

（2）一个暗箱子里放着10个完全一样的小球，其中三个小球上分别写着一等奖、二等奖、三等奖，现在请10个人无放回地抽取奖品，请问中奖机会与先后顺序有关吗？

（3）生物学上已经证明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；基因总是成对出现（如BB，bB，Bb，bb），而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮；有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，不考虑基因突变，求他们的孩子是单眼皮的概率.

答案：（1）解：这个人随机试一个密码，相当做1次随机试验，试验的基本事件(所有可能的结果)共有10 000种．由于是假设的随机的试密码，相当于试验的每一个结果是等可能的．所以P(“能取到钱”)＝＝

（2）中奖的机会与先后顺序没有关系

（3）用两个字母来表示孩子的成对的基因，其中第一个字母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因，则样本空间中共含有4个样本点，即

                 Ω＝{BB，bB，Bb，bb}.

    孩子如果是单眼皮，成对的基因只能是bb，因此所求概率为.

设计意图：利用生活中的例子来导入，为了增强学生的学习兴趣，同时加强数学与其他学科知识的联系，让学生了解数学知识在其他学科中的应用．

二、应用举例

例1. 书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中任取两本，试求下列事件的概率：

（1）取出的书不成套；

（2）取出的书均为上册；

（3）取出的书上、下册各一本，但不成套.

解：设取出第一套书的上、下册分别记为A1，A2，取出第二套书的上、下册分别记为B1，B2，取出第三套书的上、下册分别记为C1，C2.

不区分取出的两本书的顺序，依题意可知样本空间Q={A1A2，A1B1，A1C1，A1C2，A1B2，A2B1， A2C1，A2C2，A2B2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}，共含有15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的，从而可以用古典概型来计算概率.

（1）              设事件A表示“取出的书不成套”，则

A={ A1B1，A1C1，A1C2，A1B2，A2B1，A2C1，A2C2，A2B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}，样本点有12个，故

（2）              设事件B表示“取出的书均为上册”，则

B={ A1B1，A1C1，B1C1}，样本点有3个，故

（3）              设事件C表示“取出的书上、下册各一本，但不成套”，则

C={ A1C2，A1B2，A2B1， A2C1，B1C2，B2C1}，样本点有6个，故

追问：

（1）对于试验：“不区分顺序的选取任意两本书”，可以用树状图确定样本空间吗？为什么？

（2）对于事件“取出的书上、下册各一本，但不成套”与事件“取出的书上、下册各一本，而且成套”是对立事件吗？

预设答案：

（1）不可以；因为利用树状图确定的样本点是有顺序区分的.

（2）不是.

设计意图：例题1是一种典型的不区分顺序的古典模型，有必要帮助学生掌握它的特征，明确求解样本空间的方法,为解决复杂的概率问题打下基础.

例2、口袋里共有4个球，其中有2个是白球，2个是黑球，这4个球除颜色外完全相同.4个人按顺序依次从中摸出一个球（不放回），试计算第二个人摸到白球的概率.

答案：

解法一  考察试验：4个人按顺序依次从中摸出一个球，记录摸球的所有可能结果.

把2个白球编上序号1，2，记摸到1，2号白球的结果分别为w1，w2；2个黑球也编上序号1，2，记摸到1，2号黑球的结果分别为b1，b2.则该试验的样本空间可以用以下树状图来表示，共有24个样本点.

由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此可以认为这24个样本点出现的可能性是相等的，从而可用古典概型来计算概率.

用事件A表示“第二个人摸到白球”，则此时事件A包含12个样本点，因此，

即第二个人摸到白球的概率为.

追问：该试验为4人摸球试验，但所求的是第二个人的摸球概率，那我们可以只研究第一个人和第二个人的摸球情况吗？这样又会得到怎样的样本空间呢？

解法二  因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以只考虑前两个人摸球的情况.

考察试验：前两个人按顺序依次从中摸出一个球，记录摸球的所有可能结果.前两个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有结果用树状图表示，如图

从上面的树状图可以看出，试验的样本空间共有12个样本点.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此可以认为这12个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率.

观察树状图可知，事件A包含6个样本点，因此，

即第二个人摸到白球的概率为.

设计意图：这里，我们根据事件“第二个人摸到白球”的特点，只考虑前两个人摸球的情况，从而简化了模型，培养学生的数学抽象能力.

追问：四个球除了颜色不同外，其他的都没有任何区别，我们可以不考虑球的编号，只关注球的颜色吗？这样会得到怎样的样本空间呢？

解法三  因为口袋里的4个球除颜色外完全相同，因此可以对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，由此得到另一种解法.

考察试验：4个人按顺序依次从中摸出一个球，只记录摸出球的颜色.试验的所有可能结果用树状图表示，如图

由树状图可知，试验的样本空间共有6个样本点.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此可以认为这6个样本点出现的可能性也是相等的，从而用古典概型来计算概率.

由树状图可知，此时事件A包含3个样本点，因此.

即第二个人摸到白球的概率为.

设计意图：进一步简化，只考虑球的颜色，而不考虑球的编号.这种方法比较简单，同时也需要学生有很强的数学想象力和抽象能力，才能得到正确的样本空间.

追问：结合上一种解法，我们不考虑球的编号，只关注球的颜色，并且不考虑4人摸球的结果，只考虑前两人的摸球结果，又会得到怎样的样本空间呢？

解法四  进一步简化，只考虑第二个人摸球的情况.

考察试验：4个人按顺序依次从中摸出一个球，只记录第二个人摸出球的情况.

把2个白球、2个黑球分别编上序号1，2，记摸到1，2号白球的结果分别为w1，w2，记摸到1，2号黑球的结果分别为b1，b2.则试验的样本空间{ w1，w2，b1，b2}共有4个样本点.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此可以认为这4个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率.

依题意可知此时事件A={ w1，w2}，包含2个样本点，因此，.

即第二个人摸到白球的概率为.

设计意图：以上4种解法分别从不同的角度切入，选择了不同的古典概型.这个问题表面上是一个摸球的问题，实际上它也是许多实际问题的一个模型.例如，抽签问题、排序占位问题.由这个问题的解答过程可以看出：不论第几次摸球，摸到白球的概率都是.这说明，摸球时，中奖的可能性大小与顺序无关.

三、课堂练习

1．袋中有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任意摸出2个，求至少摸出1个黑球的概率.

答案：摸出白球记为w1,w2，摸出黑球记为b1，b2，从4个球中任意摸出2个，不区分先后共有6种摸法且可能性相等，其中一个黑球都没有的摸法只有1种，因此没有摸出黑球的概率为1/6，所以至少摸出一个黑球的概率为.

2.同时抛掷两枚均匀的骰子，求：

（1）“掷出的点数之和为6”的概率；

（2）“至少有一个点数是5或6”的概率.

答案：（1），（2）.

四、归纳总结

1.古典概型的特征：（1）有限性，（2）等可能性；

2.古典概型的概率公式：如果样本空间所含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，则事件A发生的概率为

．

3.运用古典概型解决实际问题的步骤：

（1）根据问题情境判断是否为古典概型；

（2）用列举法写出试验所对应的样本空间；

（3）利用古典概型的概率公式计算概率.

五、布置作业

教材P204习题7-2A组第4,5题，B组第1,2题.