数学7.1 角与弧度教案配套课件ppt

7.1.2　弧度制

课标要求　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.

素养要求　1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升学生的数学运算素养.

一、度量角的两种单位制

1.思考　(1)在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？

提示　周角的 等于1度.

(2)在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用“尺”作单位，有不同的单位制.度量质量时，可以使用“千克”“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度制之外，是否也有不同的单位制呢？

提示　有不同的单位制，即弧度制.

2.填空

温馨提醒　注意区分弧度与角度表示的角，如1°的角和1弧度的角是不一样大的.

3.做一做　思考辨析，判断正误

(1)1弧度的角是周角的.(　　)

(2)1 rad的角和1°的角大小相等.(　　)

(3)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(　　)

(4)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.(　　)

提示　(1)×　1弧度的角是周角的.

(2)×　1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝ rad.

(3)√　“1弧度的角”的大小为长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.

(4)√

二、弧度数

1.思考　(1)在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？

提示　把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示.

(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？

提示　“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.

2.填空　(1)正角：正角的弧度数是正数.

(2)负角：负角的弧度数是负数.

(3)零角：零角的弧度数是0.

(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.

温馨提醒　不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.

3.做一做　思考辨析，判断正误

(1)在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等.(　　)

(2)一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.(　　)

提示　(1)×　这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同.

(2)√

三、角度制与弧度制的换算

1.思考　(1)在角度制中，把圆周等分成360份，其中的一份是多少度？

提示　周角为360°，均分成360份，则每份为1°.

(2)半径为1的圆的周长是2π，即周长为2π时，对应的圆心角为360°，那么弧长为π时，对应的圆心角是多少？

提示　因为圆的周长为2π，故弧长为π时，对应的圆心角为180°.

2.填空

温馨提醒　角度制与弧度制互化

(1)利用π＝180°，经过变形后代入进行互化；

(2)如果含有分、秒的角度，需要先化为度再转化为弧度.

3.做一做　(1)－120°化为弧度为(　　)

A.－   B.－

C.－   D.－

(2)将112°30′化为弧度为________ .

答案　(1)C　(2) rad

解析　(1)由于1°＝ rad，

所以－120°＝－120× rad＝－ rad.

(2)因为1°＝ rad，

所以112°30′＝112.5× rad＝ rad.

四、扇形的弧长和面积公式

1.思考　(1)半径为r的圆中，1°的圆心角所对的弧长是多少？所得的扇形面积是多少？

提示　因为半径为r的圆的周长为2πr，面积是πr2，故1°的圆心角所对的弧长是：l＝＝，扇形的面积是：S＝ .

(2)若扇形的圆心角为α(0<α<2π)，如何由角度制下的扇形的弧长和面积公式得出弧度制下的公式？

提示　由α＝，所以n＝，

所以l＝ × ＝αr.

S＝  ×  ＝α·r2＝lr.

2.填空　如图：(1)则有l＝|α|·r.

若r＝1，则有l＝|α|.

(2)若|α|≤2π，则圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝rl.

温馨提醒　涉及扇形的圆心角、弧长、弦长、周长、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用勾股定理、弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.

3.做一做　(1)已知扇形的半径为2 cm，面积为8 cm2，则扇形圆心角的弧度数为(　　)

A.1   B.2  C.3   D.4

答案　D

解析　设扇形圆心角的弧度数为α，则根据扇形面积公式S＝αr2，代入可得：8＝α×22＝2α，解得α＝4.

(2)(教材二次开发：例题改编)圆的半径是6 cm，则圆心角为15°的扇形面积是________.

答案　π  cm2

解析　因为15°＝，所以面积S＝αR2＝××36＝π(cm2).

五、角与实数的关系

在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系.

如图所示：

题型一　角度与弧度的互化

例1 将下列角度与弧度进行互化：

(1)20°；(2)－800°；(3)；(4)－π.

解　(1)20°＝20×＝；

(2)－800°＝－800×＝－π；

(3)＝×°＝105°；

(4)－π＝－π×°＝－144°.

思维升华　角度制与弧度制互化的原则和方法

(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算.

(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·°；n°＝n·.

训练1 (1)把67°30′化成弧度；

(2)把－化成度.

解　(1)67°30′＝°＝×＝.

(2)－＝－×°＝－75°.

题型二　用弧度制表示角的集合

例2 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图).

解　(1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为.

(2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是.

思维升华　根据已知图形写出区域角的集合的步骤

(1)仔细观察图形.

(2)写出区域边界作为终边时角的表示.

(3)用不等式表示区域范围内的角.

(4)按逆时针方向书写.

训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；

(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.

解　(1)∵－1 480°＝－＝－10π＋，

又0＜π＜2π，

∴－1 480°＝π＋2×(－5)π.

(2)∵β与α终边相同，

∴β＝α＋2kπ＝π＋2kπ(k∈Z).

又β∈[－4π，0]，

∴β1＝π－2π＝－π，

β2＝π－4π＝－π.

∴β＝－π或β＝－π.

题型三　弧长公式与面积公式的应用

例3 如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形，某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知∠AOB＝60°，的长度为100π m.怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？

解　如图所示，

∵∠AOB＝60°＝，的长度为100π m，∴OA＝＝300(m).

根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB的内切圆时，广场的占地面积最大.

设⊙O1与OA切于C点.连接O1O，O1C，

则∠O1OC＝30°＝，

OO1＝OA－O1C＝300－O1C，

又O1C＝O1O·sin ，

故O1C＝(300－O1C)·，

解得O1C＝100(m).

这时⊙O1的面积为π·1002＝10 000π(m2).

故当圆形广场的半径为100 m且为扇形的内切圆时，广场的占地面积最大，且最大面积为10 000π m2.

思维升华　扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法

首先，将角度转化为弧度表示.弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π).其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意：

(1)看清角的度量制，选用相应的公式；

(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题.

训练3 我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多.某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB＝，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内).在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里.求海域ABCD的面积.

解　∵∠AOB＝，在海岸线外侧20海里内为海域ABCD，AB＝100，∴AD＝BC＝20，OA＝OB＝AB＝100，

∴OD＝OA＋AD＝100＋20＝120，

∴S海域ABCD＝·π(OD2－OA2)＝π·(1202－1002)

＝(平方海里).

[课堂小结]

1.掌握3个知识点

①弧度制的概念.②弧度与角度的相互转化.③扇形的弧长与面积的计算.

2.注意2个易错点

(1)弧度与角度不能混用.

(2)弧长和扇形面积公式

(l＝|α|r，S＝·πr2＝lr)，

使用的前提条件是在弧度制下.

一、基础达标

1.下列角中，与α＝＋2kπ(k∈Z)终边相同的角是(　　)

A.345°   B.375° 

C.－   D.

答案　B

解析　因为k＝1时，α＝＋2π＝375°，所以选B.

2.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为(　　)

A.3   B.6 

C.9   D.12

答案　B

解析　设扇形的半径为R，由题意可得＝3，则R＝2，扇形的面积S＝lR＝×6×2＝6.

3.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为(　　)

A.sin 2   B.

C.2sin 1   D.tan 1

答案　B

解析　由图可知，弦长AB＝2，所以半径为，由弧长公式可得lAB＝αr＝，故选B.

4.集合中的角的终边所构成的区域(阴影部分)是(　　)

答案　C

解析　k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).故选C.

5.如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为S2，则＝(　　)

A.   B. 

C.   D.1

答案　B

解析　∵正八边形的内角和为α1＝(8－2)×180°＝6×180°＝1 080°＝6π，

正八边形外侧八个扇形(阴影部分)的内角和为α2＝360°×8－1 080°＝2 880°－1 080°＝1 800°＝10π，

∴＝＝＝.

6.把－690°角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________.

答案　－4π＋

解析　法一　－690°＝－690×＝－π.

因为－π＝－4π＋，

所以－690°＝－4π＋.

法二　－690°＝－2×360°＋30°，

则－690°＝－4π＋.

7.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________.

答案　2

解析　由扇形面积公式S＝lr＝l·＝，知1＝，所以α＝2.

8.分别以边长为1的正方形ABCD的顶点B，C为圆心，1为半径作圆弧AC，BD交于点E，则曲边三角形ABE的周长为________.

答案　1＋

解析　如图，连接CE，得△CEB为正三角形，∴l＝l.

又l＝×1＝，

∴曲边三角形ABE的周长为l＋l＋AB＝l＋1＝1＋.

9.如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在阴影部分的角的集合.

解　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成.故满足条件的角的集合为

.

(2)将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为.

(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为

.

(4)将第二象限的阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为.

10.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD与弧BC、弧AD的长度之和为30 m，设圆心角为θ弧度.

(1)求θ关于x的函数解析式；

(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.

解　(1)根据题意，可得l＝x·θ(m)，l＝10θ(m).

因为BA＋CD＋l＋l＝30，所以(10－x)＋(10－x)＋xθ＋10θ＝30，

所以θ＝(0<x<10).

(2)根据题意，可知y＝S扇形OAD－S扇形OBC＝θ×102－θx2，将θ＝代入，

化简得y＝－x2＋5x＋50＝－＋(0＜x＜10).

所以当x＝(满足条件0<x<10)时，ymax＝(m2).

综上所述，当x＝ m时铭牌的面积y最大，且最大面积为 m2.

二、能力提升

11.某次帆船比赛LOGO(如图1)的设计方案如下：在Rt△ABO中挖去以点O为圆心，OB为半径的扇形BOC(如图2)，使得扇形BOC的面积是Rt△ABO面积的一半.设∠AOB＝αrad，则的值为________.

答案　

解析　设BO＝a，AB＝b，则三角形BAO的面积为，扇形BOC的面积为αa2.

由题得＝αa2，故＝2α.

因为tan α＝，所以＝.

12.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式.如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是________，弧田的面积是________.

答案　6　12π－9

解析　设弧所对的圆心角为α，由题意可得4π＝6·α，α＝π，∠OAB＝，

可得AB＝2OA·cos＝2×6×＝6.弧田的面积为扇形的面积减去△OAB的面积，可得S弧田＝×π·62－×6×6·sin 30°＝12π－9.

13.在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案.

(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；

(2)比较两种方案中的扇形面积的大小.

解　(1)方案一：可得∠OAD＝，R1＝2，所以扇形的周长为C1＝2R1＋·R1＝2×2＋＝4＋；

方案二：可得∠MON＝，R2＝1，所以扇形的周长为C2＝2R2＋·R2＝2×1＋＝2＋，

所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|C1－C2|＝＝2－.

(2)由(1)，根据扇形的面积公式可得

方案一：扇形面积为S1＝α1R＝××22＝；

方案二：扇形面积为S2＝α2R＝××12＝.

∴S1＝S2，即两种方案中的扇形面积相等.

三、创新拓展

14.已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.

(1)求弦AB所对的圆心角α(0＜α＜π)的大小；

(2)求圆心角α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.

解　(1)∵圆O的半径为10，弦AB的长为10，∴△AOB为等边三角形，

∴α＝∠AOB＝.

(2)∵α＝，∴l＝αr＝，

S扇形＝lr＝××10＝.

又∵S△AOB＝×10×10×＝25，

∴S＝S扇形－S△AOB＝－25.