【期末必备】12.3 角的平分线的性质-2021-2022学年八年级数学上册同步知识+题型过关练(人教版)((解析版+原卷版)学案

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知识点1作已知交点的平分线
已知∠AOB，求作∠AOB的平分线
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N；
分别以点M,N为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
画射线OC，射线OC即为∠AOB的平分线。
注意1 画弧的限制条件
以大于12MN的长为半径画弧，大于12MN的条件不可少，若以小于12MN的长为半径画弧，则两弧没有交点，确定不出点C的位置。
知识点2角的平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
如下图所示，∵OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，∴CE=CF
注意2
角平分线上的点到角两边的距离为CE，不是CG；
“距离”是指垂线段的长度；
应用此性质的前提条件是图中有角平分线与垂直的条件
知识点3证明几何命题的一般步骤
明确命题中的已知和求证；
根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
注意3 证明命题步骤的不定性
证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的情况而定，但是总体必须是完整的，并且证明的过程必须“步步有据”。
知识点4角的平分线的判定
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
如下图所示，∵CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，且CE=CF，∴OM是∠AOB的平分线。
题型1角平分线性质的应用
角平分线上有一点到一条边有垂线段时，通常可作这一点到另一边的垂线段，得到两条垂线段的长度相等。
例题1已知△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E。
求∠EDA的度数；
若AB=10，AC=8，DE=3，求S△ABC。
【解析】
∵∠B=50°，∠C=70°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°，
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=12∠BAC=30°
∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°
∴∠EDA=180°-∠BAD-∠DEA=180°-30°-90°=60°
如图，过点D作DF⊥AC于点F
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF=DE=3
又∵AB=10，AC=8，∴S△ABC=12AB·DE+12AC·DF=12x10x3+12x8x3=27
变式1 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=2cm，AB=4cm，S△ABC=7cm2，求AC的长。
【解析】
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF=2cm
∵S△ABC=12AB·DE+12AC·DF，∴12x4x2+12ACx2=7
∴AC=3cm
题型2角平分线判定的应用
证明一条射线（或线段）是角平分线，有两种方法：①利用三角形全等证明两角相等；②利用到角两边距离相等的点在角的平分线上。
例题2如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E,F，BE=CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
【解析】
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF是直角三角形
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CD
BE=CF
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是△ABC的角平分线
变式2如图所示，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，若∠A=64°，求∠BOC的度数。
【解析】
∵点O到三边AB,AC,BC的距离相等，
∴点O为△ABC的内角平分线的交点，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）
又∵∠BOC=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A=90°+12x64°=122°
题型3 角平分线的性质与判定的综合运用
例题3（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD平分∠BAC，交BC于点D。如果作辅助线DE⊥AB于点E，那么可以得到AC，AD，AB三条线段之间的数量关系为_______________________；
（2）如图（2）在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D。（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请证明。
图（1）图（2）
【解析】
（1）AB=AC+CD
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°
在△CAD和△EAD中，
∵∠C=∠AED
∠CAD=∠EAD
AD=AD
∴△CAD≌△EAD（AAS），∴CD=DE，AC=AE
过点E作EF⊥DB于点F，∴∠DEF=∠EFB=90°
∵∠B=45°，∠DEB=90°，∴∠EDF=∠B=45°
在△EDF和△EBF中，
∠EDF=∠B
∠EFD=∠EFB，∴△EDF≌△EBF（AAS）
EF=EF
∴DE=EB，∴DC=BE，∴AB=AE+BE=AC+CD
（2）成立，证明：
如图，在AB上截取AE=AC，连接DE，过点E作EF⊥DB于点F
∵在△ACD和△AED中
AC=AE
∠CAD=∠EAD，∴△ACD≌△AED（SAS）
AD=AD
∴CD=ED，∠C=∠AED
∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B
∵∠AED=∠B+∠EDB，∴2∠B=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB
在△EDF和△EBF中，
∠EDF=∠B，∠EFD=∠EFB，EF=EF
∴△EDF≌△EBF（AAS），∴ED=EB
∵AB=AE+EB，ED=EB=CD，AE=AC，∴AB=AC+CD
变式3-1如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，下面给出四个结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到AB，AC两边的距离相等；④到AE，AF距离相等的点，到DE，DF的距离也相等。其中正确的结论有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】
D
变式3-2 如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，点E为垂足，DF⊥AC，点F为垂足，求证：DE=DF
【解析】
在△ABD和△ACD中，
AD=AD
BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SSS）
AB=AC
∴∠BAD=∠CAD，∴AD是∠BAC的平分线
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF