高中数学湘教版必修11.1集合学案设计

1．下列语句不是命题的有(　　)

①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；

④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．

A．0个　　　　　　　　　　 B．1个

C．2个   D．3个

解析：选B.①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．

2．下列四个命题中，真命题的个数是(　　)

(1)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；

(2)两条直线可以确定一个平面；

(3)已知点M，直线l，平面α，β，若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；

(4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：选A.(1)是假命题，如果两个平面的三个公共点共线，那么这两个平面可以相交；(2)是假命题，两条异面直线不能确定一个平面；(4)是假命题，两条直线相交于一点确定一个平面，第三条直线过该交点，但可与该平面相交．所以只有(3)为真命题．

3．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是(　　)

A．若x≤y，则x2≤y2  B．若x>y，则x2<y2

C．若x2≤y2，则x≤y  D．若x<y，则x2<y2

解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．

4．在空间中，

①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；

②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．

以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．

解析：①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．

我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中的逆命题不是真命题．

②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．

由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．

所以②中的逆命题是真命题．

答案：②

一、选择题

1．下列命题是真命题的是(　　)

A．{∅}是空集

B.是无限集

C．π是有理数

D．x2－5x＝0的根是自然数

解析：选D.x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．

2．下列命题是真命题的为(　　)

A．若＝，则x＝y　　　　 B．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则＝   D．若x＜y，则x2＜y2

解析：选A.若x2＝1，则x＝±1，排除B；若x＝y，与不一定存在，排除C；若x＜y，且x＝－3，y＝－2，则x2＞y2，排除D.

3．下列语句中不是命题的是(　　)

A．梯形是四边形

B．等边三角形难道不是等腰三角形吗

C．空集是任何集合的子集

D．若ac＝bc，则a＝b

答案：B

4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

解析：选B.当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．

5.

(2011年高考山东卷)如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图．其中真命题的个数是(　　)

A．3   B．2

C．1   D．0

解析：选A.底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的主视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时(即左视图为圆时)，它的主视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．

6．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；

②“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；

③“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题；

④“若ab是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．

其中真命题的个数是(　　)

A．0   B．1

C．2   D．3

解析：选B.①逆命题为“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；

②因为原命题为假，所以其逆否命题也为假；

③否命题为“若x＞－3，则x2＋x－6≤0”，如果x＝5，x2＋x－6＝24＞0，所以否命题为假命题；

④逆命题为“若a、b是无理数，则ab是无理数”，若a＝()，b＝，则ab＝2是有理数，所以逆命题为假命题．

二、填空题

7．(2011年大连高一检测)命题“若m＞n，则2m＞2n－1”的否命题是________．

解析：“＞”的否定是“≤”，据此可写出否命题．

答案：若m≤n，则2m≤2n－1

8．下列语句：①是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③当x＝4时，2x＞0；④把门关上．其中不是命题的是________．

解析：①能判断真假，是命题；

②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量赋值前，我们无法判断语句的真假；

③是命题；

④是祈使句，没有作出判断，不是命题．

答案：②④

9．给定下列命题：①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”；②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．

其中真命题的序号是________．

解析：①Δ＝4＋4k＞0，k＞－1，∴是真命题；

②否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题；

③逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题；

④否命题为“若xy≠0，则x、y都不为零”，是真命题．

答案：①②④

三、解答题

10．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．

(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；

(2)正偶数不是素数．

解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；

否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；

逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．

(2)逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数，假命题；

否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数，假命题；

逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数，假命题．

11．判断下列命题的真假：

(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；

(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．

解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.

(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．

12．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．

解：∵m>0，

∴12m>0，∴12m＋4>0.

∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式

Δ＝12m＋4>0.

∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．

又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．