数学九年级上册5.一元二次方程的根与系数的关系精品巩固练习

22.2.5一元二次方程的根与系数的关系同步练习华师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知a，b是方程的两根，则的值

A. 4 B. 1
C.  D. 与m有关，无法确定

2. 关于x的方程，下列说法中正确的是：

A. 当时，方程的两根互为相反数
B. 当时，方程的根是
C. 若方程有实数根，则且
D. 若方程有实数根，则

3. 关于x的方程xxpp为常数的根的情况，下列结论中正确的是   

A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根

4. 如果是关于x的方程的一个根，则另一个根是

A.  B.
C.  D. 与p有关，不能确定

5. 关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则a的值为

A. 2 B. 0 C. 1 D. 2或0

6. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则m的值是   

A.  B. 3 C. 3或 D. 或1

7. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

8. 关于x的方程为常数的根的情况，下列结论中正确的是

A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根

9. 若关于x的方程的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为   ．

A. 10 B.  C.  D. 10或

10. 若t为实数，关于x的方程的两个非负实数根为a、b，则代数式的最小值是   

A.  B.  C. 15 D. 16

11. 方程的两根和是

A.  B.  C. 2 D. 4

12. 若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值是   

A.  B. 10 C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知是方程的一个根，则它的另一个根为______．
14. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
15. 已知的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为4，若是等腰三角形，则的周长为______．
16. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为          
17. 若m、n是方程的两根，则____．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 已知关于x的方程有实数根．
    求k的取值范围；
    设方程的两根分别是、，且，试求k的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根、．
    求m的取值范围；
    若，求m的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知，是一元二次方程的两个实数根．
    求k的取值范围．
    是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知关于x的方程．

求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．






 

22. 已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根．
    求a的取值范围；
    若是负整数，求实数a的整数值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 先化简，再求值：，其中x为方程的根．
    若m为实数，关于x的方程的两个非负实数根为a、b，求代数式的最大值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：把代入方程得：
，
整理得：，
把代入方程得：
，
整理得：，
即，
，b是方程的两根，
，
则，
故选：A．
分别把和代入方程，整理后得到和的值，得到，根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案．
本题考查了根与系数的关系，正确掌握代入法和一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
 

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式因为已知没有明确此方程是否是一个一元二次方程，所以方程有两种情况，既可以是一元一次方程，也可以一元二次方程，所以分两种情况分别去求a的取值范围，然后结合选项判断选择什么．
【解答】
解：当 ，则此方程为，，所以方程无实数根，则A错误；
当，则此方程为，所以方程有实数根为，则B错误；
当，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，
，
且；
综上所述a的取值范围是，则C错误，D正确．
故选D．  

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．先把方程化为，再根据，可得方程有两个不相等的实数根，由即可得出结论．
【解答】
解：关于x的方程为常数，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
两个根的积为，
一个正根，一个负根，
故选C．  

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
先整理，求出的值，再代入公式求出即可．
【解答】
解：整理得：，
，
由题意可知方程有不相等的两根，
，
其中一根为4，代入可求出，可得：
．
方程的另一个根为．
故选：C．  

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】本题主要考查根与系数的关系，由条件得出两根和为0是解题的关键．由两根互为相反数可知两根之和为0，再由根与系数的关系可得到关于a的方程，即可求得a的值．
【解答】

解：由一元二次方程根与系数的关系得，
互为相反数的两数之和为0，
，
解得或2，
当时，原方程为，方程无解；
当时，原方程为，，符合题意，故．
故选B．

6.【答案】B
 

【解析】略
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式进行变形得到，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两根为，，则，．
【解答】
解：根据题意得，，
所以．
故选B．  

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．先把方程化为，再根据，可得方程有两个不相等的实数根，由即可得出结论．
【解答】
解：关于x的方程为常数，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
两个根的积为，
一个正根，一个负根，
故选C．  

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是根与系数的关系，勾股定理，根的判别式的有关知识，依题意可得：或，求出x，然后设的两根为a、利用根的判别式求出m的取值范围，然后利用根与系数的关系得到，，则该直角三角形的三边长分别为a、b、4，
然后分为斜边时，为斜边时，利用勾股定理进行求解即可．
【解答】
解：依题意可得：或，

，，

设的两根为a、
，解得：，
根据根与系数关系，得，，

则该直角三角形的三边长分别为a、b、4，
为斜边时，则：，即
，不符合题意，舍去；
为斜边时，则：，，
，，
．
故选C.

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，属于中档题，关键要掌握，是方程的两根时，，，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，根据根与系数的关系，化简即可求解．

【解答】

解：，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，
可得，，．
解得：，
，，
，
，
，
当时，取最小值，最小值为1，
代数式的最小值是，
故选：A．

11.【答案】D
 

【解析】解：由方程，得方程，
设该方程的两根分别是、，则．
故选：D．
将已知方程转化为一般式方程，然后利用根与系数的关系解答．
本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

12.【答案】A
 

【解析】略
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题直接根据根与系数的关系中的两根之积就可以求出另一个根．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．
【解答】
解：的一个根为，
另一个根．
故答案为．  

14.【答案】2
 

【解析】解：根据题意得则，，
所以，
故答案为2．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，根据根与系数的关系求解．
 

15.【答案】11或13
 

【解析】解：，
，，
是等腰三角形，
，不成立，
，，，周长为，
，，，周长为，
故答案为：11或13．
先求出方程的两根或，再分三种情况计算即可得出结论．
本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，利用分类讨论是解题的关键．
 

16.【答案】4
 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可．
【解答】
解：设方程的另一根为t，
根据题意得，
所以．
故答案为4．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
根据根与系数的关系直接得到、mn的值，然后将其代入所求的代数式进行求值．
【解答】
解：、n是方程的两根，
，，
．
故答案是：．  

18.【答案】解：原方程有实数根，
，

；
，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
，，
又，
，
，
，
解之，得：经检验，都符合原分式方程的根，
，
．
 

【解析】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围即可；
根据根与系数的关系得出方程解答即可．
 

19.【答案】解：
方程有两个实数根，
，即，
解得；
由根与系数的关系可得，，
，
，即，
，解得．
 

【解析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握根的判别式与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．
由条件可知该方程的判别式大于或等于0，可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围；
利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值．
 

20.【答案】解：一元二次方程有两个实数根，
，
解得：．
，是一元二次方程的两个实数根，
，．
，
，
，
解得：，．
又，
．
存在这样的k值，使得等式成立，k值为．
 

【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，
根据方程的系数结合，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合即可得出结论．
 

21.【答案】证明：，，，
 ，
，
，即，
不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
解：设方程的另一个为t，
根据题意得，，，
，解得，
，
的值为2，另一个根为0．
 

【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
也考查了判别式的意义．
先计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义得到结论；
设方程的另一个为t，利用根与系数的关系得到，，然后解方程组即可．
 

22.【答案】解：原方程有两实数根，

且．
、是关于x的一元二次方程的两个实数根，
，，
．
是负整数，
是负整数，即是正整数．
是整数，
的值为1、2、3或6，
的值为7、8、9或12．
 

【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于a的一元一次不等式组；根据根与系数的关系结合是负整数，找出是正整数．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围；
根据根与系数的关系结合是负整数，即可得出是正整数，再由a为整数，即可求出a值．
 

23.【答案】解：原式

，

，
解得，，
当时，原式不成立，
当时，原式；
，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，
可得，，．
解得：，．


，．

．
，
，
当时，取最大值，最大值为25，
代数式的最大值．
 

【解析】先化简分式，然后解不等式组，取合适的值代入求值；
根据根的判别式求解．
本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．