数学必修11.1集合导学案

集合

（一）集合的含义与表示

1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.

2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

（二）集合间的基本关系

1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.

（三）集合的基本运算

1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。

一、集合与简易逻辑

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征：  确定性 ，  互异性  ，  无序性  。

集合元素的互异性：如：，，求；

（2）集合与元素的关系用符号，表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集     ；正整数集     、     ；整数集       ；有理数集      、实数集       。

（4）集合的表示法： 列举法 ，  描述法 ，  韦恩图  。

注意：区分集合中元素的形式：如：

；；；；；

；

（5）空集是指不含任何元素的集合。（、和的区别；0与三者间的关系）

     空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。

如：，如果，求的取值。

二、集合间的关系及其运算

（1）符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；

    符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2）；；

（3）对于任意集合，则：

①；；；

②           ；           ；

          ；            ；

③            ；           ；

（4）①若为偶数，则                ；若为奇数，则                ；

②若被3除余0，则                ；若被3除余1，则                ；若被3除余2，则                ；

三、集合中元素的个数的计算：

（1）若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是               。

（2）中元素的个数的计算公式为：                  ；

（3）韦恩图的运用：

四、满足条件，满足条件，

若                 ；则是的充分非必要条件；

若                 ；则是的必要非充分条件；

若                 ；则是的充要条件；

若                 ；则是的既非充分又非必要条件；

五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的                   ；

注意：“若，则”在解题中的运用，

如：“”是“”的                条件。

六、反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，

    步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

第1课时    集合的概念

一、集合

1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象        就成为一个集合，简称       ．集合中的每一个对象叫做这个集合的        ．

2．集合中的元素属性具有：

(1) 确定性；  (2)          ； (3)           ．

3．集合的表示法常用的有           、           和韦恩图法三种，有限集常用           ，无限集常用           ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．

二、元素与集合的关系

4．元素与集合是属于和           的从属关系，若a是集合A的元素，记作          ，若a不是集合B的元素，记作           ．但是要注意元素与集合是相对而言的．

三、集合与集合的关系

5．集合与集合的关系用符号           表示．

6．子集：若集合A中           都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作           ．

7．相等：若集合A中           都是集合B的元素，同时集合B中           都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作           ．

8．真子集：如果           就说集合A是集合B的真子集，记作           ．

9．若集合A含有n个元素，则A的子集有           个，真子集有           个，非空真子集有           个．

10．空集是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的           ，是任何非空集合的           ，解题时不可忽视．

例1.      已知集合，试求集合的所有子集.

例2.                    

例2. 设集合，，，求实数a的值.

例3.      已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.

例4. 若集合A＝{2，4，}，B＝{1，a＋1，，、 }，且A∩B＝{2，5}，试求实数的值．

变式训练1.若a,bR,集合求b-a的值.

变式训练2：（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？

（2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA,求m。

变式训练3.（1）已知A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值；

（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.

变式训练4.已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq， }，其中a≠0，若A＝B，求q的值

1．本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆．

2．利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验．

3．注意空集φ的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性．

4．要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用．

第2课时    集合的运算

一、集合的运算

1．交集：由           的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝            ．

2．并集：由            的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝           ．

3．补集：集合A是集合S的子集，由           的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作，即＝           ．

二、集合的常用运算性质

1．A∩A＝          ，A∩＝          ，A∩B=B∩A，A∪A＝          ，A∪＝       ，A∪B＝B∪A

2．＝          ，＝          ，           ．

3．          ，          ，

4．A∪B＝A          A∩B＝A         

例1. 设全集，方程有实数根，方程有实数根，求.

例2. 已知,或.(1)若,求的取值范围;(2) 若,求的取值范围.

变式训练1.已知集合A=B=  当m=3时，求.

变式训练2：设集合A=B

（1）若AB求实数a的值；（2）若AB=A，求实数a的取值范围；

1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字语言．

2．集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想．

3．对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识.

