人教新课标A版选修1-1 综合测试（含答案）

这是一份高中数学人教版新课标A选修1-1本册综合课后作业题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教新课标A版选修1-1
综合测试
一、单选题
1.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（   ）

A. y=±3x                         B. y=±33x                         C. y=±x                         D. y=±2x
2.已知函数 g(x)=lnx+34x−14x−1 ， f(x)=x2−2tx+4 ，若对任意的 x1∈(0,2) ,存在 x2∈[1,2] ，使 g(x1)≥f(x2) ，则实数t的取值范围是(    )
A. (2,178]                            B. [178,+∞)                            C. [2,+∞)                            D. [1,+∞)
3.已知点 A(0,−1) 是抛物线 x2=2py 的准线上一点， F 为抛物线的焦点， P 为抛物线上的点，且 |PF|=m|PA| ，若双曲线 C 中心在原点， F 是它的一个焦点，且过 P 点，当 m 取最小值时，双曲线 C 的离心率为（   ）
A.2 B.3 C.2+1 D.3+1
4.如图，已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，以 OF2 为直径的圆与双曲线 C 的渐近线在第一象限的交点为 P ，线段 PF1 与另一条渐近线交于点 Q ，且 △OPF2 的面积是 △OPQ 面积的 2 倍，则该双曲线的离心率为（    ）

A. 32                                       B. 322                                       C. 2                                       D. 3
5.已知函数 f(x)=12ex−32e−x ，则曲线 y=f(x) 上任意一点处的切线的倾斜角 α 的取值范围是（   ）
A. (0 ， π3]                           B. (π2 ， 2π3]                           C. [π3 ， π2)                           D. [π3 ， π)
6.已知命题 p ：在 ΔABC 中，若 A>B ，则 cosA+cosB>0 ，命题 q ：在等比数列 {an} 中，若 a2a6=16 ，则 a4=4 .下列命题是真命题的是（    ）
A. p∧(¬q)                          B. (¬p)∨q                          C. (¬p)∧(¬q)                          D. p∧q
7.己知函数 f(x)=x(x−c)2 ，在 x=2 处取得极大值，则实数c的值是（    ）
A. 23                                         B. 2                                         C. 2或6                                         D. 6
8.设椭圆 C ： x2a2+y24=1 ( a>2 )的左､右焦点分别为 F1 ， F2 ，直线 l ： y=x+t 交椭圆 C 于点 A ， B ，若 △F1AB 的周长的最大值为12，则 C 的离心率为（    ）
A. 33                                       B. 53                                       C. 223                                       D. 59
9.若函数 f(x)=ln(ex−1+e1−x)−2 与 g(x)=sinπx2 图像的交点为 (x1,y1) , (x2,y2) ，…， (xm,ym) ，则 i=1mxi= （   ）
A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8
10.已知函数f(x)= x3+ax2+bx+c ,下列结论中错误的是（   ）
A. ∃   x0∈R , f( x0 )=0
B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C. 若 x0 是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, x0 ）单调递减
D. 若 x0 是f（x）的极值点，则 f′ ( x0 )=0
11.已知 f(x)=12x2−2ax ， g(x)=3a2lnx−b 其中 a>0 ．设两曲伐 y=f(x) ， y=g(x) 有公共点，且在该点的切线相同，则（    ）
A. 曲线 y=f(x) ， y=g(x) 有两条这样的公共切线      B. b=3a22+3a2lna
C. 当 a=3e 时，b取最小值                                            D. b 的最小值为 −16e2
二、填空题
12.已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为________.
13.设 m>0 ， p:0 14.已知双曲线C： x2a2−y2b2 ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为A，l与C的另一条渐近线的交点为B，若A是线段FB的中点，则双曲线C的离心率为        ．
15.点 P 在双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的右支上，其左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，直线 PF1 与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段 PF1 的垂直平分线恰好过点 F2 ，则该双曲线的渐近线的斜率为________．
16.已知函数 f(x)=x−1−lnx ，对定义域内的任意 x 都有 f(x)≥kx−2 ，则实数k的取值范围是________.
17.已知函数 f(x)=e2x ， g(x)=lnx+12 ，对 ∀a∈R ， ∃b∈(0,+∞) ，使得 f(a)=g(b) ，则 b−a 的最小值为________.
18.已知函数 f(x)=lnxx ， g(x)=xex ，若存在 x1>0 ， x2∈R ，使得 f(x1)=g(x2)<0 成立，则 x1x2 的最小值为       .
19.在平面直角坐标系 xOy 中,记椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左右焦点分别为 F1,F2 ，若该椭圆上恰好有6个不同的点 P ,使得 ΔF1F2P 为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是________.
20.抛物线 x2=2py(p>0) 上一点 A(3,m)(m>1) 到抛物线准线的距离为 134 ，点 A 关于 y 轴的对称点为 B ， O 为坐标原点， ΔOAB 的内切圆与 OA 切于点 E ，点 F 为内切圆上任意一点，则 OE•OF 的取值范围为________．
三、解答题
21.已知集合 A={x | x2−(2a−2)x+a2−2a≤0} ， B={x| x2−5x+4≤0} ．
（1）若 A∩B=∅ ，求 a 的取值范围；
（2）若“ x∈A ”是“ x∈B ”的充分不必要条件，求 a 的取值范围．





