数学必修52.5 等比数列的前n项和教案设计
展开课 题:3.5 等比数列的前n项和(一)
教学目的:
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题
教学重点:等比数列的前n项和公式推导
教学难点:灵活应用公式解决有关问题
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教材分析:
本节是对公式的教学,要充分揭示公式之间的内在联系,掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的导出方法,理解公式的成立条件.也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件,直接记忆公式的结论是降低教学要求,违背教学规律的做法
教学过程:
一、复习引入:
首先回忆一下前两节课所学主要内容:
1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即:=q(q≠0)
2.等比数列的通项公式:
,
3.{}成等比数列=q(,q≠0)
“≠0”是数列{}成等比数列的必要非充分条件
4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列.
5.等比中项:G为a与b的等比中项. 即G=±(a,b同号).
6.性质:若m+n=p+q,
7.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法
8.等比数列的增减性:当q>1, >0或0<q<1, <0时, {}是递增数列;当q>1, <0,或0<q<1, >0时, {}是递减数列;当q=1时, {}是常数列;当q<0时, {}是摆动数列;
二、讲解新课:
例如求数列1,2,4,…262,263的各项和
即求以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和,可表示为:
①
2 ②
由②—①可得:
这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”,是研究数列求和的一个重要方法
等比数列的前n项和公式:
∴当时, ① 或 ②
当q=1时,
当已知, q, n 时用公式①;当已知, q, 时,用公式②.
公式的推导方法一:
一般地,设等比数列它的前n项和是
由
得
∴当时, ① 或 ②
当q=1时,
公式的推导方法二:
有等比数列的定义,
根据等比的性质,有
即 (结论同上)
围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式.
公式的推导方法三:
=
==
(结论同上)
“方程”在代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利用方程思想,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决
三、例题讲解
例1 求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和.
解:由
,
从第5项到第10项的和为-=1008
例2一条信息,若一人得知后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人,如此继续下去,一天时间可传遍多少人?
解:根据题意可知,获知此信息的人数成首项的等比数列
则:一天内获知此信息的人数为:
例3 已知{}为等比数列,且=a,=b,(ab≠0),求.
分析:要求,需知,q,而已知条件为和.能否进一步挖掘题目的条件,使已知和未知沟通起来?
当时 =a ①
===b ②
②/①得 ③
将③代入①,得
∴===
以下再化简即可.
这样处理问题很巧妙.没有分别求得与q的值,而改为求与的值,这样使问题变得简单但在分析的过程中是否完备?
第①式就有问题,附加了条件q≠1.而对q=1情况没有考虑.
使用等比数列前n项和公式时,要特别注意适用条件,即
q=1时,=n;当时, 或
(含字母已知数的等比数列求和题目,学生常忽略q=1情况,要引起足够重视,以培养学生思维的严密性)
解法1:设等比数列{}的公比为q.
若q=1(此时数列为常数列),则=n=a,=b,
从而有2a=b ∴(或)
若q≠1(即2a≠b),由已知
=a ① =b ②
又ab0, ②/①得 , ③
将③代入①,得
∴===
=
解法2:由,-,-成等比数列(练习中证此结论),
即a,b-a, -b成等比,所以a(-b)=( b-a)
从而有 = (包含了q=1的情况)
四、练习:
是等比数列,是其前n项和,数列 ()是否仍成等比数列?
解:设首项是,公比为q,
①当q=-1且k为偶数时,不是等比数列.
∵此时, =0.
例如:数列1,-1,1,-1,…是公比为-1的等比数列,S2=0,
②当q≠-1或k为奇数时,
=
=
=
()成等比数列
评述:应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论,还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件.
五、小结 1. 等比数列求和公式:当q=1时,
当时, 或 ;
2.是等比数列的前n项和,
①当q=-1且k为偶数时,不是等比数列.
②当q≠-1或k为奇数时, 仍成等比数列
3.这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法)推导出了等比数列的前n项和公式,并在应用中加深了对公式的认识.
六、课后作业:
已知数列是等比数列,是其前n项的和,求证,-,-成等比数列.
解:(1)①当q=1时,=7,=14,
-=14-7=7,-=21-14a1=7
∴,-,-为以7为首项,1为公比的等比数列.
②当q≠1时,=
∴=
∴,-,-成等比数列.
[这一过程也可如下证明:
-=-
===
同理,-==
∴,-,-为等比数列.
七、板书设计(略)
八、课后记:
高中数学人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和教案设计: 这是一份高中数学人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和教案设计,共2页。教案主要包含了复习引入,探究,课堂小结,课外作业等内容,欢迎下载使用。
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