高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算免费同步训练题

第一章　空间向量与立体几何

1.1　空间向量及其运算

1.1.1　空间向量及其线性运算

基础过关练

题组一　空间向量的基本概念

1.下列关于空间向量的命题中,正确命题的个数是(　　)

①任一向量与它的相反向量都不相等;

②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;

③平行且模相等的两个向量是相等向量;

④若a≠b,则|a|≠|b|;

⑤两个向量相等,则它们的起点与终点相同.　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.0 B.1 C.2 D.3

2.下列说法正确的是(深度解析)

A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b

B.若a、b为相反向量,则a+b=0

C.零向量是没有方向的向量

D.若a、b是两个单位向量,则a=b

3.(2020山东烟台高二上期中)下列命题是真命题的是(　　)

A.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量

B.=的充要条件是A与C重合,B与D重合

C.若向量,满足||>||,且与同向,则>

D.若两个非零向量与满足+=0,则∥

4.如图所示,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是(　　)

A.与 B.与

C.与 D.与

题组二　空间向量的加法与减法

5.(2020北京第八中学高二上期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量的是(　　)

①--;②+-;

③-+;④-+.

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

6.已知A,B,C,D为空间中任意四个点,则+-等于(　　)

A. B. C. D.

7.已知四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(　　)

A.空间四边形 B.平行四边形

C.等腰梯形 D.矩形

8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则=　　　　.(用a,b,c表示) 

题组三　空间向量的数乘运算

9.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,N是BC的中点,用a,b,c表示为(　　)

A.-a+b+c B.-a+b+c

C.-a-b+c D.a-b+c

10.(2020广东深圳实验学校高二上期中)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M.设=a,=b,=c,则下列向量中与2相等的向量是(　　)

A.-a+b+2c B.a+b+2c

C.a-b+2c D.-a-b+2c

11.(2020山西忻州一中高二上期中)在空间四边形ABCD中,若△BCD是正三角形,且E为其中心,连接DE,则+--的化简结果为　　　　. 

12.(2020浙江宁波高二上期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,=,若=x+y(+),则x=　　　　,y=　　　　. 

题组四　空间向量共线、共面问题

13.设a,b是不共线的两个向量,且λa+μb=0,λ,μ∈R,则(　　)

A.λ=μ=0 B.a=b=0

C.λ=0,b=0 D.μ=0,a=0

14.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　)

A.A,B,D B.A,B,C

C.B,C,D D.A,C,D

15.(2020广东广州二中高二月考)已知空间任一点O和不共线的三点A,B,C,下列能得到P,A,B,C四点共面的是(　　)

A.=++

B.=++

C.=-++

D.以上都不对

16.有下列说法:

①若p=xa+yb,则p与a,b共面;

②若p与a,b共面,则p=xa+yb;

③若=x+y,则P,M,A,B共面;

④若P,M,A,B共面,则=x+y.

其中正确的是(　　)

A.①②③④

B.①③④

C.①③

D.②④

17.已知点P和不共线的三点A,B,C四点共面且对于空间任意一点O,都有=2++λ,则λ=　　　　. 

18.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于　　　　. 

19.如图,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求证:向量,,共面.

20.如图所示,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,求证:E,F,B,D四点共面.

答案全解全析

基础过关练

1.B　零向量与它的相反向量相等,①错;由相等向量的定义知,②正确;两个向量平行且模相等,方向不一定相同,故不一定是相等向量,③错;a≠b,可能两个向量模相等而方向不同,④错;两个向量相等,是指它们方向相同,大小相等,向量可以在空间自由移动,故起点和终点不一定相同,⑤错.故选B.

2.B　若|a|=|b|,则它们的方向相同时是相等向量,方向相反时是相反向量,还有可能方向既不相同,也不相反,A错;若a、b为相反向量,则它们的和为零向量,B对;零向量的方向是任意的,C错;两个单位向量只是模都为1,方向不一定相同,D错.故选B.

方法归纳　①在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全相同;

②由于向量是由其大小和方向两方面确定的,因此解答空间向量有关概念问题时,要抓住这两点;

③零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任意向量都共线,这一点说明共线向量不具备传递性.

3.D　因为空间中任意两向量平移之后都可以共面,所以空间中任意两向量均共面,选项A是假命题;

由=知,||=||,且与同向,但A与C,B与D不一定重合,选项B是假命题;

因为空间向量不能比较大小,只能对向量的长度进行比较,因此也就没有>这种写法,选项C是假命题;

因为+=0,所以=-,即与共线,故∥,选项D是真命题.

故选D.

4.D　因为=,所以四边形ABCD是平行四边形,结合平行四边形的性质及相等向量的定义知,=,=,=,故选D.

5.C　--=-=,①错;

+-=+-=+=,②错;

-+=+=,③对;

-+=-+=,④对.故选C.

6.D　+-=+=-=.

7.B　由已知可得=,由相等向量的定义可知,四边形ABCD的一组对边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形,故选B.

8.答案　b-a-c

解析　如图,=-=--=b-a-c.

9.A　∵N是BC的中点,

∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.故选A.

10.A　=+=+(+)=c+(-a+b),所以2=2c-a+b,故选A.

11.答案　0

解析　延长DE,交BC于点F,则F为BC的中点,∴=,=,

∴+--=+++=0.

12.答案　1;

解析　=+=+=+(+),∴x=1,y=.

13.A　若λ≠0,则a=-b,与已知a,b不共线矛盾,故λ=0,同理μ=0,故选A.

14.A　因为+==2a+4b=2(a+2b)=2,所以A,B,D三点共线.

15.B　若点P,A,B,C共面,设=x+y+z,则x+y+z=1,满足条件的只有B,故选B.

16.C　若a,b共线,由p=xa+yb知p一定与a,b共面,若a,b不共线,则满足共面定理,p与a,b共面,①对;同理③对;若p与a,b共面,且a,b共线,则不一定有p=xa+yb,故②不对;同理④不对,故选C.

17.答案　-2

解析　对于空间不共线的三点A,B,C和点P,若四点共面,则对空间任意一点O,都有=x+y+z,其中x+y+z=1,所以λ=-2.

18.答案　

解析　若向量a,b,c共面,则存在x,y∈R,使得a=xb+yc,

∴2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+λk),

∴

解得λ=.

19.证明　由题图知,=-=-=+-(+)=-,

所以向量,,共面.

20.证明　设=a,=b.

则=+=b+a,

=+=b+a=,

所以∥,

而E,F,B,D四点不共线,

因此DB∥FE,故E,F,B,D四点共面.