22.已知函数 f(x)=x−ln(x−1) .
（1）求定义域及单调区间；
（2）求 g(x)=f(x)−x+x2 的极值点.





23.已知函数 f(x)=x3+32x2+2
（Ⅰ）求曲线 y=f(x) 在点(1，f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[—2，2]上的最大值和最小值．







24.已知 f(x)=(x+1)lnx .
（1）求 f(x) 的单调区间；
（2）若对任意 x≥1 ，不等式 x[f(x)x+1−ax]+a≤0 恒成立，求 a 的取值范围.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】因为 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) ，
所以下焦点为 (0,−c) ，渐近线方程为 y=±abx ，即 ax±by=0 ，
则下焦点到 ax±by=0 的距离为 d=bca2+b2=b=2 ，
又因为 e=ca=1+(ba)2=2 ，
解得 ba=3 ，即 ab=33 ，
所以渐近线方程为： y=±33x
故答案为：B

【分析】 利用已知条件求出ba=3 ， 即可求解双曲线的渐近线方程．
2.【答案】 B
【解析】由题意可知 g(x)min≥f(x)min ，
g′(x)=1x−34x2−14=4x−3−x24x2=−(x−1)(x−3)4x2 ， 0 当 x∈(0,1) 时， g′(x)<0 ，函数单调递减，
当 x∈(1,2) 时， g′(x)>0 ，函数单调递增，
∴ 当 x=1 时， g(x) 取得最小值， g(1)=−12 ，
f(x)=x2−2tx+4=(x−t)2+4−t2 ， x∈[1,2] ，
①当 t<1 时，函数单调递增， f(x)min=f(1)=5−2t ，
即 5−2t≤−12 ，解得： t≥114 ，不成立；
②当 1≤t≤2 时， f(x)min=f(t)=4−t2 ，
即 4−t2≤−12 ，解得： t≥322 或 t≤−322 ，不成立；
③当 t>2 时，函数单调递减， f(x)min=f(2)=8−4t
即 8−4t≤−12 ，解得： t≥178 ，成立.
综上可知： t≥178 .
故答案为：B
【分析】由题意可知 g(x)min≥f(x)min ，转化为分别求两个函数的最小值，函数 g(x) 利用导数求最小值，函数 f(x) ，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值.
3.【答案】 C
【解析】由于 A 在抛物线准线上,故 p=2 ,故抛物线方程为 x2=4y ,焦点坐标为 (0,1) .当直线 PA 和抛物线相切时, m 取得最小值,设直线 PA 的方程为 y=kx−1 ,代入抛物线方程得 x2−4kx+4=0 ,判别式 16k2−16=0 ,解得 k=±1 ,不妨设 k=1 ,由 x2−4x+4=0 ,解得 x=2 ,即 P(2,1) .设双曲线方程为 y2a2−x2b2=1 ,将 P 点坐标代入得 1a2−4b2=1 ,即 b2−4a2−a2b2=0 ,而双曲线 c=1 ,故 1=a2+b2,b2=1−a2 ,所以 1−a2−4a2−a2(1−a2)=0 ,解得 a=2−1 ,故离心率为 ca=12−1=2+1 ,
故答案为：C.
【分析】由题意可得p=2 ， 可得抛物线的方程，焦点坐标，准线方程，当直线 PA 和抛物线相切时, m 取得最小值,设直线 PA 的方程为 y=kx−1 ,代入抛物线方程，运用判别式为0，求得k，P的坐标，再由双曲线的定义和离心率公式计算可得所求的值。
4.【答案】 C
【解析】 ∵O 为 F1F2 的中点，则 S△OPF1=S△OPF2=2S△OPQ ，即 S△OPQS△OPF1=|PQ||PF1|=12 ，
所以， |PQ|=12|PF1| ，所以， Q 为线段 PF1 的中点，
由图可知，直线 OP 的方程为 y=bax ，
因为 PF2⊥OP ，所以直线 PF2 的方程为 y=−ab(x−c) ，
联立 {y=baxy=−ab(x−c) ，解得 {x=a2cy=abc ，即点 P(a2c,abc) ，
因为点 F1(−c,0) ，所以点 Q 的坐标为 (−b22c,ab2c) ，
又点 Q 在直线 y=−bax 上，则有 ab2c=ba⋅b22c ， ∴b=a ，则 c=a2+b2=2a ，
因此，该双曲线的离心率为 e=ca=2 .
故答案为：C.

