数学八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性综合训练题

这是一份数学八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性综合训练题，共20页。试卷主要包含了5等腰三角形的轴对称性等内容，欢迎下载使用。

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•江苏省丹阳市期末）如果等腰三角形有两边长为5和8，那么该三角形的周长为（ ）
A．18B．20C．21D．18或21
【分析】分5是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解析】①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、8，
能组成三角形，
周长＝5+5+8＝18，
②5是底边时，三角形的三边分别为5、8、8，
能够组成三角形，
周长＝5+8+8＝21，
综上所述，这个等腰三角形的周长是18或21．
故选：D．
2．（2020•江苏省徐州模拟）等腰三角形有一个角的度数是80°，则另两个角的度数可能是（ ）
A．40°，40°B．20°，20°C．80°，20°D．30°，50°
【分析】已知给出了一个内角是80°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【解析】分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为80°时，另外两个内角=180°-80°2=50°；
（2）若等腰三角形的底角为80°时，它的另外一个底角为80°，顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°．
故选：C．
3．（2019秋•江苏省邳州市期末）已知实数a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是（ ）
A．10B．8或10C．8D．以上都不对
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解析】根据题意得a﹣2＝0，b﹣4＝0，
解得a＝2，b＝4，
①a＝2是底长时，三角形的三边分别为4、4、2，
∵4、4、2能组成三角形，
∴三角形的周长为10，
②a＝2是腰边时，三角形的三边分别为4、2、2，
2+2＝4，不能组成三角形．
综上所述，三角形的周长是10．
故选：A．
4．（2019秋•江苏省崇川区期末）若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．21B．22或27C．27D．21或27
【分析】根据①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，分别计算即可．
【解析】①11是腰长时，
三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形，
周长＝11+11+5＝27；
②11是底边时，
三角形的三边分别为11、5、5，
∵5+5＝10＜11，
∴不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长为27．
故选：C．
5．（2019秋•江苏省崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（ ）
A．70°B．71°C．74°D．76°
【分析】首先利用AB的垂直平分线MN交AC于点E得到AE＝BE，进一步得到∠ABE＝∠A=12∠BEC=12×76°＝38°，然后利用等腰三角形的性质求得底角的度数即可．
【解析】∵AB的垂直平分线MN交AC于点E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A=12∠BEC=12×76°＝38°，
∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB=180°-∠A2=180°-38°2=71°；
故选：B．
6．（2019秋•江苏省无锡期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BA的延长线上一点，且CD＝AB，若∠B＝32°，则∠D等（ ）
A．48°B．58°C．64°D．74°
【分析】首先利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得∠DAC的度数，然后利用等边对等角求得答案即可．
【解析】∵AB＝AC，∠B＝32°，
∴∠DAC＝2∠B＝64°，
∵CD＝AB，
∴CA＝CD，
∴∠D＝∠DAC＝64°，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填写在横线上）
7．（2020春•江苏省海安市期末）△ABC中，AB＝BC，△ABC的中线AM将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为 7或11 ．
【分析】设AB＝BC＝2x，AC＝y，则AM＝CM＝x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．
【解析】设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BM＝CM＝x，
∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，
∴有两种情况：
①当3x＝15，且x+y＝12，解得x＝5，y＝7，
此时AB＝BC＝10，AC＝7，能构成三角形，
∴AC＝7；
②当x+y＝15且3x＝12时，解得x＝4，y＝11，
此时AB＝BC＝8，AC＝11，能构成三角形，
∴AC＝11；
综上，AC的长为7或11．
8．（2019秋•江苏省无锡期末）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝120°，则∠ADC＝ 40° ．
【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝120°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．
【解析】∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD=α2，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝120°-α2，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+120°-α2=180°，
解得：α＝40°．
∴∠ADC＝40°，
故答案为：40°．
9．（2020春•江苏省仪征市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是 30°或70° ．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝40°，根据角平分线的性质可得∠DBC＝20°，再分两种情况：∠EDC＝90°；∠DEC＝90°；进行讨论即可求解．
【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝20°，
当∠EDC＝90°时，
∠BDE＝180°﹣20°﹣40°﹣90°＝30°；
当∠DEC＝90°时，
∠BDE＝90°﹣20°＝70°．
故∠BDE的度数是30°或70°．
故答案为：30°或70°．
10．（2019秋•江苏省常熟市期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝6，DC＝8，DE＝20，则FG＝ 6 ．
【分析】只要证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题．
【解析】∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵BE＝6，DC＝8，DE＝20，
∴FG＝DE﹣EG﹣DF＝DE﹣BE﹣CD＝20﹣6﹣8＝6，
故答案为6．
11．（2018秋•东海县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB、AC于F、E，下列结论：①MB⊥BD；②FD＝FB；③MD＝2CE．其中一定正确的是 ①②③ ．（只填写序号）
【分析】由角平分线的性质和平行线的性质可得∠MBD=12180°＝90°，FD＝BF，MF＝BF，由直角三角形的性质可得MD＝2BF＝2EC．
【解析】如图，∵BD分别是∠ABC及其外角的平分线，
∴∠MBD=12180°＝90°，
故MB⊥BD，故①成立；
∵DF∥BC，
∴∠FDB＝∠DBC；
∵∠FBD＝∠DBC，
∴∠FBD＝∠FDB，
∴FD＝BF，
同理可证MF＝BF，故②成立；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DM∥BC，
∴∠AFE＝∠ABC，∠AEF＝∠ACB，
∴∠AFE＝∠AEF
∴AF＝AE，且AB＝AC，
∴BF＝CE，
∵DF＝BF，MF＝BF
∴MF＝DF
∵∠DBM＝90°，MF＝DF，
∴BF=12DM，而CE＝BF，
∴CE=12DM，③成立．
故答案为：①②③．
