2020-2021学年7.1 角与弧度习题

7.1.2　弧度制

基础过关练

题组一　角度与弧度的互化

1.(2020重庆云阳江口中学月考)已知α=1 845°,则可用弧度制表示为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.10π B. C. D.

2.(2020福建福州平潭新世纪学校月考)将-300°化为弧度为(　　)

A.- B.- C.- D.-

3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为　　　　. 

题组二　用弧度表示终边相同的角

4.将-1 485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是(　　)

A.--8π B.-8π

C.-10π D.-10π

5.下列各对角中,终边相同的角是(　　)

A. B.-

C. D.-

6.若把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,则使|θ|最小的θ的值是　　　　. 

7.终边在第一或第四象限的角组成的集合用弧度制可表示为　　　　　　　　　　　　　. 

8.用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角组成的集合(包括边界,如图所示).

题组三　扇形弧长及面积公式的运用

9.(2020重庆广益中学高一上学期月考)若半径为2的扇形面积为,则扇形的圆心角为(　　)

A. B. C. D.

10.(2020江苏南通如皋中学高一上学期期末)已知长为π cm的弧所对的圆心角为,则这条弧所在的扇形的面积为(　　)

A.π cm2 B.4π cm2 C.2π cm2 D.π cm2

11.若扇形的半径扩大到原来的2倍,弧长也扩大到原来的2倍,则(　　)

A.扇形的面积不变

B.扇形的圆心角度数不变

C.扇形的面积扩大到原来的2倍

D.扇形的圆心角度数扩大到原来的2倍

12.(2020江苏苏苑高级中学高一月考)已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为　　　　. 

13.如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,边AB的长为半径作扇形EAB,若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为　　　　. 

14.已知扇形的周长为a,当扇形的圆心角为多少时,扇形的面积最大?并求出这个最大值.

能力提升练

题组一　用弧度表示终边相同的角

1.()已知角α的终边与角的终边相同,则在[0,2π)内,终边与角终边相同的角为　　　　　　　. 

2.()已知角α=1 200°.

(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限的角;

(2)在区间[-4π,π]内找出所有与角α终边相同的角.

3.()若角α1=-570°,α2=750°,β1=.

(1)将α1,α2用弧度制表示,并指出它们的终边各在哪个象限;

(2)将β1,β2用角度制表示,并在-720°~0°范围内找出与它们终边相同的角.

题组二　扇形弧长及面积公式的应用

4.(2020安徽怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、涡阳一中高三联考,)《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的手臂长约为米,肩宽约为米,“弓”所在圆的半径约为1.25米,则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据:≈1.414,≈1.732)(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1.012米 

B.1.768米

C.2.043米

D.2.945米

5.()若扇形的圆心角是,半径为R,则扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为(　　)

A.1∶2 B.1∶3 

C.2∶3 D.3∶4

6.(2018江苏南通如东高一期末,)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形AOD挖去扇形BOC后构成).已知OA=10 m,OB=x m(0<x<10),线段BA,CD与弧BC,弧AD的长度之和为30 m,设圆心角为θ.

(1)求θ关于x的函数解析式;

(2)若铭牌的截面面积为y,试问当x取何值时,y的值最大?并求出最大值.

答案全解全析

7.1.2　弧度制

基础过关练

1.D　∵180°=π,∴1°=,

∴1 845°=1 845×.

故选D.

2.B　∵π=180°,∴1°=,

∴-300°=-300×.故选B.

3.答案　-

解析　∵分针每分钟转-6°,∴分针在1点到3点20分这段时间里转过的度数为-6°×(2×60+20)=-840°,∴-840×.

4.D　∵-1 485°=-5×360°+315°,2π rad=360°,315°= rad,

∴-1 485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是-10π.故选D.

5.D　A错,+10π,终边不相同;

B错,+6π,其终边与-的终边不相同;

C错,因为的终边在y轴的负半轴上,而-的终边在y轴的正半轴上,所以终边不相同;

D正确,因为--2π,所以-和-的终边相同.

6.答案　-

解析　-可表示为--2π,此时|θ|最小,∴θ=-.

7.答案　∪,k∈Z

8.解析　(1)α-+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z.

(2).

9.B　设扇形的圆心角大小为α,半径为r,

则由S=αr2,得×α×22,解得α=.故选B.

10.C　∵长为π cm的弧所对的圆心角为,∴r=π,∴r=4(cm),∴S=×16=2π(cm2).故选C.

11.B　设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,由S=rl知扇形的面积扩大到原来的4倍,所以A、C错误.因为|α|=,所以B正确,D错误.

12.答案　6

解析　设扇形的弧长为l,半径为r,则rl=2,l=4r,解得l=4,r=1,故扇形的周长为l+2r=6.

13.答案　2-

解析　设正方形的边长为a,∠EAD=α,

由已知可得a2-αa2,

故α=2-.

14.解析　设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角的大小为α,面积为S.

由已知得,2r+l=a,即l=a-2r,

∴S=.

∵r>0,l=a-2r>0,∴0<r<,

∴当r=时,Smax=,

此时,l=a-2×,

∴|α|==2.

故当扇形的圆心角为2 rad时,扇形的面积最大,最大值为.

能力提升练

1.答案　

解析　由题意得α=+2kπ(k∈Z),

故(k∈Z),

因为0≤<2π,所以k的值取0,1,2,分别为.

2.解析　(1)∵α=1 200°=1 200×,∴角α与角的终边相同,

又∵<π,∴角α是第二象限的角.

(2)∵与角α终边相同的角(含角α)可表示为+2kπ,k∈Z,且-4π≤+2kπ≤π(k∈Z),

∴-≤k≤(k∈Z),

∴k=-2或k=-1或k=0,

∴在区间[-4π,π]内与角α终边相同的角有-.

3.解析　(1)-570°=-570×,其终边位于第二象限.同理,750°=,其终边位于第一象限.

(2)β1==108°,108°-360°=-252°,108°-2×360°=-612°.

同理,β2=-=-420°,-420°+360°=-60°.

综上,在-720°~0°范围内与β1终边相同的角为-252°,-612°.与β2终边相同的角为-60°.

4.B　由题意得,“弓”所在弧长l=(米),其所对圆心角α=,

故掷铁饼者双手之间的距离d=≈1.768(米).

故选B.

5.C　如图,∵扇形的圆心角是,半径为R,

∴S扇形=.

∵扇形的内切圆圆心在扇形圆心角的角平分线上,设内切圆半径为r,

∴r+2r=R,∴r=,∴S内切圆=.

∴扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为∶=2∶3.故选C.

6.解析　(1)根据题意,可得弧BC的长度l=xθ m,弧AD的长度l=10θ m.

因为BA+CD+l=30 m,

所以(10-x)+(10-x)+xθ+10θ=30,

所以θ=,0<x<10.

(2)根据题意,可知y=S扇形AOD-S扇形BOC=,所以当x=(满足条件0<x<10)时,ymax= m2.综上所述,当x=时,铭牌的截面面积最大,且最大面积为 m2.