【分析】 首先求得直线OP的方程和以OF2为直径的圆的方程，求得P的坐标，直线PF1的方程，与渐近线方程bx+ay=0，解得Q的坐标，由题意可得F2到直线OP的距离为Q到直线OP的距离的2倍，运用点到直线的距离公式和离心率公式，代入数值计算出结果即可。
5.【答案】 C
【解析】∵ f(x)=12ex−32e−x ，
∴ f′(x)=12ex+32e−x=12(ex+3e−x)≥12×2ex×3e−x=3 ，当且仅当 ex=3e−x ，即 x=12ln3 时等号成立．
∴ tanα≥3 ，
又 0≤α<π ，
∴ π3≤α<π2 ，
即倾斜角 α 的取值范围是 [π3,π2) ．
故答案为：C．

【分析】求导数，结合基本不等式求出导函数的最值，结合函数的几何意义，即可求出倾斜角的取值范围.
6.【答案】 A
【解析】设 A+B'=π ，则 cosA=−cosB' ，因为 A+B<π ，所以 0 所以 cosB>cosB' ，则 cosB>−cosA ，即 cosA+cosB>0 ，故命题 p 是真命题.
因为 a2a6=16 ，所以 a42=16 ，所以 a4=±4 ，则命题 q 是假命题.
故 p∧(¬q) 是真命题； (¬p)∨q ， (¬p)∧(¬q) ， p∧q 为假命题.
故答案为：A
【分析】先判断命题 p 是真命题和命题 q 是假命题，再判断 p∧(¬q) 为真命题得到答案.
7.【答案】 D
【解析】函数 f(x)=x(x−c)2 的导数为 f′(x)=(x−c)2+2x(x−c) =(x−c)(3x−c) ，
由 f(x) 在 x=2 处有极大值，即有 f′(2)=0 ，即 (c−2)(c−6)=0 ，
解得 c=2 或6，
若 c=2 时， f′(x)=0 ，可得 x=2 或 23 ，
由 f(x) 在 x=2 处导数左负右正，取得极小值，
若 c=6 ， f′(x)=0 ，可得 x=6 或2，
由 f(x) 在 x=2 处导数左正右负，取得极大值.
综上可得 c=6 .
故答案为：D.
【分析】由题意可得 f′(2)=0 ，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.
8.【答案】 B
【解析】 △F1AB 的周长等于 AB+AF1+BF1=AB+2a−AF2+2a−BF2
=4a+AB−(AF2+BF2) ，
因为 AF2+BF2≥AB 当且仅当 A,B,F2 三点共线时等号成立，
所以 4a+AB−(AF2+BF2)≤4a+AB−AB=4a ，
即 △F1AB 的周长的最大为 4a ，所以 4a=12 ，解得： a=3 ，
由椭圆的方程可得： b2=4 ，所以 c=a2−b2=9−4=5 ，
所以 C 的离心率为 e=ca=53 ，
故答案为：B

