高中数学5.5 三角恒等变换练习题

这是一份高中数学5.5 三角恒等变换练习题，共26页。试卷主要包含了5 三角恒等变换，cs 165°等于，若cs=13,则2+2=等内容，欢迎下载使用。

新20版练B1数学人教A版5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
考点1　利用两角差的余弦公式求解“给角求值”问题
1.(2019·四川广安高二期末)cos 80°·cos 35°+sin 80°·cos 55°的值是(　　)。
A.22 B.-22 C.12 D.-12
答案:A
解析：cos 80°·cos 35°+sin 80°·cos 55°=cos 80°·cos 35°+sin 80°·sin 35°=cos(80°-35°)=cos 45°=22。
2.(2019·沈阳模拟)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°的值为(　　)。
A.0 B.12 C.32 D.-12
答案:B
解析：cos 75°cos 15°-sin 75°sin(180°+15°)=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)=cos 60°=12。
3.(2019·山东滨州高二期末)cos 165°等于(　　)。
A.12 B.32
C.-6+24 D.-6-24
答案:C
解析：cos 165°=cos(180°-15°)=-cos 15°=-cos(45°-30°)=-(cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°)=-6+24。故选C。
4.(2019·河南商丘九校高二期末联考)cos(-40°)·cos 20°-sin(-40°)sin(-20°)=　　　。 
答案:12
解析：原式=cos(-40°)cos 20°+sin(-40°)sin 20°=cos(-40°-20°)=cos(-60°)=cos 60°=12。
5.化简:2cos10°-sin20°cos20°=　　　。 
答案: 3
解析：原式=2cos(30°-20°)-sin20°cos20°
=2cos30°cos20°+2sin30°sin20°-sin20°cos20°
=3cos20°+sin20°-sin20°cos20°
=3cos20°cos20=3。
考点2　利用两角差的余弦公式求解“给值求值”问题
6.(2019·广西南宁高二期中)已知cos α=-35,α∈π2,π,sin β=-1213,β是第三象限角,则cos(β-α)的值是(　　)。
A.-3365 B.6365 C.5665 D.-1665
答案:A
解析：因为α∈π2,π,所以sin α=45。因为β是第三象限角,所以cos β=-513,所以cos(β-α)=cos αcos β+sin αsin β=-3365。
7.已知cos α+cos β=12,sin α+sin β=32,则cos(α-β)=(　　)。
A.-12 B.-32 C.12 D.1
答案:A
解析：由cos α+cos β=12,sin α+sin β=32,两边平方并相加得(cos α+cos β)2+(sin α+sin β)2=122+322=1,
∴2+2cos αcos β+2sin αsin β=1,2(cos αcos β+sin αsin β)=-1,
∴cos(α-β)=-12。
8.(2019·北京海淀科大附中高二期中)若cos(α-β)=13,则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=(　　)。
A.83 B.-83 C.223 D.-223
答案:A
解析：原式=2+2(sin αsin β+cos αcos β)=2+2cos(α-β)=2+2×13=83。
9.已知sinπ6+α=35,π3<α<5π6,则cos α的值是(　　)。
A.3-4310 B.4-3310
C.23-35 D.3-235
答案:A
解析：∵π3<α<5π6,∴π2<π6+α<π,∴cosπ6+α=-1-sin2π6+α=-45。
∴cos α=cosπ6+α-π6=cosπ6+αcos π6+sinπ6+α·sin π6=-45×32+35×12=3-4310。
10.已知cosα-π3=cos α,则tan α=　　　。 
答案:33
解析：cosα-π3=cos αcos π3+sin αsin π3=12cos α+32sin α=cos α,∴32sin α=12cos α,∴sinαcosα=33,即tan α=33。
11.已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,则cosα+π4=　　　。 
答案: -5665
