专题06 椭圆模型(原卷版)

这是一份专题06 椭圆模型(原卷版)，共7页。试卷主要包含了如图，已知椭圆C，设P为椭圆C等内容，欢迎下载使用。

(1)椭圆定义：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)．如图(1)
图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
(2)点P(x0，y0)和椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的关系
P(x0，y0)在椭圆内⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1；P(x0，y0)在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；P(x0，y0)在椭圆外⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1．
(3)如图(5)，椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为|AB|＝eq \f(2b2,a)，通径是最短的焦点弦．过焦点最长弦为长轴．过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b．

图(5) 图(6) 图(7)
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中如图(6)：
①△PF1F2的周长为2(a＋c)．②S＝b2taneq \f(θ,2)．
(5)如图(7)P为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，当椭圆上点P在短轴端点时与两焦点连线的夹角最大．
(6)P为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则P到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c．
(7)如图(8)设P，A，B是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2)＝e2－1．

图(8) 图(9)
(8)如图(9)设A，B是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·kOP＝－eq \f(b2,a2)＝e2－1．
【例题选讲】
[例1] (1)(2019·全国Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．
答案 (3，eq \r(15)) 解析 设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1上，所以联立方程可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋42＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，eq \r(15))．
(2)已知椭圆E：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，则l的方程为( )
A．2x＋9y－10＝0 B．2x－9y－10＝0 C．2x＋9y＋10＝0 D．2x－9y＋10＝0
答案 D 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(x\\al(2,1),9)＋eq \f(y\\al(2,1),4)＝1，eq \f(x\\al(2,2),9)＋eq \f(y\\al(2,2),4)＝1，两式作差并化简整理得eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－eq \f(4,9)×eq \f(x1＋x2,y1＋y2)，而x1＋x2＝－1，y1＋y2＝2，所以eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－eq \f(4,9)×eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝eq \f(2,9)，直线l的方程为y－1＝eq \f(2,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，即2x－9y＋10＝0.经验证可知符合题意．故选D．
(3)设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，上下顶点分别为A、B，直线AF2与该椭圆交于A、M两点．若∠F1AF2＝120°，则直线BM的斜率为( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(\r(3),4) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \r(3)
答案 B 解析 由题意，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且满足∠F1AF2＝120°，如图所示，
则在△AF2O中，|OA|＝b，|AF2|＝a，且∠OAF2＝60°，所以a＝2b，不妨设b＝1，则a＝2，所以c＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(3)，则椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，又由A(0,1)，F2(eq \r(3)，0)，所以kAF2 ＝－eq \f(\r(3),3)，所以直线AF2的方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x＋1，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(\r(3),3)x＋1,\f(x2,4)＋y2＝1))，整理得7x2－8eq \r(3)x＝0，解得x＝0或x＝eq \f(8\r(3),7)，把x＝eq \f(8\r(3),7)代入直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋1，解得y＝－eq \f(1,7)，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8\r(3),7)，－\f(1,7))) ，又由点B(0，－1)，所以BM的斜率为kBM＝eq \f(－\f(1,7)－－1,\f(8\r(3),7)－0)＝eq \f(\r(3),4)，故选B．
(4)已知P为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上的一个动点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若|PF1|·|PF2|＝eq \f(24,7)，则d＝________．
答案 eq \f(\r(14),2) 解析 法一：因为点P在椭圆上，所以有|PF1|＋|PF2|＝4，又因为|PF1|·|PF2|＝eq \f(24,7)，由余弦定理可得cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq \f(3,4)，所以有sin∠F1PF2＝eq \f(\r(7),4)，所以△F1PF2的面积为S＝eq \f(1,2)×eq \f(24,7)×eq \f(\r(7),4)＝eq \f(1,2)×2×yp，解得yp＝eq \f(3,\r(7))，因为点P在椭圆上，所以xp＝eq \a\vs4\al(\f(4,\r(7)))．所以过该点的椭圆的切线方程为eq \f(\a\vs4\al(\f(4,\r(7)))x,4)＋eq \f(\f(3,\r(7))y,3)＝1，即为x＋y＝eq \r(7)．所以原点O到直线的距离为d＝eq \f(\r(7),\r(2))＝eq \f(\r(14),2)．
法二：设P(m，n)，则切线方程为eq \f(mx,4)＋eq \f(ny,3)＝1，即3mx＋4ny－12＝0．所以原点O到该切线的距离d＝eq \a\vs4\al(\f(12,\r(9m2＋16n2)))．因为点P(m，n)在椭圆上，所以eq \f(m2,4)＋eq \f(n2,3)＝1，所以有n2＝3－eq \f(3m2,4)，所以d＝eq \f(4\r(3),\r(16－m2))．因为|PF1||PF2|＝eq \f(24,7)，所以有eq \r(m＋12＋n2) eq \r(m－12＋n2)＝eq \f(24,7)，即有 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(1,4)m2))＋2m) eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(1,4)m2))－2m)＝4－eq \f(1,4)m2＝eq \f(24,7)，解得16－m2＝eq \f(96,7)，所以d＝eq \f(4\r(3),\r(16－m2))＝eq \f(\r(14),2)．