【分析】先利用椭圆的定义求出△F1AB的周长的最大值可得a的值，根据椭圆方程即可求b,c的值，进而可求离心率。
9.【答案】 A
【解析】解：设函数 ℎ(x)=f(x+1)=ln(ex+e−x)−2 ，
y=ℎ(x) 的定义域为R ，
因为 ℎ(−x)=ln(e−x+ex)−2=ℎ(x) ，
所以 y=ℎ(x) 为偶函数，
因为 y′=(ex+e−x)'=ex−e−x 是增函数，
故当 x≥0 时， y′≥e0−e0=0 ，
所以当 x≥0 时， y=ℎ(x) 为增函数，
由奇偶性可知，当 x<0 时， y=ℎ(x) 为减函数，
故函数 y=f(x) 关于 x=1 对称，当 x≥1 时， y=f(x) 为增函数，
当 x<1 时， y=f(x) 为减函数，
函数 y=g(x) 是关于 x=1 对称的，
作出两个函数的图像，如图所示，

两个函数的交点有两个，设它们的横坐标分别为 x1,x2 ，
由对称性可得 x1+x22=1 ，即 x1+x2=2 ，
故答案为：A。
【分析】对函数 f(x)=ln(ex−1+e1−x)−2 的性质进行研究，可得出 y=f(x) 关于 x=1 对称，且当 x∈(1,+∞) 时，函数 y=f(x) 单调递增，当 x∈(−∞,1) 时，函数 y=f(x) 单调递减，函数 y=g(x) 关于 x=1 对称，故可得两个函数的交点有两个，且关于 x=1 对称，故可得结果。
10.【答案】 C
【解析】由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1 ， x2 ， 则极小值点x2＞x1 ， 即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然D中的结论正确.
故答案为：C

【分析】求导数，利用导数确定函数的单调性，根据奇偶性的定义确定函数的奇偶性，根据奇偶函数的对称性确定函数的对称中心或对称轴，，结合单调性确定函数的极值，根据选项逐一判断即可.
11.【答案】 D
【解析】解：由 f(x)=12x2−2ax ， g(x)=3a2lnx−b ， x>0 ，
则 f′(x)=x−2a ， g′(x)=3a2x ，
设两曲线的公切点为 (x0,y0) ，由题意得，
{f(x0)=g(x0)f′(x0)=g′(x0) ，即 {12x02−2ax0=3a2lnx0−bx0−2a=3a2x0 ，
由 x0−2a=3a2x0 得， x02−2ax0−3a2=0 ，解得 x0=3a 或 x0=−a （舍去），
所以曲线 y=f(x),y=g(x) 只有一条这样的共切线，A不符合题意；
b=3a2lnx0−12x02+2ax0=3a2ln3a−9a22+6a2=3a2ln3a+3a22 ，B不符合题意；
令 F(a)=3a2ln3a+3a22,a>0 ，则 F′(a)=6aln3a+6a=6a(ln3a+1) ，
当 013e 时， F′(a)>0 ，
所以函数 F(a) 在 (0,13e) 上递减，在 (13e,+∞) 上递增，
所以当 a=13e 时，b取得最小值，为 F(13e)=−13e2+32⋅19e2=−16e2 ，
C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.

【分析】首先分别对两个函数求导，由已知条件结合共切点的性质得出{f(x0)=g(x0)f′(x0)=g′(x0)即{12x02−2ax0=3a2lnx0−bx0−2a=3a2x0求解出x0=3a或 x0=−a由此判断出选项A错误；由特殊值代入法计算出结果由此判断出选项B错误；构造函数F(a)=3a2ln3a+3a22,a>0对其求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可求出函数的最值，由此判断出选项C错误选项D正确；由此得出答案。
二、填空题
12.【答案】 y=2x
【解析】 ∵ 双曲线焦点到渐近线的距离 d=b     ∴b=2a ，即 ba=2
∴ 双曲线的渐近线方程为 y=±bax=±2x
故答案为：y=2x
【分析】根据双曲线焦点到渐近线距离为 b 可构造齐次式求得 ba ，由此可得渐近线方程.
13.【答案】 12 （ (0,1) 的任意数均可）
【解析】由 xx−1<0 得00 ， p:0 故答案为 12 （ (0,1) 的任意数均可）。