12．（2018秋•新吴区期中）如图，在△ABC中，BC＝8cm，∠BPC＝118°，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 8 cm，∠DPE＝ 56 °．
【分析】（1）分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为8cm．
（2）根据三角形内角和定理即可求得．
【解析】（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．
故答案为8
（2）∵∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∠BPC＝118°，
∴∠DPE＝118°﹣∠PBC﹣∠PCB
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣118°，
∴∠DPE＝118°﹣（∠PBC+∠PCB）＝118°﹣180°+118°＝56°．
故答案为56．
13．（2019秋•江苏省高港区校级月考）如图所示，AOB是一钢架，设∠AOB＝α，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加这样的钢管4根，则α的取值范围是 18°≤α＜22.5° ．
【分析】由等腰三角形的性质和外角性质可得，∠GEF＝2α，∠GFH＝3α，∠HGB＝4α，由题意可列不等式组，即可求解．
【解析】∵OE＝EF，
∴∠EOF＝∠EFO＝α，
∴∠GEF＝∠EOF+∠EFO＝2α，
同理可得∠GFH＝3α，∠HGB＝4α，
∵最多能添加这样的钢管4根，
∴4α＜90°，5α≥90°，
∴18°≤α＜22.5°，
故答案为18°≤α＜22.5°．
14．（2019秋•江苏省如东市校级期中）如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ 4或12 s时，△POQ是等腰三角形．
【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．
【解析】分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP＝OC﹣CP＝OQ，
即12﹣2t＝t，
解得，t＝4s；
（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，
当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，
即2（t﹣6）＝t，
解得，t＝12s
故答案为4s或12s．
三、解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2019秋•江苏省常熟市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：△ACD为等腰三角形．
【分析】（1）由中垂线性质知DB＝DA，据此知∠B＝∠DAB＝40°，利用三角形外角的性质可得答案；
（2）由∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣40°＝80°＝∠ADC，利用“等角对等边”即可得证．
【解析】（1）∵DE垂直平分AB，
∴DB＝DA，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠B＝40°，
∴∠B＝∠DAB＝40°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝80°；
（2）∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣40°＝80°＝∠ADC，
∴CA＝CD，
∴△ACD为等腰三角形．
16．（2019秋•江苏省江都区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，G是AC边上一点，过G作EF⊥BC，交BC于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：AD∥EF；
（2）求证：△AFG是等腰三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到AD⊥BC，然后根据平行线的判定即可得到结论；
（2）根据等角的余角相等，得到∠F＝∠EGC，进而得到∠AGF＝∠F，即可证得结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴AD是等腰三角形底边BC的中线，
∴AD⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AD∥EF；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥BC，
∴∠B+∠F＝∠C+∠EGC，
∴∠F＝∠EGC，
∵∠EGC＝∠AGF，
∴∠AGF＝∠F，
∴AG＝AF，
∴△AFG是等腰三角形．
17．（2019秋•江苏省张家港市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，且EC∥AD．证明：△ACE是等腰三角形．
【分析】由∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质证得即可．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EC∥AD，
∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，
∴∠E＝∠ACE，
∴△ACE是等腰三角形．
18．（2019秋•江苏省东海县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ 25 °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 小 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据点D的运动方向可判定∠BDA的变化情况．
（2）假设△ABD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等得出AB＝DC＝2，即可求得答案．
（3）假设△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．
【解析】（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA=12（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
19．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．
【分析】（1）依据AB＝AC，∠BAC＝36°，可得∠ABC＝72°，再根据BD是∠ABC的平分线，即可得到∠ABD＝36°，由∠BAD＝∠ABD，可得AD＝BD，依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB；
（2）依据FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF＝∠ABF，依据∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，进而得到AC＝CF．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，
∴FE垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
20．（2019秋•江苏省江都区月考）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC，等量代换得到∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；②根据平行线的性质得到∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，等量代换得到AC＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC，求得∠ACD＝∠DCE，即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，由于∠BDC+∠DBC＝∠DCE于是得到∠BDC+12∠ABC＝∠ACE，由∠BAC+∠ABC＝∠ACE，于是得到∠DC+12∠ABC=12∠ABC+12∠BAC，即可得到结论．
【解析】（1）①∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
由①知AB＝AD，
又∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CD平分∠ACE；
（2）∠BDC=12∠BAC，
∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，
∴∠BDC+12∠ABC=12∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，
∴∠BDC+12∠ABC=12∠ABC+12∠BAC，
∴∠BDC=12∠BAC．