(5)已知直线MN过椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则eq \f(|PQ|2,|MN|)＝________．
答案 2eq \r(2) 解析 方法一特殊化，设MN⊥x轴，则|MN|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，|PQ|2＝4，eq \f(|PQ|2,|MN|)＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2)．
方法二 由题意知F(－1，0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝eq \f(2b2,a)＝eq \r(2)，|PQ|＝2b＝2，则eq \f(|PQ|2,|MN|)＝2eq \r(2)；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，则MN的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x＋1)，,\f(x2,2)＋y2＝1，))整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0．由根与系数的关系，得x1＋x2＝－eq \f(4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq \f(2k2－2,2k2＋1)，则|MN|＝eq \r(1＋k2)eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq \f(2\r(2)(k2＋1),2k2＋1)．直线PQ的方程为y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx，,\f(x2,2)＋y2＝1，))解得x2＝eq \f(2,1＋2k2)，y2＝eq \f(2k2,1＋2k2)，则|OP|2＝xeq \\al(2,3)＋yeq \\al(2,3)＝eq \f(2(1＋k2),1＋2k2)，又|PQ|＝2|OP|，所以|PQ|2＝4|OP|2＝eq \f(8(1＋k2),1＋2k2)，所以eq \f(|PQ|2,|MN|)＝2eq \r(2)．综上，eq \f(|PQ|2,|MN|)＝2eq \r(2)．
(6)已知点P(x，y)在椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,100)＝1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的面积为18，则∠F1PF2的余弦值为________．
答案 eq \f(3,5) 解析 椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,100)＝1的两个焦点为F1(0，－8)，F2(0，8)，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝20，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝202，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs∠F1PF2＝162，两式相减得2|PF1||PF2|(1＋cs∠F1PF2)＝144．又S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝18，所以1＋cs∠F1PF2＝2sin∠F1PF2，解得cs∠F1PF2＝eq \f(3,5)．
(7)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋eq \r(2)y－2eq \r(2)＝0与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相切，且椭圆C的右焦点F(c，0)关于直线l：y＝eq \f(c,b)x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2) C．1 D．2
答案 C 解析 联立方程可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\r(2)y－2\r(2)＝0，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去x，化简得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0．设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E，易知F′E∥l，所以F′E⊥EF，又点F到直线l的距离d＝eq \f(c2,\r(c2＋b2))＝eq \f(c2,a)，所以|EF|＝eq \f(2c2,a)，|F′E|＝2a－|EF|＝eq \f(2b2,a)，在Rt△F′EF中，|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化简得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，所以|EF|＝|F′E|＝2，所以S△OEF＝eq \f(1,2)S△F′EF＝1．
(8)如图所示，A1，A2是椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则＝( )
A．eq \f(3,2) B．eq \f(2,3) C．eq \f(9,4) D．eq \f(4,9)
答案 C 解析 由题意以及选项的值可知：是常数，取M为椭圆的左顶点，由椭圆的性质可知N在x的正半轴上，如图：则A1(0，2)，A2是(0，－2)，M(－3，0)，由OM·ON＝OAeq \\al(2,1)，可得ON＝eq \f(4,3)，则＝eq \f(\f(1,2)|OM|·|A1A2|,\f(1,2)|ON|·|A1A2|)＝eq \f(|OM|,|ON|)＝eq \f(3,\f(4,3))＝eq \f(9,4)，故选C．
【对点训练】
1．已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1上的两点A，B关于直线2x－2y－3＝0对称，则弦AB的中点坐标为________．
2．已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段
AB的中点为M，则直线OM与直线l的斜率之积为( )
A．－9 B．－eq \f(9,2) C．－eq \f(1,9) D．－3
3．P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过P点作PH⊥F1F2于点H，若PF1⊥
PF2，则|PH|＝( )
A．eq \f(25,4) B．eq \f(8,3) C．8 D．eq \f(9,4)
4．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC
边上，则△ABC的周长是( )
A．2eq \r(3) B．6 C．4eq \r(3) D．12
5．设F1，F2为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则eq \f(|PF2|,|PF1|)的值为( )
A．eq \f(5,14) B．eq \f(5,13) C．eq \f(4,9) D．eq \f(5,9)
6．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为
椭圆的右焦点，则∠ABF＝( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
7．已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是( )
A．eq \r(2) B．2 C．2eq \r(2) D．eq \r(3)
8．设P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为G，若|PF1|
∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A．24 B．12 C．8 D．6