【分析】利用已知条件就结合充分条件、必要条件的判断方法，从而求出m可以取的值。
14.【答案】 2
【解析】解：双曲线C： x2a2−y2b2 ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），
过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为A，
所以AF的方程为：y＝ ab(x+c) ，与bx+ay＝0联立，
可得 A(−a2c ， abc) ，
l与C的另一条渐近线的交点为B，若A是线段FB的中点，
可得B（ c2−2a2c ， 2abc ），代入bx﹣ay＝0，可得：c2＝4a2 ，
则双曲线C的离心率为e＝2．
故答案为：2．

【分析】利用已知求出A坐标，再求出B坐标，代入双曲线的渐近线方程，求解离心率即可。
15.【答案】 ±43
【解析】如图，

是切点， B 是 PF1 的中点，因为 |OA|=a || ，所以 |BF2|=2a ，又 |F1F2|=2c ，所以 |BF1|=2b ， |PF2|=4b ，又 |PF2|=|F1F2|=2c ，根据双曲线的定义，有 |PF1|−|PF2|=2a ，即 4b−2c=2a2 ，两边平方并化简得 3c2−2ac−5a2=0 ，所以 ca=53 ，因此 ba=(ca)2−1=43 ，所以双曲线的渐近线的斜率为±43 。

【分析】利用双曲线的标准方程求出左、右焦点坐标，再根据已知条件求出点P的坐标，再利用中点坐标公式结合直线与圆的位置关系的判断方法，最后用双曲线的定义结合双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出求出ba的值，从而求出双曲线的渐近线的斜率。
16.【答案】 (−∞,1−1e2]
【解析】∵ f(x)=x−1−lnx≥kx−2 ，∴ kx≤x+1−lnx ， x>0 ，也即 k≤1+1x−lnxx 在 x>0 时恒成立.
令 g(x)=1+1−lnxx ， x>0 ，则 g′(x)=lnx−2x2 ， x>0 ，令 g′(x)=0⇒x=e2 .易知 g(x) 在 x∈(0,e2) 上单调递减， g(x) 在 x∈(e2,+∞) 上单调递增，
故 g(x)min=g(e2)=1−1e2 ，∴ k≤1−1e2 .
故答案为： (−∞,1−1e2]
【分析】不等式 f(x)≥kx−2 分离变量,等价变形为 k≤1+1x−lnxx ，构造函数 g(x)=1+1−lnxx ，函数求导 g′(x)=lnx−2x2 ，求出单调区间，可得函数最小值.
17.【答案】 1+12ln2
【解析】∵ f(x)=e2x 的值域为 (0,+∞) ， g(x)=lnx+12 值域为 R ，
所以对 ∀a∈R ， ∃b∈(0,+∞) ，使得 f(a)=g(b) ，
令 f(a)=g(b)=t>0 ，即 e2a=lnb+12=t ，
a=12lnt,b=et−12 ，所以 b−a=et−12−12lnt,(t>0)
令 ℎ(t)=et−12−12lnt ，则 b−a 的最小值，即为 ℎ(t) 的最小值，
∵ ℎ′(t)=et−12−12t,ℎ′(t) 在 (0,+∞) 单调递增，且 ℎ′(12)=0 ，
当 t∈(0，12) 时， ℎ′(t)<0 ，当 t∈(12，+∞) 时， ℎ′(t)>0 ，
故当 t=12 时， ℎ(t) 取最小值 1−ln122=1+12ln2 .
故答案为： 1+12ln2 .

