数学必修13.4.2 函数模型及其应用教案

巧构函数模型

构建函数模型是解决问题的关键，本文介绍构建函数模型三种方法．

一、关系分析法

即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系来建立问题的数学模型的方法．

例1　某商店里有进货价为80元的商品共400个，按90元一个售出时，可全部卖出．已知这种商品每涨价1元，其销售数量就减少20个，问销售价定为多少时所获得的利润最大？

分析：依据“售价为多少时所获得的利润最大”，建立利润与销售价的函数关系式．

解：设销售价为90+x元时利润为y，此时销售数量为400-20x．

∵

即，

∴当时，有（元）．

答：销售价为95元时所获得的利润最大，其最大值为4500元．

二、列表分析法

即通过列表的方式探求问题的数学模型的方法．

例2　某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台．现销售给A地10台，B地8台．已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元．

（1）设从乙地调运x台至A地，求总运费y关于x的函数关系式；

（2）若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案．

分析：本题数量关系较多，利用列表法将数量关系明朗化，有利于函数关系的确立．由甲、乙两地调运至A地、B地的机器台数及运费如下表：

解：（1）依题意，得y=400（10-x）+800［12－（10-x）］+300x+500（6－x），

整理得y=200（x+43）（0≤x≤6，x∈Z）．

（2）由y≤9000，即200（x+43）≤9000，解得x≤2．

又因为x∈Z，

∴ x=0，1，2．故共有三种调运方案．

三、图象分析法

即通过对图象中的数量关系进行分析来建立问题的数学模型的方法．

例3　某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资额x成正比，其关系如图１，B产品的利润y与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图２（注：利润与投资额单位:万元），

　　（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资量的函数关系式；

　　（2）该公司现有10万元资金，并计划全部投入A，B两种产品中，问:怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

　　分析：根据图象，可以求出（1）问中的函数的解析式，再根据题意建立关于利润的表达式，并将其配方，利用函数图象的增长趋势，进而求得最值．

　　解：（1）设投资x万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，由题意设，，由图知，f（1）＝0.2，∴．又，

∴．从而（x≥０），（x≥０）．

　　（2）设投入A产品x万元，则B产品投入（10-x）万元，设企业利润为y万元，

　　，令，则

　　依据二次函数图象，当u=2时，，此时．

　　因此，当投入A产品6万元， B产品4万元时，该企业获得最大利润，最大利润为2.8万元．

品味高考中的数学模型

函数是高中数学的重要内容，不仅在数学的各个分支有广泛的应用，而且在生产实践、日常生活和科学实验中，作为解决实际问题的工具，也往往大显身手．

建立函数模型解决实际问题在高考中比较多见，试题多为解答题，问题的情境多与社会热点、科技新动态或日常生活有关，常考常新．

近几年来的高考试卷中有关函数的应用题的特点是：试题从实际出发，背景公平，设问新颖、灵活，而解决问题所涉及的数学知识、数学思想方法都是高中课程标准上所要求掌握的基础知识和方法．

例　某人定制了一批地砖，每块地砖如图1所示，是边长为0.4米的正方形ABCD，点E，F分别在边BC和CD上，△CFE，△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE，△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米的价格比依次为3∶2∶1．若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的阴影部分成为四边形EFGH．

（1）求证四边形EFGH是正方形；

（2）点E，F在什么位置时，定制这批砖的材料费最省？

分析：（1）根据图形旋转的不变性（即图形的大小、对应线段的长、对应角的大小，在旋转前后不变）容易证明四边形EFGH是正方形；

（2）设CE=x米，用变量x表示定制一块这样的砖的材料费y元，建立函数关系，把实际问题转化为求函数的最小值问题．

解：（1）依题意知，图2是图1绕点C，逆时针方向旋转90°形成的．则△CFE，△CEH，△CHG，△CFG为等腰直角三角形，所以四边形EFGH是正方形；

（2）设CE＝x米，则BE=（0.4-x）米，制成△CFE，△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米的价格依次为3a元、2a元和a元，定制一块这样的砖的材料费y元．

则

又0＜x＜0.4，a＞0，所以当x=0.1时，y有最小值．

即当CE=CF=0.1米时，定制这批砖的材料费最省．

评注：设元、消元、配方等基本功，在解决该应用题中得到充分地体现，因此平时学习要注重基础知识和基本功的训练．