解析：∵α,β∈3π4,π,∴α+β∈3π2,2π,β-π4∈π2,3π4。
又∵sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,
∴cos(α+β)=1-sin2(α+β)=45,
cosβ-π4=-1-sin2β-π4=-513。
∴cosα+π4=cos(α+β)-β-π4
=cos(α+β)cosβ-π4+sin(α+β)sinβ-π4
=45×-513+-35×1213=-5665。
【归纳总结】先分析已知角与所求角之间的关系,再决定如何利用已知条件,避免盲目地处理相关角的三角函数式,造成不必要的麻烦,要认真考虑角的整体运用,恰当运用拆角、拼角等技巧。如α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+β,2α=(α+β)+(α-β),α+π4=π2-π4-α等。
考点3　利用两角差的余弦公式求解“给值求角”问题
12.(2019·湖南衡阳二十六中高二期中)已知α,β均为锐角,且sin α=55,cos β=1010,则α-β的值为　　　。 
答案: -π4
解析：∵α,β∈0,π2,∴cos α=255,sin β=31010。
∵sin α ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=255×1010+55×31010=22,
∴α-β=-π4。
13.已知α,β,γ∈0,π2,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则β-α的值为　　　。 
答案: π3
解析：由已知,得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β。
两式分别平方并相加,得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1。
∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=12,∴β-α=±π3。
∵sin γ=sin β-sin α>0,∴β>α,∴β-α=π3。
14.已知cos(α-β)=-1213,cos(α+β)=1213,且π2<α-β<π,3π2<α+β<2π,则角β的值为　　　。 
答案:π2
解析：由cos(α-β)=-1213,且π2<α-β<π,得sin(α-β)=513;由cos(α+β)=1213,且3π2<α+β<2π,得sin(α+β)=-513。于是cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=1213×-1213+-513×513=-1。
因为π2<α-β<π,所以-π<β-α<-π2,与3π2<α+β<2π相加,得π2<2β<3π2。所以2β=π,从而β的值为π2。
考点4　两角差的余弦公式的灵活应用问题
15.(2019·浙江温州高三调考)已知cosx-π6=-33,则cos x+cosx-π3=(　　)。
A.-233 B.±233
C.-1 D.±1
答案:C
解析：cos x+cosx-π3=cos x+12 cos x+32sin x=32cos x+32sin x=332cosx+12sinx=3cosx-π6=-1。故选C。
16.(2019·广东肇庆三模)已知α为锐角,β为第三象限角,且cos α=1213,sin β=-35,则cos(α-β)的值为(　　)。
A.-6365 B.-3365 C.6365 D.3365
答案:A
解析：∵α为锐角,且cos α=1213,∴sin α=1-cos2α=513。∵β为第三象限角,且sin β=-35,∴cos β=-1-sin2β=-45,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=1213×-45+513×-35=-6365。故选A。
17.(2019·云南曲靖宣威九中高一下期中)如图5-5-1-1-1,在平面直角坐标系xOy中,以Ox为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知点A,B的横坐标分别为210,255,则cos(α-β)=　　　。
 
图5-5-1-1-1
答案: 91050
解析：依题意,得cos α=210,cos β=255。
因为α,β为锐角,所以sin α=7210,sin β=55,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=210×255+7210×55=91050。
18.已知点A(cos 80°,sin 80°),B(cos 20°,sin 20°),则A,B两点之间的距离d等于(　　)。
A.12 B.22 C.32 D.1
答案:D
解析：距离d=(cos80°-cos20°)2+(sin80°-sin20°)2=2-2(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=2-2cos60°=2-2×12=1。
19.(2019·浙江金华一中高一期末)若cos 5xcos(-2x)-sin(-5x)sin 2x=0,则x的值可能是(　　)。
A.π10 B.π6 C.π5 D.π4
答案:B
解析：因为cos 5xcos(-2x)-sin(-5x)sin 2x=cos 5xcos 2x+sin 5xsin 2x=cos(5x-2x)=cos 3x=0,所以3x=π2+kπ,k∈Z,即x=π6+kπ3,k∈Z,所以当k=0时,x=π6。
20.(2019·湖北襄阳五中高一期中)在△ABC中,sin A=725,cos B=-817,则cos(A-B)=　　　。 
答案:-87425
解析：因为cos B=-817,且0 21.(2019·山东烟台一中高一期末)若cos(α+β)=45,sin(α-β)=35,且3π2<α+β<2π,π2<α-β<π,求cos 2β的值。
答案: 解:因为cos(α+β)=45,且3π2<α+β<2π,
所以sin(α+β)=-35。
由sin(α-β)=35,且π2<α-β<π,得cos(α-β)=-45。
所以cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=45×-45+-35×35=-1。
22.(2019·四川遂宁射洪中学高一下月考)已知函数f(x)=-cos 2xcos5π4+sin 2xsin9π4。
(1)求函数f(x)的最小正周期;
答案: 解:因为f(x)=-cos 2xcos 5π4+sin 2xsin 9π4=cos 2xcos π4+sin 2xsin π4=cos2x-π4,
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π。
(2)若π8<α<β<π2,f(α)=2+64,且f(β)=6-24,求角2β-2α的大小。
答案: 因为f(α)=2+64,且f(β)=6-24,
所以cos2α-π4=2+64,cos2β-π4=6-24,
又π8<α<β<π2,所以2α-π4,2β-π4∈0,3π4,
所以sin2α-π4=1-cos22α-π4=6-24,
sin2β-π4=1-cos22β-π4=6+24,
所以cos(2β-2α)=cos2β-π4-2α-π4=cos2β-π4·cos2α-π4+sin2β-π4·sin2α-π4=6-24×6+24+6+24×6-24=12。又π8<α<β<π2,所以0<2β-2α<3π4,所以2β-2α=π3。
第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式答案　 P276
考点1　两角和与差的余弦公式的理解与简单应用问题
1.(2019·湖北黄冈高一下期末考试)cos π12cos π6-sin π12sin π6=(　　)。
A.12 B.22 C.32 D.1
答案:B
解析：cos π12cos π6-sin π12sin π6=cosπ12+π6=cos π4=22,故选B。
2.(2019·江西上饶高一下期末考试)已知cos(α-β)=35,sin β=-513,且α∈0,π2,β∈-π2,0,则cos α=(　　)。
A.3365 B.5665 C.-3365 D.-5665
答案:B
解析：∵0<α<π2,-π2<β<0,∴0<α-β<π。又cos(α-β)=35,∴sin(α-β)=1-cos2(α-β)=45。∵-π2<β<0,sin β=-513,∴cos β=1213,∴cos α=cos[(α-β)+β]=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=5665。
3.计算sin π12-3cos π12的值为　　　。 
答案: -2　　
解析：sin π12-3cos π12=212sin π12-32cos π12=2sin π6sin π12-cos π6cos π12=-2cosπ6+π12=-2cos π4=-2。
4.(2019·河南南阳方城一中月考)若0<α<π2,-π2<β<0,cos5π4+α=-13,cosπ4-β2=33,求cosα+β2的值。
答案: 解:∵cos5π4+α=-13,∴cosπ4+α=13。
∵0<α<π2,∴π4<α+π4<3π4,∴sinπ4+α=223。
∵-π2<β<0,∴π4<π4-β2<π2。
又cosπ4-β2=33,∴sinπ4-β2=63,
∴cosα+β2=cosπ4+α-π4-β2=cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2=13×33+223×63=539。

考点2　两角和与差的正弦公式的理解与简单应用问题
5.(2019·山东济宁高三上期末考试)已知cosπ2+α=33-π2<α<π2,则sinα+π3=(　　)。
A.32-36 B.32+36
C.6-36 D.6+36
答案:A
解析：∵cosπ2+α=-sin α=33,∴sin α=-33,∴-π2<α<0,∴cos α=63,∴sinα+π3=sin αcos π3+cos αsin π3=-33×12+63×32=32-36,故选A。
6.已知cos αcos β-sin αsin β=0,那么sin αcos β+cos αsin β的值为　　　。 
答案: ±1
解析：∵cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β)=0,∴α+β=kπ+π2,k∈Z,∴sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)=±1。
7.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为　　　。 
答案:1
解析：因为f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ=sin[(x+φ)-φ]=sin x,所以f(x)的最大值为1。
考点3　两角和与差的正切公式的理解与简单应用问题
8.已知tan(α+β)=25,tanβ-π4=14,那么tanα+π4=(　　)。
A.1318 B.1322 C.322 D.518
答案:C
解析：因为α+π4=(α+β)-β-π4,所以tanα+π4=tan(α+β)-β-π4=tan(α+β)-tanβ-π41+tan(α+β)tanβ-π4=322,故选C。
9.(2019·石家庄模拟)若tan 28°·tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°的值为(　　)。
A.3m B.3(1-m)
C.3(m-1) D.3(m+1)
答案:B
解析：∵28°+32°=60°,∴tan 60°=tan(28°+32°)=tan28°+tan32°1-tan28°tan32°=3,∴tan 28°+tan 32°=3(1-m)。
10.(2019·郑州调考)在△ABC中,∠C=120°,tan A+tan B=233,则tan Atan B的值为(　　)。
A.14 B.13 C.12 D.53
答案:B
解析：∵∠C=120°,∴∠A+∠B=60°,
∴tan(A+B)=tanA+tanB1-tanA·tanB=3,
∴tan A+tan B=3(1-tan A·tan B)=233,
解得tan A·tan B=13。故选B。
11.(2019·长沙调考)已知sin α=55,且α为锐角,tan β=-3,且β为钝角,则α+β的值为(　　)。
A.π4 B.3π4 C.π3 D.2π3
答案:B
解析：sin α=55,且α为锐角,则cos α=255,tan α=12,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=12-31-12×(-3)=-1。又α+β∈π2,3π2,故α+β=3π4。
12.tan π9+tan 2π9+3tan π9tan 2π9的值为　　　。 
答案: 3
解析：tan π9+tan 2π9+3tan π9tan 2π9=tanπ9+2π9·
1-tan π9tan 2π9+3tan π9tan 2π9=31-tan π9tan 2π9+3tan π9tan 2π9=3。
13.若1+tan α+tan β-tan αtan β=0,且α,β∈π2,π,则α+β=　　　。 
答案: 7π4
解析：因为1+tan α+tan β-tan αtan β=0,所以tan α+tan β=-(1-tan αtan β),所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1。又α,β∈π2,π,所以π<α+β<2π,故α+β=7π4。
14.已知tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两根,且0<α<π2,π<β<3π2,求tan(α+β)及α+β的值。
答案: 解:∵tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两根,
∴tan α+tan β=56,tan αtan β=16,
tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=561-16=1。
∵0<α<π2,π<β<3π2,∴π<α+β<2π,∴α+β=5π4。

考点4　两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应 用问题
15.对任意的锐角α,β,下列不等关系中一定成立的是(　　)。
A.sin(α+β)>sin α+sin β
B.sin(α-β)>sin α-sin β
C.cos(α+β) D.cos(α-β) 答案:C
解析：α,β为任意锐角,在(0,π)上余弦函数是减函数,显然cos α>0,cos β>0,cos(α+β) 16.已知函数f(x)=xsin 126°sin(x-36°)+xcos 54°cos(x-36°),则函数f(x)是(　　)。
A.奇函数　　　　　　　B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
答案:B
解析：因为函数的定义域为R,且f(x)=xsin 126°sin(x-36°)+xcos 54°cos(x-36°)=xsin 54°sin(x-36°)+xcos 54°·cos(x-36°)=x[sin 54°sin(x-36°)+cos 54°cos(x-36°)]=xcos[54°-(x-36°)]=xcos(90°-x)=xsin x,所以任取x∈R,f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x),故函数f(x)为偶函数。
17.若3 sin x+cos x=4-m,则实数m的取值范围是(　　)。
A.[2,6] B.[-6,6]
C.(2,6) D.[2,4]
答案:A
解析：∵3sin x+cos x=4-m,∴32sin x+12cos x=4-m2,∴sin π3sin x+cos π3cos x=4-m2,∴cosx-π3=4-m2。∵cosx-π3≤1,∴4-m2≤1,∴2≤m≤6。
18.(2019·广州调考)已知函数f(x)=Asinx+π3,x∈R,且f5π12=322。
(1)求A的值;
答案: ∵f(x)=Asinx+π3,且f5π12=322,
∴Asin5π12+π3=322⇒Asin3π4=322⇒A=3。
(2)若f(θ)-f(-θ)=3,θ∈0,π2,求fπ6-θ的值。
答案: 由(1)知f(x)=3sinx+π3。∵f(θ)-f(-θ)=3,∴3sinθ+π3-3sin-θ+π3=3,展开得312sinθ+32cosθ-332cosθ-12sinθ=3,化简得sin θ=33,∵θ∈0,π2,∴cos θ=63。∴fπ6-θ=3sinπ6-θ+π3=3sinπ2-θ=3cos θ=6。
考点5　给角求值问题
19.sin θ+sinθ+2π3+sinθ+4π3的值为(　　)。
A.0 B.12 C.1 D.2
答案:A
解析：原式=sin θ+sin θcos 2π3+cos θsin 2π3+sin θcos 4π3+cos θsin 4π3=sin θ-12sin θ+32cos θ-12sin θ-32cos θ=0。
20.tan 70°+tan 50°-3tan 50°tan 70°=　　　。 
答案: -3　
解析：∵tan 70°+tan 50°=tan 120°(1-tan 50°·tan 70°)=-3+3tan 50°·tan 70°,
∴原式=-3+3tan 50°·tan 70°-3tan 50°·tan 70°=-3。
考点6　给值求值问题
21.设α∈0,π2,若sin α=35,则cosα+π3的值为(　　)。
A.4+3310 B.4-3310
C.4+335 D.4-334
答案:B
解析：∵α∈0,π2,sin α=35,∴cos α=45,cosα+π3=cos αcos π3-sin αsin π3=4-3310,故选B。
22.已知sin α+cosα-π6=435,则sinα+7π6的值是　　　。 
答案: -45　　
解析：sin α+cosα-π6=sin α+cos αcos π6+sin α·sin π6=32sin α+32cos α=332sinα+12cosα=3sinαcos π6+cosαsin π6=3sinα+π6=435。所以sinα+π6=45。所以sinα+7π6=-sinα+π6=-45。
考点7　给值求角问题
23.已知tan α,tan β是方程x2+33x+4=0的两根,且-π2<α<π2,-π2<β<π2,则α+β的值为(　　)。
A.π3 B.-2π3
C.π3或-2π3 D.-π3或2π3
答案:B
解析：由一元二次方程根与系数的关系得tan α+tan β=-33,tan α·tan β=4,∴tan α<0,tan β<0。
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-331-4=3。
又∵-π2<α<π2,-π2<β<π2,且tan α<0,tan β<0,
∴-π<α+β<0,∴α+β=-2π3。
24.若sinπ4-α=-12,sinπ4+β=32,其中π4<α<π2,π4<β<π2,则α+β的值为　　　。 
