【期末必备】13.3 等腰三角形-2021-2022学年八年级数学上册同步知识+题型过关练(人教版)((解析版+原卷版)学案

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知识点1等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简写成“三线合一”）。
注意1
等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；
等腰三角形两底角的平分线相等；
等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
知识点2等腰三角形的判定
两如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
知识点3等边三角形及其性质
等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形。
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°。
知识点4等边三角形的判定
判定1：由等边三角形的定义判定：三边都相等的三角形是等边三角形。
判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形。
判定3：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
注意2 判定等边三角形时常用的选择方法
若已知三边关系，一般选用判定1；若已知三角关系，一般选用判定2；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定3。
知识点5含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
注意3 含30°角的直角三角形的性质的应用前提
此性质的大前提是“在直角三角形中”，如果没有这个条件，那么即使有30°角，结论也不一定成立。
题型1等腰三角形的性质与判定的综合
例题1（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于点E，F。试猜想EF,BE,CF之间的数量关系，并说明理由。
（2）如图（2），若将图（1）中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其他提交件不变，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由。
变式1-1 如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠ABC=35°，E是BC边上的一点且AE=CE，D是BC的中点，连接AD。
求∠DAE的度数；
若BD上存在点F，且∠AFE=∠AEF，求证：BF=CE。
变式1-2 如图，在△ABC中，AB=AC，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上且BE=CF,BD=CE。
求证：△DEF是等腰三角形
当∠A=50°时，求∠DEF的度数。
题型2等边三角形的性质与判定
例题2如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边上的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。
求证：DE=DF;
若∠A=60°，BE=2，求△ABC的周长。
变式2如图所示，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD，BE，分别角CE和AC于点G，连接GH.
求证：AD=BE
证明：△ACG≌△BCH；
试猜想△CGH是什么特殊三角形，并说明理由。
题型3 含30°角的直角三角形性质的应用
常常通过作辅助线，构造直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质“30°角所对的直角边是斜边的一般”来解决线段长度问题。
例题3如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线。CD与DB由怎样的数量关系？请说明理由。
变式3如图所示，在等边△ABC中，点D为AC上一点，CD=CE，∠ACE=60°
求证：△BCD≌△ACE；
延长BD交AE于点F，连接CF，若AF=CF，猜想线段BF，AF之间的数量关系，并证明你的猜想。
题型4与等腰三角形有关的探索型问题
例题4如图所示，在△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，BC交DE于点O，连接AO，设∠BAD=α。
（1）求证：∠BOD=α；
（2）求证：OA平分∠BOE；
（3）设AC与DE交于点F，若△AOF是等腰三角形，∠C=30°，则α=_________________________。
变式4如图（1），△ABC为等边三角形，D为BC上任意一点，∠ADE=60°，边DE与△ABC的外角平分线相交于点E。
求证：AD=DE；
若点D在CB的延长线上，如图（2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
图（1）图（2）