2013-2014学年高中数学同步训练：第2章 平面向量 章末检测 （苏教版必修4） Word版含答案

章末检测

一、填空题

1．与向量a＝(1，)的夹角为30°的单位向量是________________．

2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝________.

3．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于________．

4．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b＝________.

5．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝________.

6．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.

7．设点A(1,2)、B(3,5)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移后得到为________．

8．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.

9．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．

10．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是________．

11．在菱形ABCD中，若AC＝2，则·＝________.

12. 如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是________．

①·

②·

③·

④·

13. 如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．

14．如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则A·A＝________.

二、解答题

15．已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．

(1)若|c|＝2，且c∥a，求c；

(2)若|b|＝，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角．

16．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，

(1)c∥d；(2)c⊥d.

17. 如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，E、F分别是腰AD、BC的中点，M、N是线段EF上的两个点，且EM＝MN＝NF，下底是上底的2倍，若＝a，＝b.

(1)试用a，b表示；

(2)证明：A、M、C三点共线．

18．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：

(1)a与b的夹角；

(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．

19．已知向量、、满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1.

求证：△P1P2P3是正三角形．

20．已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：

(1)BE⊥CF；

(2)AP＝AB.

答案

1．(0,1)或(，)　2.(1,2)　3.2　4.　5.a－b　6.4　7.(2,3)

8．－1　9.6

10.

11．－2

12．①

13．－

14．18

15．解　(1)∵c∥a，∴设c＝λa，则c＝(λ，2λ)．

又|c|＝2，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)．

(2)∵⊥(2a－b)，

∴(a＋2b)·(2a－b)＝0.

∵|a|＝，|b|＝，∴a·b＝－.

∴cos θ＝＝－1，∴θ＝180°.

16．解　由题意得a·b＝|a||b|cos 60°

＝2×3×＝3.

(1)当c∥d时，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．

∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.

(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.

∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，

∴k＝－.

17．(1)解　＝＋

＝＋

＝＋×(＋)

＝＋(＋)

＝＋

＝a＋b.

(2)证明　＝＋＝＋＝a＋b

∴＝，∴A、M、C三点共线．

18．解　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝1－|b|2＝，∴|b|2＝，

∴|b|＝，设a与b的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝.

∴θ＝45°.

(2)∵|a|＝1，|b|＝，

∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝.

∴|a－b|＝，

又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝.

∴|a＋b|＝，设a－b与a＋b的夹角为α，则

cos α＝＝＝.

即a－b与a＋b的夹角的余弦值为.

19．证明　∵＋＋＝0，

∴＋＝－，

∴(＋)2＝(－)2，

∴||2＋||2＋2·

＝||2，

∴·＝－，

cos∠P1OP2＝＝－，

∴∠P1OP2＝120°.

同理，∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，

即、、中任意两个向量的夹角为120°，

故△P1P2P3是正三角形．

20．证明　如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，

则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，

E(1,2)，F(0,1)．

(1)＝－＝(1,2)－(2,0)

＝(－1,2)，

＝－＝(0,1)－(2,2)

＝(－2，－1)，

∵·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，

∴⊥，即BE⊥CF.

(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，

∵∥，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.

同理由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.

解得x＝，∴y＝，即P.

∴2＝2＋2＝4＝2，

∴||＝||，即AP＝AB.