【分析】 根据题意结合已知条件即可得到g(x)=lnx+12即e2a=lnb+12=t构造函数h（x）=h（x）=g ， （x）-f ， （x），则b-a的最小值，即为h（x）的最小值，利用导数法求出函数的最小值，可得答案．
18.【答案】 −1e
【解析】函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ， f′(x)=1−lnxx2 ，
∴ 当 x∈(0,e) 时， f′(x)>0 ， f(x) 单调递增，当 x∈(e,+∞) 时， f′(x)<0 ， f(x) 单调递减，又因为 f(1) =0 ，所以 x∈(0,1) 时， f(x)<0 ； x∈(1,e) 时， f(x)>0 ； x∈(e,+∞) 时， f(x)>0 ，同时注意到 g(x)=xex=lnexex=f(ex) ，
所以若存在 x1∈(0,+∞) ， x2∈R ，使得 f(x1)=g(x2)<0 成立，
则 0 所以 x1=ex2 (x2<0) ，所以 x1x2=x2ex2 ，
所以构造函数 ℎ(x)=xex (x<0) ，而 ℎ′(x)=ex(1+x) ，
当 x∈(−1,0) 时， ℎ′(x)>0 ， ℎ(x) 单调递增；当 x∈(−∞,−1) 时， ℎ′(x)<0 ， ℎ(x) 单调递减，所以 ℎ(x)最小值=ℎ(−1)=−1e ，即 (x1x2)最小值=−1e 。
故答案为： −1e 。

【分析】利用求导的方法判断函数f(x)的单调性，又因为 f(1) =0 ，所以当 x∈(0,1) 时， f(x)<0 ；当 x∈(1,e) 时， f(x)>0 ；当 x∈(e,+∞) 时， f(x)>0 ，同时注意到 g(x)=xex=lnexex=f(ex) ，所以若存在 x1∈(0,+∞) ， x2∈R ，使得 f(x1)=g(x2)<0 成立，则 0 19.【答案】 (13,12)∪(12,1)
【解析】解：椭圆上恰好有6个不同的点 P ,使得 ΔF1F2P 为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，
设P在第一象限， PF1>PF1 ，当 PF1=F1F2=2c 时，
PF2=2a−PF1=2a−2c ，
即 2a>2a−2c ，解得 e>12
又因为 e<1 ，所以 12 当 PF2=F1F2=2c 时，
PF1=2a−PF2=2a−2c ，
即 2a−2c>2c 且 2c>a−c
解得： 13 综上 12
【分析】椭圆上恰好有6个不同的点 P ,使得 ΔF1F2P 为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P在第一象限， PF1>PF1 ，再利用分类讨论的方法结合椭圆的定义和焦距的定义，进而结合已知条件得出a,c的关系式，再利用椭圆离心率公式变形，进而求出该椭圆的离心率的取值范围。
20.【答案】 [3−3，  3+3]
【解析】因为点 A(3，  m) 在抛物线上，所以 3=2pm⇒m=32p ，点A到准线的距离为 32p+p2=134 ，解得 p=12 或 p=6 ．当 p=6 时， m=14<1 ，故 p=6 舍去，所以抛物线方程为 x2=y，  ∴ A(3，  3)，  B(−3，  3) ，所以 △OAB 是正三角形，边长为 23 ，其内切圆方程为 x2+(y−2)2=1 ，如图所示，

∴ E(32，  32) ．设点 F(cosθ，  2+sinθ) （ θ 为参数），则 OE · OF=32cosθ+3+32sinθ=3+3sin(θ+π6) ，∴ OE · OF∈[3−3，  3+3] ．
【分析】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到 ΔOAB 为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点 E 的坐标，可利用内切圆的方程设出点 F 含参数的坐标，进而得到 OE · OF=3+3sin(θ+π6) ，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键.
三、解答题
21.【答案】 （1）解： A={x | x2−(2a−2)x+a2−2a≤0}={x| a−2≤x≤a}
B={x | x2−5x+4≤0}={x|  1≤x≤4}
因为 A∩B=∅ ，所以 a−2>4 或 a<1 ，即 a>6 或 a<1 ．
所以 a 的取值范围是 (−∞,1)∪(6,+∞) 。

