【期末必备】15.2 分式的运算-2021-2022学年八年级数学上册同步知识+题型过关练(人教版)((解析版+原卷版)学案

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知识点1分式的乘除
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。用式子表示为ab∙cd=a∙cb∙d。
注意1
当整式与分式相乘时，要把整式（看做是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母。当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，再相乘。
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。用式子表示为ab÷cd=ab∙dc=a∙db∙c。
n个
n个
知识点2分式的乘方
n个
一般地，当n是正整数时，abn=ab∙ab∙……∙ab=a∙a∙……∙ab∙b∙……∙b=anbn，即abn=anbn。这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方。
注意2
分式乘方时，先确定乘方结果的符号。整数的任何次方都是整数；负数的偶次方是正数，负数的奇次方是负数。如-ab2=ab2，-ab3=-ab3=-a3b3。
知识点3分式的加减
同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示为ac±bc=a±bc。
异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的式子，再加减。用式子表示为ab±cd=adbd±cbbd=ad±cbbd。
注意3
异分母分式相加减，化异分母分式为同分母分式是解题的关键。同分母分式相减时，减式的分子是多项式的要加括号，避免产生符号错误。
注意4
异分母分式相加减，当分式中的分子与分母有公因式时，先约分，再通分。
知识点4分式的混合运算
式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的。
注意5
分式的混合运算中要注意分式中分子、分母符号的处理，分子或分母的系数是负数时，要把“-”移到分式的前面。
知识点5整数的指数幂
一般地，当n是正整数时，a-n=1an（a≠0）。这就是说，a-n（a≠0）是an的倒数。
整数指数幂的运算性质
（1）am∙an=am+n；（2）amn=amn；（3）abn=anbn；（4）am÷an=am-n（a≠0，m > n）；（5）abn=anbn；（6）a0=1（a≠0）；（7）a-n=1an。以上式子中，m，n均是整数。
注意6
幂的运算的结果的符号与指数正负无关，只与指数的奇偶有关。比如-22=22=4，-2-2=122=14，-23=-23=-8。
科学计数法
小于1的正数可以用科学计数法表示为a×10-n的形式，其中n为原数左边第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0），1≤a<10。
注意7 用科学计数法表示小于1的正数
要注意小数点位置的变化，即小数点向右移了几位，10的指数就是负几。
题型1分式的混合运算
例题1计算：
（1）-a2bc3∙-c2a22÷-bca4；（2）x+1x-1-x-1x+1÷xx2-1
【解析】
原式=-a6b3c3∙c4a4÷b4c4a4（2）原式=x2+2x+1x-1x+1-x2-2x+1x-1x+1∙x2-1x
=-a6b3c3∙c4a4∙a4b4c4 =4xx-1x+1∙x-1x+1x
=-a6bc3 =4
变式1 计算：
3aa-3-aa+3∙a2-9a
x+xx2-1÷2+1x-1-1x+1
【解析】
（1）原式=-3a2+9a-a2+3aa+3a-3∙a+3a-3a（2）原式=x3x+1x-1÷2x2-2+x+1-x+1x+1x-1
=2a+12 =x3x+1x-1∙x+1x-12x2-2+x+1-x+1
=x2
题型2分式的化简求值
解决此类问题的关键是掌握因式分解、通分、约分，同时要注意解题的步骤。
例题2先化简，再求值：x-2x2+2x÷x2-4x+4x2-4+12x，其中x=-65。
【解析】
原式=x-2xx+2∙x+2x-2x-22+12x=1x+12x=32x
将x=-65代入，得原式=-54
变式2先化简3xx-1-xx+1÷xx2-1，再选择一个合适的x的值，代入求值
【解析】
3xx-1-xx+1÷xx2-1=3xx+1-xx-1x-1x+1∙x-1x+1x=3(x+1)-(x-1)=2x+4
当x=2时，原式=8（求值答案不唯一，x≠0且x≠±1）
题型3 整数指数幂的应用
例题3已知3m=127，12n=16，求mn的值
【解析】
∵3m=127=133，即3m=133，∴m=-3
又∵12n=16=24=12-4=12-4，即12n=12-4，∴n=-4
∴mn=-3-4=181
变式3若xm÷x2n3÷x2m-n与2x3是同类项，且m+5n=13，求m2-25n的值
【解析】
xm÷x2n3÷x2m-n=xm-2n3÷x2m-n=x3m-6n÷x2m-n=xm-5n
∵xm÷x2n3÷x2m-n与2x3是同类项
∴m-5n= 3 ，又∵m+5n=13，∴m=8，n=1
∴m2-25n=82-25×1=39
题型4分式运算的实际应用
找准各个量的关系，正确列出式子是关键，注意列出的分式一定要有意义。
例题4小张从甲地到乙地的速度是a，从乙地返回甲地时，速度是b（a≠b）；小李从甲地到乙地，又从乙地返回甲地的速度已一直是a+b2，谁用的时间短。
【解析】
设甲、乙两地的距离为1，则
小张用的时间为1a+1b=a+bab，小李用的时间为1a+b2×2=4a+b
∵a+bab-4a+b=a+b2-4ababa+b=a-b2ab(a+b)>0
∴小李用的时间短
变式4甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果。两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a,b为正整数且a≠b）。谁的购买方式更划算？请说明理由。
【解析】
乙的购买方式更划算。理由：
甲的平均价格为x甲=20a+20b20+20=a+b2；乙的平均价格为x乙=20+2020a+20b=2aba+b
x甲-x乙=a+b2-2aba+b=a-b22a+b
∵a≠b，∴a-b22a+b>0，∴甲的平均价格>乙的平均价格，∴乙的购买方式更划算