苏科版七年级下册9.4 乘法公式精品测试题

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9.4乘法公式同步练习苏科版初中数学七年级下册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”下列数中为“幸福数”的是

A.  B.  C.  D.

2. 若是一个完全平方式，则等于

A.  B.  C.  D.

3. 如图，两个正方形边长分别为、，如果，，则图中阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

4. 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如，，故，都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是

A.  B.  C.  D.

5. 张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则，满足的关系式是

A.
B.
C.
D.

6. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 若，则、的数量关系为

A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 无法确定

8. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

10. 已知实数、满足，，则

A.  B.  C.  D.

11. 等式成立，则是

A.  B.  C.  D.

12. 计算的结果为   

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知，则代数式的值为______ ．
14. 若，，则______．
15. 记，且，则______．
16. 已知：关于的二次三项式是完全平方式，则常数等于______．
17. 从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形如图甲，然后拼成一个平行四边形如图乙那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的公式为_________________．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方
    请根据阅读材料解决下列问题：
    比照上面的例子，写出的两种不同形式的配方；
    已知，求的值；
    已知，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知图甲是一个长为，宽为的长方形，沿图甲中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形。
    
    图乙中阴影部分正方形的边长为______用含字母，的整式表示。
    请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积。
    方法一：______；
    方法二：______。
    观察图乙，并结合中的结论，你能写出下列三个整式：，，之间的等量关系吗？
    根据题中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值。
    
    
    
    
    
    
     
20. 两个边长分别为和的正方形如图放置图，其未叠合部分阴影面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形如图，两个小正方形叠合部分阴影面积为．
    用含、的代数式分别表示、；
    若，，求的值；
    当时，求出图中阴影部分的面积．

21. 如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图
     

观察图请你写出、、之间的等量关系是__；

根据中的结论，若，，则__；

拓展应用：若，求的值．






 

22. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     
23. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
24. 先化简，再求值：

，其中；

，其中．






 

25. 发现与探索：小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体体积，就可以得到一个恒等式．如图是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成块．

用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为_________________；

已知，，利用上面的规律求的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：设较小的奇数为，较大的为，
根据题意得：，
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，符合题意．
故选：。
设较小的奇数为，较大的为，根据题意列出方程，求出解判断即可。
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键。
 

2.【答案】
 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
故选D
原式利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，，，




，
，，
．
故选：．
由题意表示出，，、，进而表示出，阴影部分面积正方形正方形面积三角形面积三角形面积，求出即可．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了平方差公式在新定义类计算中的简单应用，正确将所给的数字拆成平方差的形式是解题的关键．
根据数字的特点，分别将、和写成两个正整数的平方差的形式，而不能写成两个正整数的平方差的形式，则问题得解．
【解答】
解：，
，
，
不能表示成两个正整数的平方差．
、和是“创新数”，而不是“创新数”．
故选：．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了整式的混合运算，三角形的面积，表示出和是解题的关键先用、的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以．
【解答】
解：，
2，
​​​​​​​，
，
，
整理，得，
，
．
故选D．  

6.【答案】
 

【解析】解：、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据去括号法则，合并同类项法则，完全平方公式，单项式乘以单项式分别求出每个式子的值，再得出答案即可．
本题考查了去括号法则，合并同类项法则，完全平方公式，单项式乘以单项式等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查完全平方公式的应用首先利用完全平方公式把写成和的形式，然后求出和即可解答．
【解答】
解：，
，，
．
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】解：、与不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B、，故选项B符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D不合题意．
故选：．
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可．
本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选：．
根据同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，，
，
，
，
，
故选：．
利用完全平方公式解答即可．
本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，，
可以变为
，
．
故选B．
由于，，利用它们即可求出的值．
本题主要考查完全平方公式两个公式之间的联系与区别．
 

12.【答案】
 

【解析】

．
故选A．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查整式的运算及求代数式的值，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．
先将原式化简，然后将代入即可求出答案．
【解答】
解：当时，
原式



．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】解：，
，

，
，
，
故答案为：
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故填．
先在前面添加因式，再连续利用平方差公式计算求出，然后根据指数相等即可求出值．
本题考查了平方差公式，关键是乘一个因式然后就能依次利用平方差公式计算了．
 

16.【答案】
 

【解析】解：二次三项式是完全平方式，
．
故答案为：．
原式利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．
【解答】
解：阴影部分的面积相等，即甲的面积，乙的面积．
即：．
所以验证成立的公式为：．
故答案为：．  

18.【答案】解：的两种配方分别为：
，
；
由得：，

解得：，
；



，
从而有，，，
即，，，
故．
 

【解析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式：是解题的关键．
由题中所给的已知材料可得可拆分常数项、一次项两种不同形式；
通过配方后，求得，的值，再代入代数式求值．
通过配方后，求得，，的值，再代入代数式求值．
 

19.【答案】；
；；
；
，
，，
。
 

【解析】

【解答】
解：图乙中阴影部分正方形的边长为，
故答案为：；
方法一：；
方法二：；
故答案为：；；
见答案；
见答案。
【分析】
本题主要考查了完全平方式的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系。本题更需注意要根据所找到的规律做题。
平均分成后，每个小长方形的长为，宽为。
正方形的边长小长方形的长宽；
第一种方法为：大正方形面积个小长方形面积；第二种表示方法为：阴影部分为小正方形的面积；
利用可求解；
利用可求解。  

20.【答案】解：由图可得，，；

，
，，
；

由图可得，，
，
．
 

【解析】根据正方形的面积之间的关系，即可用含、的代数式分别表示、；
根据，将，代入进行计算即可；
根据，，即可得到阴影部分的面积．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．
 

21.【答案】；
；


解：，
，
，
，
；
．
 

【解析】

【分析】
本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的关键．
由图可知，图的面积为，图中白色部分的面积为，根据图的面积和图中白色部分的面积相等可得答案；
根据中的结论，可知，将，代入计算即可得出答案；
将等式两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可得答案．
【解答】
解：由图可知，图的面积为，图中白色部分的面积为，
图的面积和图中白色部分的面积相等，
，
故答案为：；
根据中的结论，可知，
，，
，

，
故答案为：；  

22.【答案】解：原式

当，时，
原式
 

【解析】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式中括号中利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
 

23.【答案】解：


，
当时．原式．
 

【解析】根据多项式乘多项式和完全平方公式、多项式除以单项式可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确完全平方公式的计算方法和多项式除以单项式的方法．
 

24.【答案】解：原式，
，
当时，原式；
原式，
，
当时，原式．
 

【解析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先去括号，再合并同类项，把代入计算即可；
先去括号，再合并同类项，把代入计算即可．
 

25.【答案】由，
得：，
将，，代入，
得，
即，
解得：．
 

【解析】解：八个小正方体和长方体的体积之和是：，
，
；
故答案为：
见答案
根据体积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是将大正方体棱长表示出来求体积；另一种是将各个小的长方体体积加起来，可得等式；
根据得出的式子再进行转化，然后把，代入计算即可得出答案．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．