高中数学人教版新课标A必修53.1 不等关系与不等式导学案及答案
展开高一数学必修5不等式与不等关系总复习学案(教师版)
编写:邓军民
一,复习
1.不等关系:参考教材73页的8个性质;
2. 一元二次不等式与相应的函数、相应的方程之间的关系：
判别式 | |||
二次函数 （）的图象
|
| ||
一元二次方程 | 有两相异实根 | 有两相等实根 | 无实根 |
R | |||
3.一元二次不等式恒成立情况小结：
（）恒成立．
（）恒成立．
4. 一般地，直线把平面分成两个区域（如图）：
表示直线上方的平面区域；表示直线下方的平面区域．
说明：（1）表示直线及直线上方的平面区域；
表示直线及直线下方的平面区域．
（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
5.基本不等式：
(1).如果，那么．
(2). ．
（当且仅当时取“”）
二.例题与练习
例１． 解下列不等式：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
解：(1)方程的解为．根据的图象，可得原不等式的解集是．
(2)不等式两边同乘以，原不等式可化为．
方程的解为．
根据的图象，可得原不等式的解集是．
(3)方程有两个相同的解．
根据的图象，可得原不等式的解集为．
(4)因为，所以方程无实数解，根据的图象，可得原不等式的解集为．
练习1. （1）解不等式；（若改为呢？）
（2）解不等式；
解:(1)原不等式
(该题后的答案:).
(2)即.
例2.已知关于的不等式的解集是，求实数之值．
解：不等式的解集是
是的两个实数根，
由韦达定理知：．
练习2．已知不等式的解集为求不等式的解集．
解：由题意 ， 即．
代入不等式得： ．
即，所求不等式的解集为．
例3．设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值．
解：由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，
作一组平行于的直线：，，
可知：当在的右上方时，直线上的点
满足，即，
而且，直线往右平移时，随之增大．
由图象可知，
当直线经过点时，对应的最大，
当直线经过点时，对应的最小，
所以，，．
练习3．设，式中满足条件，求的最大值和最小值．
解：当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当经过点时，对应最小，
∴，．
例4．已知为两两不相等的实数，求证：
证明：∵为两两不相等的实数，∴，，，以上三式相加：
所以，．
练习4．若，求的最小值。
解：∵，∴
当且仅当，即时取等号，
∴当时，取最小值.
三.课堂小结
1.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法；
2.掌握号一元二次不等式恒成立的问题基本原理;
3.学会用平面区域表示二元一次不等式组；掌握好简单的二元线性规划问题的解法; 解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④求最优解;
4.掌握好基本不等式及其应用条件；
四.课后作业
1.如果，那么，下列不等式中正确的是（ A ）
（A） （B） （C） （D）
2.不等式的解集是（ D ）
A． B． C． D．
3. 若，则下列不等式成立的是( C )
（A）. （B）. （C）.（D）.
4. 若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为( D )
（A）-1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 2-2
5. 不等式的解集是_________ .(KEY:)
6.已知实数满足，则的最大值是_________.(KEY:0)
7.设函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：（1）集合M，N；（2）集合，．
解：（Ⅰ）
（Ⅱ） .
8. 若，则为何值时有最小值，最小值为多少？
解：∵， ∴， ∴，∴=
，当且仅当即时.
高一数学必修5不等式与不等关系总复习学案(学生版)
编写:邓军民
一,复习
1.不等关系:参考教材73页的8个性质;
2. 一元二次不等式与相应的函数、相应的方程之间的关系：
判别式 | |||
二次函数 （）的图象
|
| ||
一元二次方程 | 有两相异实根 | 有两相等实根 | 无实根 |
R | |||
3.一元二次不等式恒成立情况小结：
（）恒成立．
（）恒成立．
4. 一般地，直线把平面分成两个区域（如图）：
表示直线上方的平面区域；表示直线下方的平面区域．
说明：（1）表示直线及直线上方的平面区域；
表示直线及直线下方的平面区域．
（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
5.基本不等式：
(1).如果，那么．
(2). ．
（当且仅当时取“”）
二.例题与练习
例２． 解下列不等式：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
练习1. （1）解不等式；（若改为呢？）
（2）解不等式；
例2.已知关于的不等式的解集是，求实数之值．
练习2．已知不等式的解集为求不等式的解集．
例3．设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值．
练习3．设，式中满足条件，求的最大值和最小值．
例4．已知为两两不相等的实数，求证：
练习4．若,且，求的最小值。
三.课堂小结
1.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法；
2.掌握号一元二次不等式恒成立的问题基本原理;
3.学会用平面区域表示二元一次不等式组；掌握好简单的二元线性规划问题的解法; 解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④求最优解;
4.掌握好基本不等式及其应用条件；
四.课后作业
1.如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3. 若，则下列不等式成立的是( )
（A）. （B）. （C）.（D）.
4. 若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为( )
（A）-1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 2-2
5. 不等式的解集是_________ .
6.已知实数满足，则的最大值是_________.
7.设函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：（1）集合M，N；（2）集合，．
8. 若，则为何值时有最小值，最小值为多少？
高一数学必修5不等式与不等关系专题练习
命题:邓军民
一、选择题
- 已知a,b,c∈R,下列命题中正确的是
A、 B、
C、 D、
2.设a，b∈R，且a≠b，a+b=2，则下列不等式成立的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
3．二次方程,有一个根比大,另一个根比小,则的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．下列各函数中，最小值为的是 ( )
A． B．，
C． D．
5．已知函数的图象经过点和两点,若,则的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．不等式组的区域面积是 ( )
A． B． C． D．
7、已知正数x、y满足，则的最小值是（ ）
Ａ．18 Ｂ．16 C．8 D．10
8．已知不等式的解集为,则不等式的解集为
A、 B、
C、 D、 ( )
二、填空题
9．不等式的解集是
10．已知x＞2，则y＝的最小值是 ．
11．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是
12、设满足且则的最大值是 。
三、解答题
13．解不等式
14、正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc。
15．已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最大值与最小值。
16. 已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）.
（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；
（2）若的最大值为正数，求a的取值范围.
高一数学必修5不等式与不等关系专题练习KEY
命题:邓军民
一、选择题
B,B,C,D,B,B,A,B
二、填空题
9． 10.4,11.,12.2,
三、解答题
13.解:因为
所以有
14.证明：∵ a+b+c=1∴ 1-a=b+c，1-b=a+c，1-c=a=b
∵ a>0，b>0，c>0∴ b+c≥2>0, a+c≥2>0, a+b≥2>0
将上面三式相乘得：(b+c)(a+c)(a+b)≥8abc,
即 (1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
15.(过程略)
16.解：（Ⅰ）
①
由方程 ②
因为方程②有两个相等的根，所以，
即
由于代入①得的解析式
（Ⅱ）由
及
由 解得
故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是
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