集合单元测试题

一、选择题

1．设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x 2+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为（    ）

A．{2}        B．{3}       C．{－3，2}         D．{－2，3}

2．当xR，下列四个集合中是空集的是（    ）

A. {x|x2-3x+2=0}              B. {x|x2＜x}

C. {x|x2-2x+3=0}              C. {x|sinx+cosx=}

3．设集合，集合，若, 则等于（    ）

A.         B.    C.             D.

4．设集合，，则下列关系中正确的是（  ）

A．       B．         C．            D．

5．设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M-P={x|xM且xp},则M-（M-P）等于（    ）

A. P      B. MP     C. MP      D. M

6．已知, 若, 则实数的取值范围是(   )

A.          B.           C.           D.

7.集合M＝{x｜x＝sin，n∈Z}，N＝{ x｜x＝cos，n∈Z }，M∩N＝ （  ）

A．         B．  C．{0}               D．

8.已知集合M＝{x｜}，N＝{x│}，则  （  ）

A．M＝N   B．M   N     C．M   N   D．MN＝φ

9． 设全集∪＝{x｜1≤x <9，x∈N}，则满足的所有集合B的个数有 （  ）

A．1个            B．4个       C．5个            D．8个

10．已知集合M＝{(x，y)︱y＝}，N＝{(x，y)︱y＝x＋b}，且M∩N＝，则实数b应满足的条件是（  ）

A．︱b︱≥         B．0＜b＜   C．－3≤b≤             D．b＞或b＜－3

二、填空题

11．设集合,,且，则实数的取值范围是            .

12．设全集U=R，A=，则右图中阴影部分表示的集合为                 .

13．已知集合A=，那么A的真子集的个数是               .

14．若集合，，则等于        .

15．满足的集合A的个数是_______个.

16．已知集合，函数的定义域为Q.

（1）若，则实数a的值为          ；

（2）若，则实数a的取值范围为            .

三、解答题

17．已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B

（1）求集合A、B（2）若AB=B,求实数的取值范围．

18．设，集合，；若，求的值. 

19．设集合，.   (1)当时，求A的非空真子集的个数；(2)若B=，求m的取值范围；(3)若，求m的取值范围.

20. 对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即}，.

(1)  求证：AB

(2) 若，且，求实数a的取值范围.

单元测试参考答案

一、选择题

1．答案：A   2．答案：C    3．答案：A   4．提示：，.答案： D

5．答案：B   6．答案：B   7. 由与的终边位置知M＝{，0，}，N＝{－1，0，1}，故选C.  

8.C   9.D   10.D   11．提示:,  ∴,答案：

12．答案：，图中阴影部分表示的集合为,

13．答案：15    14. 答案：    15. 答案：7    16. 答案：；

17. 解：（1）A＝    B＝

（2）由AB＝B得AB，因此     所以,所以实数ａ的取值范围是

18. 解：，由，

当时，，符合；当时，，而，∴，即

∴或. 

19. 解：化简集合A=，集合B可写为

(1),即A中含有8个元素，A的非空真子集数为（个）.

(1)显然只有当m-1=2m+1即m=--2时，B=.

(2)当B=即m=-2时，；

当B即时

（ⅰ）当m<-2 时，B=(2m-1,m+1),要

只要，所以m的值不存在；

（ⅱ）当m>-2 时,B=（m-1,2m+1）,要

只要.

综合，知m的取值范围是：m=-2或

20.证明(1).若A＝，则AB 显然成立；

若A≠，设t∈A，则f(t)＝t，f(f(t))＝f(t)＝t，即t∈B，从而 AB.

解 (2)：A中元素是方程f(x)＝x 即的实根.

     由 A≠，知 a＝0 或     

即 

B中元素是方程

即  的实根

由AB，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为

因此，要A＝B，即要方程

             ①

要么没有实根，要么实根是方程 ②的根.

若①没有实根，则，由此解得 

若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 ，代入①有 2ax＋1＝0.

由此解得，再代入②得 由此解得  .故 a的取值范围是