【期末必备】12.2 三角形全等的判定-2021-2022学年八年级数学上册同步知识+题型过关练(人教版)((解析版+原卷版)学案

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知识点1判定两个三角形全等的基本事实（边边边）
三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）
数学语言表达：如图所示，AB=DE，AC=DF，BC=EF，则△ABC≌△DEF
注意1
全等的条件要按顺序排列；
同一个三角形的三个条件要放在等号同一侧；
两个三角形对应顶点的字母要一一对应。
知识点2判定两个三角形全等的基本事实（边角边）
两边和它们的夹角分别相等两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）
数学语言变大：如上图所示，AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，则△ABC≌△DEF
注意2
两边和一边的对角分别相等时，两个三角形不一定全等，即不存在“边边角”。
例如：AB=AD,AC=AC,∠C=∠C，△ABC不一定全等于△ADC
知识点3判定两个三角形全等的基本事实（角边角）
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
数学语言表达：如上图所示，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，则△ABC≌△DEF
注意3
在书写两个三角形全等时，一定要把夹边写在中间，以突出边角的位置即对应关系。
知识点4判定两个三角形全等的基本事实（角角边）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。
数学语言表达：如上图所示，∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，则△ABC≌△DEF
注意4
用“AAS”来判定两个三角形全等时，要注意边是其中一角的对边。
注意5
AAS与ASA可以相互转化；
运用AAS与ASA时，要从图形上确定，按照顺序排列。
知识点5直角三角形全等的判定（斜边、直角边）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
数学语言表达：如图所示，AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF
判定三角形全等，常用思路如下：
题型1利用全等三角形证明线段或角相等
解决此类题目的关键是根据已知条件选用合适的方法证明三角形全等，再利用全等三角形的性质得出结论。
例题1如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD，∠BAC=∠D，BC=CE。
求证：AC=CD；
若AC=AE，∠ACD=80°，求∠DEC的度数。
变式1 如图，已知CA=CD，CB=CE，∠ACB=∠DCE，问AE与DB的数量关系如何？并说明理由。
题型2全等三角形的判定与性质的综合应用
例题2如图所示，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。求证：
AP=AQ；
AP⊥AQ。
变式2将两块含45°角且大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图（1）摆放，连接AC，BD.
求证：AC=BD；
将图（1）中的△COD绕点O顺时针旋转一定角度到△C1OD1的位置（如图（2）），连接AC1，BD1，线段AC1与BD1存在着什么样的数量关系和位置关系？并说明理由。
)
图(1)
图（2）
题型3 “倍长中线法”构造全等三角形
例题3
【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图（1），在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围。小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，并连接BE，请根据小明的方法思考。
由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是__________________________________。
A.SSSB.SASC.AASD.HL 图（1）
求得AD的取值范围是_______________________________。
A.6【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。
【问题解决】
如图（2），AD是△ABC的中线，BE交于AC于E，交AD于F，且AE=EF。求证：AC=BF
变式3如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AC，AF⊥AB，且AE=AC，AF=AB。求证AD=12EF。
题型4“截长补短法”证明线段和差问题
在处理线段和差问题时，常考虑截长补短法。截长法是在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段即可。补短法一般有两种方式：一种是将某短线段延长，使延长的一部分等于另一短线段；另一种是某短线段直接延长至等于较长的线段。
例题4如图，E为AD中点，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，求证BC=AB+CD
变式4如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC，E，F分别在AD，CD上，且∠EBF=60°。求证：EF=AE+CF
题型5 应用全等三角形的性质解决实际问题
例题5 如图所示的A，B是两根呈南北方向排列的电线杆，A，B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杠之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一颗大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆C、大树C和他自己现在所处的位置E恰好在同一条直线上时，他从D处走到E处恰好走了100步。利用上述数据，小刚测出了A，B两根电线杆之间的距离。
请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；
如果小刚一步大约走60cm，请你求出A，B两根电线杆之间的距离。
变式5 淇淇同学沿一段比值的人行道行走，在由A处步行达到B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB=20米，请根据上述信息求标语CD的长度。
题型6 全等三角形在探究性问题中的应用
例题6 （1）如图（1），已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E，求证：DE=BD+CE
（2）拓展：如图（2），将（1）中条件改为在△ABC中，AB=AC，D,A,E三点都在直线m上，并∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
应用：如图（3），在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD和△CEF的面积之和。
图（1）图（2）
图（3）
变式6 如图（1）点A,D在y轴正半轴上，点B,C在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于点D，∠CAO=90°-∠BDO。
求证：AC=BC
如图（2）点C的坐标为（4，0）点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，求BC+EC的长。
在（1）的条件下，过点D做DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，当点H在FC上移动，点G在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH,GH,OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明。
图（1）图（2）
图（3）
已知条件
寻找条件
选择的判定方法
两角
夹边或其中一组等角的对边
ASA或AAS
一角及其对边
任一角
AAS
一角及其邻边
角的另一邻边或边的另一邻角或边的对角
SAS或ASA或AAS
两边
夹角或另一边或直角
SAS或SSS或HL