答案: 56π
解析：∵π4<α<π2,π4<β<π2,∴-π4<π4-α<0,
π2<π4+β<34π。
∴cosπ4-α=1-sin2π4-α=32,cosπ4+β=-1-sin2π4+β=-12,
∴cos(α+β)=cosπ4+β-π4-α=cosπ4+β·cosπ4-α+sinπ4+βsinπ4-α=-12×32+32×-12=-32。又∵π2<α+β<π,∴α+β=56π。
考点8　两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合问题
25.2sinπ4-x+6sinπ4+x的化简结果是(　　)。
A.22sin5π12+x B.22sinx-5π12
C.22sin7π12+x D.22sinx-7π12
答案:A
解析：2sinπ4-x+6sinπ4+x
=2sinπ2-π4+x+6sinπ4+x
=2cosπ4+x+6sinπ4+x
=2212cosπ4+x+32sinπ4+x
=22sin π6cosπ4+x+cos π6sinπ4+x
=22sinπ6+π4+x=22sin5π12+x。
26.tanπ6-θ+tanπ6+θ+3tanπ6-θtanπ6+θ的值是(　　)。
A.3 B.33
C.23 D.233
答案:A
解析：∵tan π3=tanπ6+π6=tanπ6-θ+π6+θ=
tanπ6-θ+tanπ6+θ1-tanπ6-θ·tanπ6+θ,
∴3=tanπ6-θ+tanπ6+θ1-tanπ6-θ·tanπ6+θ,
∴tanπ6-θ+tanπ6+θ=3-3tanπ6-θ·tanπ6+θ,
∴tanπ6-θ+tanπ6+θ+3tanπ6-θ·tanπ6+θ=3。
27.(2019·广东湛江调考)已知函数f(x)=32sin ωx+12cos ωx(ω>0)的图像的两条相邻对称轴之间的距离为π。
(1)求f-π4的值;
答案: 因为f(x)=32sin ωx+12cos ωx,
所以f(x)=sinωx+π6。
因为函数f(x)的图像的两条相邻对称轴之间的距离为π,
所以T=2π,ω=2πT=1,所以f(x)=sinx+π6。
所以f-π4=sin-π4+π6=sin π6cos π4-cos π6·sin π4=2-64。
(2)若α,β∈0,π2,fα-π6=1213,fβ+5π6=-35,求cos(α+β)的值。
答案: 由(1),得fα-π6=sin α=1213,fβ+5π6=sin(β+π)=-sin β=-35,所以sin β=35。因为α,β∈0,π2,所以cos α=1-sin2α=513,cos β=1-sin2β=45,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=513×45-1213×35=-1665。
第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式答案　 P279
考点1　二倍角的正弦公式的理解和简单应用问题
1.已知cos x=-14,x为第二象限角,那么sin 2x=(　　)。
A.-154 B.±158
C.-158 D.158
答案:C
解析：因为cos x=-14,x为第二象限角,所以sin x=154,所以sin 2x=2sin xcos x=2×154×-14=-158,故选C。
2.已知sin α-2cos α=0,则sin 2α=　　　。 
答案:45
解析：由sin α-2cos α=0,得tan α=sinαcosα=2,则sin 2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45。
考点2　二倍角的余弦公式的理解和简单应用问题
3.(2018·华中师范大学第一附属中学高三押题)已知tan α=12,则cos 2a=(　　)。
A.35 B.25 C.-35 D.-25
答案:A
解析：cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α。
∵tan α=12,∴cos 2α=1-141+14=35,故选A。
4.(2018·湖北黄石二中高一月考)已知x∈-π2,0,cos 2x=a,则sin x=(　　)。
A.1-a2 B.-1-a2
C.1+a2 D.-1+a2
答案:B
解析：a=cos 2x=1-2sin2x,∵x∈-π2,0,∴sin x<0,∴sin x=-1-a2。
考点3　二倍角的正切公式的理解和简单应用问题
5.化简tan14°1-tan214°·cos 28°的结果为(　　)。
A.sin28°2 B.sin 28°
C.2sin 28° D.sin 14°cos 28°
答案:A
解析：tan14°1-tan214°·cos 28°=12×2tan14°1-tan214°·cos 28°=12tan 28°·cos 28°=sin28°2,故选A。
6.若sin α=35,tan(α+β)=1,且α是第二象限角,则tan 2β的值为　　　。 
答案:-724
解析：由sin α=35,且α是第二象限角,可得cos α=-45,所以tan α=-34,所以tan β=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα=1--341+1×-34=7,所以tan 2β=2tanβ1-tan2β=-724。
考点4　二倍角的正弦、余弦、正切公式的灵活应用问题
7.(新课标全国Ⅱ高考)若tan θ=-13,则cos 2θ的值为(　　)。
A.-45 B.-15 C.15 D.45
答案:D
解析：由tan θ=-13,得sinθ=1010,cosθ=-31010或sinθ=-1010,cosθ=31010。
∴cos 2θ=cos2θ-sin2θ=45。
8.(2019·昆明调考)2-sin22+cos4的值是(　　)。
A.sin 2 B.-cos 2
C.3cos 2 D.-3 cos 2
答案:D
解析：2-sin22+cos4=(1-sin22)+(1+cos4)=3cos22=-3cos 2。故选D。
9.(2019·海口调考)若cosπ4-θcosπ4+θ=260<θ<π2,则sin 2θ的值为(　　)。
A.23 B.73 C.76 D.346
答案:B
解析：∵π4-θ+π4+θ=π2,∴cosπ4-θ·cosπ4+θ=26可化简为sinπ4+θcosπ4+θ=26。∴sinπ2+2θ=23,即cos 2θ=23,又0<θ<π2,∴0<2θ<π。∴sin 2θ=1-cos22θ=73。
10.(2019·无锡模拟)若cos 2θ=-34,则sin4θ+cos4θ=　　　。 
答案: 2532
解析：sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-12sin22θ。又cos 2θ=-34,
∴sin22θ=1-cos22θ=716。
∴原式=1-12sin22θ=1-12×716=2532。
11.(2019·武汉二月调考)函数f(x)=cos x-12cos 2x(x∈R)的最大值为　　　。 
答案: 34
解析：∵f(x)=cos x-12cos 2x=cos x-12(2cos2x-1)=-cos2x+cos x+12=-cosx-122+34≤34,∴f(x)max=34
12.(2019·九江调考)已知cosx+π4=35,且17π12 答案: ∵cosx+π4=35,5π3 ∴sinx+π4=-1-352=-45,
tanx+π4=-43。
又sin 2x=-cos 2x+π4=1-2cos2x+π4=1-2×352=725,∴原式=sin2x1+2sin2x2sinxcosx1-tanx=sin 2x·1+tanx1-tanx=sin 2x·tan π4+tanx1-tan π4tanx=sin 2x·tanx+π4=725×-43=-2875。
考点5　给角求值问题
13.(2019·辽宁师范大学附属中学高三上期末)化简cos25°-sin25°sin40°cos40°=(　　)。
A.1 B.2 C.12 D.-1
答案:B
解析：cos25°-sin25°sin40°cos40°=cos10°12sin80°=cos10°12cos10°=2。故选B。
14.3-sin70°2-cos210°=　　　。 
答案:2
解析：3-sin70°2-cos210°=3-sin70°2-1+cos20°2=2(3-cos20°)3-cos20°=2。
考点6　给值求值问题
15.(2019·天津和平区高三上期末)已知tanα+π4=2,则cos 2α=(　　)。
A.-35 B.35 C.-45 D.45
答案:D
解析：由tanα+π4=tanα+11-tanα=2,解得tan α=13,
则cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=1-tan2α1+tan2α=1-191+19=45。故选D。
16.(2019·北京东城区高三上期末)若cos α+sin α=23,则2sin2α-π4+11+tanα的值为(　　)。
A.59 B.0 C.-518 D.-59
答案:D
解析：∵cos α+sin α=23,∴1+2sin αcos α=49,
∴2sin αcos α=-59。
∴2sin2α-π4+11+tanα=2×22(sin2α-cos2α)+11+tanα=
2sinαcosα+2sin2α1+sinαcosα=2sin αcos α=-59。
17.已知角α是第一象限角,且cos α=35,则1+2cos2α-π4sinα+π2=(　　)。
A.25 B.75 C.145 D.-25
答案:C
解析：因为cos α=35且α在第一象限,所以sin α=45。
所以cos 2α=cos2α-sin2α=-725,sin 2α=2sin αcos α=2425,
原式=1+2cos2αcos π4+sin2αsin π4cosα
=1+cos2α+sin2αcosα=145。
考点7　升降幂公式的应用问题
18.当3π<α<4π时,1+cosα2-1-cosα2=(　　)。
A.2sinα2+π4 B.-2 sinα2+π4
C.2sinα2-π4 D.-2sinα2-π4
答案:A
解析：1+cosα2-1-cosα2=cos2α2-sin2α2=cos α2-sin α2,
∵3π<α<4π,∴3π2<α2<2π,∴sin α2<0,cos α2>0。
∴原式=sin α2+cos α2=2sinα2+π4。故选A。
19.在△ABC中,若sin Bsin C=cos2 A2,则△ABC是(　　)。
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案:B
解析：由sin Bsin C=cos2A2得sin Bsin C=1+cosA2,
∴2sin Bsin C=1+cos A,
∴2sin Bsin C=1+cos[π-(B+C)]=1-cos(B+C),
∴2sin Bsin C=1-cos Bcos C+sin Bsin C,
∴cos Bcos C+sin Bsin C=1,∴cos(B-C)=1。
又∵-180° ∴B=C,∴△ABC是等腰三角形。
20.若sin α2=1+sinα-1-sinα,0≤α≤π,则tan α的值是　　　。 
答案: 0或-43
解析：两边平方得sin2α2=2-21-sin2α,
∴1-cosα2=2-2|cos α|。①
当0≤α≤π2时,①式为1-cosα2=2-2cos α,∴cos α=1,
∴α=0,∴tan α=0。
当π2<α≤π时,①式为1-cosα2=2+2cos α,∴cos α=-35,
∴sin α=45,∴tan α=-43。
综上,tan α的值是0或-43。


考点8　综合应用问题
21.若tan θ+1tanθ=4,则sin 2θ=(　　)。
A.15 B.14 C.13 D.12
答案:D
解析：方法一:∵tan θ+1tanθ=1+tan2θtanθ=4,∴4tan θ=1+tan2θ,
∴sin 2θ=2sin θcos θ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθ1+tan2θ=2tanθ4tanθ=12。
方法二:∵tan θ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=1cosθsinθ=2sin2θ,
∴4=2sin2θ,∴sin 2θ=12。
22.函数f(x)=sin2x+3sin xcos x在区间π4,π2上的最大值是(　　)。
A.1 B.1+32 C.32 D.1+3
答案:C
解析：f(x)=1-cos2x2+32sin 2x=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-π6+12,∵π4≤x≤π2,∴π3≤2x-π6≤56π。
∴f(x)max=1+12=32。
23.(2019·河北定州中学高三月考)已知函数f(x)=2·cosx-π12,x∈R。
(1)求f-π6的值;
答案: 因为f(x)=2cosx-π12,
所以f-π6=2cos-π6-π12=2cos-π4=1。
(2)若cos θ=35,θ∈3π2,2π,求f2θ+π3的值。
答案: 因为cos θ=35,θ∈3π2,2π,则sin θ=-45。
所以cos 2θ=2cos2θ-1=2×352-1=-725,
sin 2θ=2sin θcos θ=2×-45×35=-2425。
f2θ+π3=2cos2θ+π4=2cos2θcos π4-
sin2θsin π4=2×-725×22--2425×22=1725。
24.(2019·武汉二月调考)已知函数f(x)=2asin ωxcos ωx+23cos2ωx-3(a>0,ω>0)的最大值为2。x1,x2是集合M={x∈R|f(x)=0}中的任意两个元素,|x1-x2|的最小值为π2。
(1)求a,ω的值;
答案: f(x)=asin 2ωx+3cos 2ωx=a2+3sin(2ωx+φ)。其中tan φ=3a。
由题意知a2+3=2,a>0,则a=1。
由题意易知f(x)的最小正周期为π,则2π2ω=π,故ω=1。
(2)若f(α)=23,求sin5π6-4α的值。
答案: 由(1)知f(x)=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+π3。
由f(α)=23知2sin2α+π3=23,即sin2α+π3=13。
∴sin5π6-4α=sin3π2-4α+2π3=-cos4α+2π3=-1+2sin22α+π3=-1+2×132=-79。