模块综合检测(A)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是(　　)

A．0　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

2．已知命题p：若x2＋y2＝0 (x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是(　　)

A．1       B．2        C．3        D．4

3．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)

A.＋＝1               B.＋＝1

C.＋＝1               D.＋＝1

4．已知a>0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是(　　)

A．∃x∈R，ax2－bx≥ax－bx0

B．∃x∈R，ax2－bx≤ax－bx0

C．∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0

D．∀x∈R，ax2－bx≤ax－bx0

5．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)

A．椭圆                   B．圆

C．双曲线的一支           D．线段

6．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)

A．[0，)                  B．[，)

C．(，]                 D．[，π)

7．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则a的最大值是(　　)

A．1         B．3          C．9          D．不存在

8．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　)

A．10       B．8          C．6          D．4

9．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)

A.       B.    C.  D.

10．若当x＝2时，函数f(x)＝ax3－bx＋4有极值－，则函数的解析式为(　　)

A．f(x)＝3x3－4x＋4             B．f(x)＝x2＋4

C．f(x)＝3x3＋4x＋4             D．f(x)＝x3－4x＋4

11．设O为坐标原点，F1、F2是－＝1(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A．x±y＝0                  B.x±y＝0

C．x±y＝0                  D.x±y＝0

12．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是(　　)

A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数

B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数

C．∃a∈R，f(x)是偶函数

D．∃a∈R，f(x)是奇函数

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范

围是       ________________________________________________________________．

14．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为

________________________________________________________________________．

15．若AB是过椭圆＋＝1 (a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝________.

16．已知f(x)＝x3＋3x2＋a (a为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f(x)的最大值是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知p：2x2－9x＋a<0，q：，且綈q是綈p的必要条件，求实数a的取值范围．

18．(12分)设P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．

19.（12分）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．

20．(12分)已知函数f(x)＝ax2－ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．

21.(12分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．

(1)求a的取值范围；

(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．

22．(12分)已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a∈R)．

(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)当a≤时，讨论f(x)的单调性．

模块综合检测(A)  答案

1．B　[原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．]

2．B　[命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真．]

3．D　[双曲线－＝－1，即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．所以对椭圆＋＝1而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为＋＝1.]

4．C　[由于a>0，令函数y＝ax2－bx＝a(x－)2－，此时函数对应的图象开口向上，当x＝时，取得最小值－，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝，ymin＝ax－bx0

＝－，那么对于任意的x∈R，

都有y＝ax2－bx≥－＝ax－bx0.]

5．A　[∵P为MF1中点，O为F1F2的中点，

∴|OP|＝|MF2|，又|MF1|＋|MF2|＝2a，

∴|PF1|＋|PO|＝|MF1|＋|MF2|＝a.

∴P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆．]

6．D　[∵y＝，∴y′＝.

令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>1，

∴y′＝＝－.

再令＝m，则0<m<1，

∴y′＝4m2－4m＝4(m－)2－1，m∈(0,1)．

容易求得－1≤y′<0，

∴－1≤tan α<0，得π≤α<π.]

7．B　[因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以有f′(x)≥0，x∈[1，＋∞)，即3x2－a≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2.

因为x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，从而a≤3.]

8．B　[由抛物线的定义，

得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]

9．D　[由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，∴－2＝－×4，∴a＝2b，设b＝k，

则a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝.]

10．D　[因为f(x)＝ax3－bx＋4，

所以f′(x)＝3ax2－b.

由题意得，

解得，

故所求函数解析式为f(x)＝x3－4x＋4.]

11．D　[如图所示，∵O是F1F2的中点，＋＝2，

∴（＋)2＝(2)2.

即 ||2＋||2＋2||·||·cos 60°＝4||2.

又∵|PO|＝a，

∴ ||2＋||2＋||||＝28a2.         ①

又由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，

∴(|PF1|－|PF2|)2＝4a2.

即|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2.         ②

由①－②得|PF1|·|PF2|＝8a2，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝20a2.

在△F1PF2中，由余弦定理得

cos 60°＝，

∴8a2＝20a2－4c2.即c2＝3a2.

又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2.

即＝2，＝.

∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.]

12．C　[f′(x)＝2x－，故只有当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上才是增函数，因此A、B不对，当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，因此C对，D不对．]

13．[3,8)

解析　因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，

即m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，

即m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.

14.－＝1

解析　由双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x得＝，∴b＝a.

∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4.

又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(a)2，

∴a2＝4，b2＝12.

∴所求双曲线的方程为－＝1.

15．－

解析　设A(x1，y1)，M(x0，y0)，

则B(－x1，－y1)，

则kAM·kBM＝·＝

＝＝－.

16．57

解析　f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝0，

得x＝0或x＝－2.

又∵f(0)＝a，f(－3)＝a，

f(－2)＝a＋4，f(3)＝54＋a，

∴f(x)的最小值为a，最大值为54＋a.

由题可知a＝3，∴f(x)的最大值为57.

17．解　由，得，

即2<x<3.∴q：2<x<3.

设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2<x<3}，

∵綈p⇒綈q，∴q⇒p，∴B⊆A.

即2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0.

设f(x)＝2x2－9x＋a，

要使2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0，

需，即.

∴a≤9.故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．

18．解　如图所示，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，

则S△F1PF2＝mnsin

＝mn.

由椭圆的定义知

|PF1|＋|PF2|＝20，

即m＋n＝20.                    ①

又由余弦定理，得

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos

＝|F1F2|2，

即m2＋n2－mn＝122.             ②

由①2－②，得mn＝.

∴S△F1PF2＝.

19．解  设 P＝(x，y)，则 ＝(4,0)，＝(x＋2，y)，

＝(x－2，y)．

∴ ||＝4，||＝，

·＝4(x－2)，

代入  ||·||＋·＝0，

得4＋4(x－2)＝0，

即＝2－x，

化简整理，得y2＝－8x.

故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝－8x.

20．解　(1)f′(x)＝2ax－a，

由已知得，

解得，

∴f(x)＝x2－2x＋.

(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为

y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.

21．解　(1)由消去y，

得(3－a2)x2－2ax－2＝0.

依题意得即－<a<且a≠±.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，

∴x1x2＋y1y2＝0，

即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，

即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.

∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0，

∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．

故a＝±1.

22．解　(1)当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x＋－1，

x∈(0，＋∞)，

所以f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，

因此f′(2)＝1，

即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.

又f(2)＝ln 2＋2，

所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为

y－(ln 2＋2)＝x－2，即x－y＋ln 2＝0.

(2)因为f(x)＝ln x－ax＋－1，

所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．

令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)．

①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，

所以当x∈(0,1)时，g(x)>0，

此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，

此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

②当a≠0时，由f′(x)＝0，

即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝－1.

a．当a＝时，x1＝x2，g(x)≥0恒成立，

此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

b．当0<a<时，－1>1，

x∈(0,1)时，g(x)>0，

此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

x∈时，g(x)<0，

此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

x∈时，g(x)>0，

此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减．

c．当a<0时，由于－1<0.

x∈(0,1)时，g(x)>0，

此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，

此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

综上所述：

当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，

在(1，＋∞)上单调递增；

当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

当0<a<时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．