（2）解：因为“ x∈A ”是“ x∈B ”的充分不必要条件，所以 A⊊B ，则 {a−2≥1a≤4 ，解得 3≤a≤4 ．
所以 a 的取值范围是 [3,4]
【解析】【分析】分别化简集合 A,B ，（1）根据两集合交集为空集得出 a 的不等关系，解之即可；（2）若“ x∈A ”是“ x∈B ”的充分不必要条件，则 A 是 B 的子集，由子集的概念可得．
22.【答案】 （1）f(x) 的定义域是 (1,+∞) ，
f(x)=x−ln(x−1) ， f′(x)=1−1x−1=x−2x−1 ， x∈(1,+∞) ，
令 f′(x)>0 ，解得： x>2 ，令 f′(x)<0 ，解得： 1 故 f(x) 的递减区间是 (1,2) ，递增区间是 (2,+∞) .

（2）∵ g(x)=x2−ln(x−1) ，∴ g′(x)=2x−1x−1 ，
由 g(x)=0 得 x=1±32 ，
又∵ x>1 ，∴ x=1+32 ，∴ x∈(1,1+32) ， g′(x)<0 ；
x∈(1+32,+∞) ， g′(x)>0 ，∴ g(x) 在 (1,1+32) 单调递减，
在 (1+32,+∞) 单调递增，
g(x) 极小值点是 1+32 ，无极大值点.
【解析】【分析】（1）利用对数型函数求定义域的方法求出函数 f(x)=x−ln(x−1) 的定义域，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数f(x)=x−ln(x−1)的单调区间。
（2）利用函数f(x)的解析式结合已知条件 g(x)=f(x)−x+x2 求出函数g(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点。
23.【答案】 解： f(x)=x3+32x2+2 ， f(x) 的定义域是 R ，
（Ⅰ） f′(x)=3x2+3x=3x(x+1) ，
故 f （1） =92 ， f′ （1） =6 ，
故切线方程是： y−92=6(x−1) ，
即 12x−2y−3=0 ；
（Ⅱ） f′(x)=3x2+3x=3x(x+1) ，
令 f′(x)>0 ，解得： x>0 或 x<−1 ，
令 f′(x)<0 ，解得： −1 故 f(x) 在 [−2 ， −1) 递增，在 (−1,0) 递减，在 (0 ， 2] 递增，
而 f(−2)=0 ， f(−1)=52 ， f(0)=2 ， f （2） =16 ，
故 f(x)max=f （2） =16 ， f(x)min=f(−2)=0
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，从而求出函数在给定区间的最值。
24.【答案】 （1）解：由解析式知： f(x) 的定义域为 (0,+∞) 且 f′(x)=lnx+1+1x ，
令 g(x)=lnx+1+1x(x>0) ，则 g′(x)=1x−1x2=x−1x2
∴当 01 时， g′(x)>0 ，
∴ g(x) 在 (0,1) 单调递减，在 (1,+∞) 单调递增，即 f′(x)=g(x)>g(1)=2>0 ，
∴ f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，即 f(x) 的增区间为 (0,+∞) ，无减区间.

（2）解：解法1：直接求导，分类讨论.
对任意 x≥1 ，不等式 x[f(x)x+1−ax]+a≤0 恒成立等价于对任意 x≥1 ，不等式 x(lnx−ax)+a≤0 恒成立.
令 ℎ(x)=xlnx−ax2+a(x≥1) ，则 ℎ′(x)=1+lnx−2ax ，
令 m(x)=1+lnx−2ax(x≥1) ，则 m′(x)=1x−2a ，由 x≥1 知： 0<1x≤1 ，
①当 2a≥1 ，即 a≥12 时， 即 m′(x)≤0 ，即 m(x) 在 [1,+∞) 上单调递减，又 m(1)=1−2a≤0 ，
∴ x≥1 时， ℎ′(x)=m(x)≤0 ，即 ℎ(x) 在 [1,+∞) 上单调递减，又 ℎ(1)=0 ，
∴ x≥1 时， ℎ(x)≤0 ，符合题意.
②若 0<2a<1 ，即 0 当 1≤x<12a 时， ℎ′(x)=m(x)≥m(1)=1−2a>0 ，
∴ ℎ(x) 在 [1,12a) 单调递增，即 1≤x<12a 时， ℎ(x)≥ℎ(1)=0 ，
故 x(lnx−ax)+a≤0 不恒成立，不合题意.
③若 a≤0 ，则 m′(x)>0 恒成立，所以 m(x) 在 [1,+∞) 单调递增.
∴ x≥1 时， ℎ′(x)=m(x)≥m(1)=1−2a>0 ，即 ℎ(x) 在 [1,+∞) 单调递增，
又 x≥1 时， ℎ(x)≥ℎ(1)=0 ，即 x(lnx−ax)+a≥0 恒成立，不合题意.
综上所述， a 的取值范围是 [12,+∞) .
解法2：
对任意 x≥1 ，不等式 x[f(x)x+1−ax]+a≤0 恒成立等价于对任意 x≥1 ， lnx−a(x−1x)≤0 恒成立.
令 t(x)=lnx−a(x−1x)(x≥1) ，则 t′(x)=1x−a(1+1x2)=−ax2−x+ax2 ，记 Δ=1−4a2 ，
①当 a≥12 时， Δ≤0 ，此时 t′(x)≤0 ， t(x) 在 [1,+∞) 单调递减，又 t(1)=0 ，
所以 x≥1 时， t(x)≤0 ，即对任意 x≥1 ， lnx−a(x−1x)≤0 恒成立.
②当 a≤−12 时， t′(x)≥0 ， t(x) 在 [1,+∞) 上单调递增，又 t(1)=0 ，
所以 x≥1 时， t(x)≥0 ，即对任意 x≥1 ， lnx−a(x−1x)≥0 恒成立，不符合题意.
③ a=0 时，不等式化为 lnx≤0(x≥1) ，显然不成立.
④当 −12 若 01 ， 0 若 −12 综上所述， a 的取值范围是 [12,+∞) .
解法3：参数分离
当 x=1 ， a∈R 对任意 x>1 ，不等式 x[f(x)x+1−ax]+a≤0 恒成立等价于对任意 x>1 ， a≥xlnxx2−1 恒成立.
记 m(x)=xlnxx2−1(x>1) ，则
m′(x)=(1+lnx)(x2−1)−2x2lnx(x2−1)2 =x2−1−(1+x2)lnx(x2−1)2=1x2+1(1−2x2+1−lnx)(x2−1)2 ，
记 t(x)=1−21+x2−lnx(x>1) ，
则 t′(x)=4x(1+x2)2−1x=4x2−(1+x2)2x(1+x2)2=−(1−x2)2x(1+x2)2<0 ，
所以 t(x) 在 (1,+∞) 单调递减，又 t(1)=0 ，所以， x>1 时， t(x)<0 ，即 m′(x)<0 ，
所以 m(x) 在 (1,+∞) 单调递减.所以 m(x)min 综上所述， a 的取值范围是 [12,+∞) .
【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，构造函数g(x)=lnx+1+1x(x>0)再由其导函数的性质得出该函数的单调性，由此即可得出f′(x)=g(x)>g(1)=2>0从而得出函数f(x)的单调性以及单调区间。
(2) 解法1 ：由已知条件即可得出 不等式 x[f(x)x+1−ax]+a≤0 恒成立等价于对任意 x≥1 ，不等式 x(lnx−ax)+a≤0 恒成立.，构造函数ℎ(x)=xlnx−ax2+a(x≥1)结合其导函数的性质，对a分情况讨论即可得出该函数的单调性，从而得出满足题意的a的取值范围。
解法2： 由已知条件即可得出 不等式 x[f(x)x+1−ax]+a≤0 恒成立等价于对任意 x≥1 ， lnx−a(x−1x)≤0 恒成立.，构造函数t(x)=lnx−a(x−1x)(x≥1)结合其导函数的性质对a分情况讨论即可得出该函数的单调性，由函数的单调性即可点到关于a的不等式，求解出a的取值范围即可。
解法3 ：由已知条件即可得出 不等式 x[f(x)x+1−ax]+a≤0 恒成立等价于对任意 x≥1 ， lnx−a(x−1x)≤0 恒成立，由分离参数法即可得到a≥xlnxx2−1恒成立，构造函数m(x)=xlnxx2−1(x>1) ， 结合导函数的性质即可得出该函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，由此即可得出a的取值范围。